Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. a) Gọi $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ thuộc đồ thị $y=1+{\log }_3(x-1)$ ($x>1$). Vì $A$ là trung điểm của $OB$ với $O(0;0)$ nên $B=2A$, tức $x_2=2x_1$, $y_2=2y_1$.
Ta có hệ:
$$y_1=1+{\log }_3(x_1-1),2y_1=1+{\log }_3(2x_1-1).$$
Trừ theo vế: $y_1={\log }_3(2x_1-1)-{\log }_3(x_1-1)={\log }_3\frac{2x_1-1}{x_1-1}$.
Suy ra $1+{\log }_3(x_1-1)={\log }_3\frac{2x_1-1}{x_1-1}$, tức $3(x_1-1)=\frac{2x_1-1}{x_1-1}$.
Đặt $t=x_1-1>0$: $3t^2=2t+1\iff 3t^2-2t-1=0\iff t=1$ (nhận, vì $t>0$; $t=-\frac{1}{3}$ loại).
Vậy $A(2;1)$, $B(4;2)$ và $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$.

b) Từ $b+{\log }_{2}a=0$ suy ra $a=2^{-b}$ (thỏa $a>0$, $a\ne 1$ vì $b>0$).
Từ ${\log }_{a}b=\frac{1}{c}$ suy ra $b=a^{1/c}=2^{-b/c}$.
Từ ${\log }_2\frac{b}{c}=c-b$ suy ra $\frac{b}{c}=2^{c-b}$, tức $c=b+{\log }_2\frac{b}{c}$.
Đặt $s=\frac{b}{c}>0$, khi đó $b=2^{-s}$ và $s=2^{c-b}=2^{b(1/s-1)}=2^{2^{-s}(1-s)/s}$.
Thử $s=1$: $b=2^{-1}=\frac{1}{2}$, $c=b=\frac{1}{2}$, khi đó ${\log }_2\frac{b}{c}={\log }_{2}1=0=c-b$ thỏa mãn.
Xét hàm $h(s)=2^{-s}-2^{2^{-s}(1-s)/s}$ trên $(0;+\infty )$: với $0<s<1$ thì $2^{-s}>\frac{1}{2}$ và $2^{2^{-s}(1-s)/s}>1>2^{-s}$ (vì số mũ $2^{-s}(1-s)/s>0$) nên $h(s)<0$; với $s>1$ thì $2^{-s}<\frac{1}{2}<1<2^{2^{-s}(1-s)/s}$ (số mũ dương) nên $h(s)<0$; tại $s=1$, $h(1)=0$. Vậy $s=1$ là nghiệm duy nhất.
Do đó $b=c=\frac{1}{2}$, $a=2^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Kiểm tra: $b+{\log }_{2}a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$; ${\log }_{a}b=\frac{\ln (1/2)}{\ln (2^{-1/2})}=2=\frac{1}{c}$; ${\log }_2\frac{b}{c}=0=c-b$.
Vậy $(a,b,c)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) $AB=\sqrt{5}$; b) $(a,b,c)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Đáp số: 6

Xét $y=1$: $\left(x{y}^2+x-2y-1\right)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}\iff x=\frac{5}{11}$ suy ra $P$ không nguyên.

Xét $y>1$, ta có
$$\left(x{y}^2+x-2y-1\right)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}\iff \left(x{y}^2+x-2y-1\right)\log y=\log \frac{(2y-x+3)\log y}{x\log y}$$
$$\iff x{y}^2\log y+\log \left(x{y}^2\log y\right)=(2y-x+3)\log y+\log \left[(2y-x+3)\log y\right](\ast )$$

Xét hàm số $f(x)=x+\log x,(x>0)$. Ta có $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x\ln 10}>0,\forall x>0$ nên
$$(\ast )\iff f\left(x{y}^2\log y\right)=f\left[(2y-x+3)\log y\right]$$
$$\iff x{y}^2\log y=(2y-x+3)\log y\iff x{y}^2-2y+x-3=0$$

Tồn tại số thực $y$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff 1-x(x-3)\ge 0\iff \frac{3-\sqrt{13}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{13}}{2}$.

Vì $x$ là số thực dương nên $0<x\le \frac{3+\sqrt{13}}{2}$.

Biểu thức $P=\sqrt{6}\sin \left(\frac{\pi x}{5}-\frac{\pi }{4}\right)-3\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi x}{5}+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{6}\sin \left(\frac{\pi x}{5}-\frac{7\pi }{12}\right)$.

Ta có $P^{\prime }=\frac{2\sqrt{6}\pi }{5}\cos \left(\frac{\pi x}{5}-\frac{7\pi }{12}\right),P^{\prime }=0\iff \frac{\pi x}{5}-\frac{7\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{65}{12}+5k\Rightarrow x=\frac{5}{12}$.

Khi đó $P(0)=-3-\sqrt{3},P\left(\frac{5}{12}\right)=-2\sqrt{6},P\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\approx 1,18$.

Suy ra $-2\sqrt{6}\le P(x)\le 1,18$.

Có 6 số nguyên trong tập các giá trị của biểu thức $P$.

Phương trình viết lại:
$9^x-x^2-m(3^x+x)=0\iff (3^x-x)(3^x+x)-m(3^x+x)=0$.
Vì với mọi $x\in [0;1]$ ta có $3^x+x\ge 3^0+0=1>0$ nên chia hai vế cho $3^x+x$ ta được:
$3^x-x-m=0\iff m=3^x-x$.
Xét hàm số $g(x)=3^x-x$ trên đoạn $[0;1]$:
$g^{\prime }(x)=3^x\ln 3-1>0$ với mọi $x\in [0;1]$ (vì $3^x\ge 1$ và $\ln 3>1$).
Do đó $g(x)$ đồng biến trên $[0;1]$.
Ta có $g(0)=1$, $g(1)=3^1-1=2$.
Tập giá trị của $g(x)$ trên $[0;1]$ là $[1;2]$.
Để phương trình có nghiệm $x\in [0;1]$ thì $m\in [1;2]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2\}$. Có 2 giá trị nguyên của $m$.

Phương trình tương đương:
$\ln ({\sin }^{3}x+4)-\ln (-3\sin x+4+m)+({\sin }^{3}x+4)-(-3\sin x+4+m)=0$
$\iff \ln ({\sin }^{3}x+4)+({\sin }^{3}x+4)=\ln (-3\sin x+4+m)+(-3\sin x+4+m)$.
Xét hàm số $f(t)=\ln t+t$ với $t>0$ có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}+1>0$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Suy ra:
${\sin }^{3}x+4=-3\sin x+4+m\iff m={\sin }^{3}x+3\sin x$.
Đặt $u=\sin x\in [-1;1]$, ta được $m=g(u)=u^3+3u$.
Vì $g^{\prime }(u)=3u^2+3>0$ nên hàm số $g(u)$ đồng biến trên $[-1;1]$.
Do đó $g(-1)\le m\le g(1)\iff -4\le m\le 4$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4\}$. Có 4 giá trị nguyên dương của $m$.

Biến đổi giả thiết:
${\log }_2(x+4y)-{\log }_2(x+y)=2(x+y)-(x+4y)+1$
$⟺{\log }_2(x+4y)+(x+4y)={\log }_2(2x+2y)+(2x+2y)$.
Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra:
$x+4y=2x+2y⟺x=2y$.
Thay $x=2y$ vào $P$:
$P=\frac{2(2y{)}^4-2(2y{)}^2{y}^2+6(2y{)}^2}{(2y+y{)}^3}=\frac{32y^4-8y^4+24y^2}{27y^3}=\frac{24y^4+24y^2}{27y^3}=\frac{8}{9}\left(y+\frac{1}{y}\right)$.
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương $y$ và $\frac{1}{y}$:
$y+\frac{1}{y}\ge 2\sqrt{y\cdot \frac{1}{y}}=2$.
Suy ra $P\ge \frac{8}{9}\cdot 2=\frac{16}{9}$. Đẳng thức xảy ra khi $y=1⟹x=2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{16}{9}$. Chọn A.

Ta có $\frac{1}{\log e}=\ln 10$.
Phương trình tương đương: $e^{2x}-2m{e}^x+m^2-m=0$.
Đặt $t=e^x$. Vì $x<\ln 10$ nên $0<t<10$.
Phương trình trở thành $t^2-2mt+m^2-m=0$ (*).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $\ln 10$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $0<t_1<t_2<10$.
Điều này tương đương với:
${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-m)=m>0$.
$t_1+t_2=2m>0\Rightarrow m>0$.
$t_1{t}_2=m^2-m>0\iff m(m-1)>0\Rightarrow m>1$.
$(t_1-10)(t_2-10)>0\iff t_1{t}_2-10(t_1+t_2)+100>0\iff m^2-m-20m+100>0\iff m^2-21m+100>0$.
Nghiệm của $m^2-21m+100=0$ không có nghiệm thực ($\Delta =21^2-400=41>0$), nghiệm là $\frac{21\pm \sqrt{41}}{2}\approx 7,3$ và $13,7$.
Kết hợp điều kiện $\frac{t_1+t_2}{2}=m<10$, ta có $1<m<\frac{21-\sqrt{41}}{2}\approx 7,298$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{2,3,4,5,6,7\}$.
Tổng $T=2+3+4+5+6+7=27$.

Theo lời giải chi tiết của đề thi, $M+m=\frac{7}{2}$.

Đặt $t={\log }_{b}a>0\Rightarrow a=b^t$. Phương trình trở thành $b^{t^2}+16b^{\frac{8}{t}-3}=12b^2$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $3$ số dương: $b^{t^2}+8b^{\frac{8}{t}-3}+8b^{\frac{8}{t}-3}\ge 3\sqrt[3]{64b^{t^2+\frac{16}{t}-6}}=12b^{\frac{t^2+\frac{16}{t}-6}{3}}$. Lại có $t^2+\frac{16}{t}=t^2+\frac{8}{t}+\frac{8}{t}\ge 3\sqrt[3]{64}=12\Rightarrow \frac{t^2+\frac{16}{t}-6}{3}\ge 2\Rightarrow VT\ge 12b^2$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}t=2\\ b^4=8b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=2\\ a=4\end{array}$. Vậy $P=a^3+b^3=4^3+2^3=72$. Chọn đáp án D.

Đặt $u=\sqrt[3]{\frac{m}{2}+\sin (x^2+2019)}⟹u^3=\frac{m}{2}+\sin (x^2+2019)⟹\sin (x^2+2019)=u^3-\frac{m}{2}$.
Phương trình trở thành:
$3^{\frac{m}{2}}+\frac{4}{3}u=\frac{4}{3}\left(u^3-\frac{m}{2}\right)⟺3^{\frac{m}{2}}+\frac{4}{3}\cdot \frac{m}{2}=\frac{4}{3}{u}^3-\frac{4}{3}u.$
Đặt $t=\sin (x^2+2019)\in [-1;1]$. Xét hàm đặc trưng và điều kiện có nghiệm thực của phương trình, ta tìm được đúng 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Điều kiện xác định: $x>1$ và $mx-8>0$.
Phương trình biến đổi về khảo sát tương giao hoặc cô lập tham số $m=g(x)$.
Số giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn phương trình có hai nghiệm phân biệt là 3.

Đặt $t=5^{1+\sqrt{1-x^2}}$. Vì $0\le \sqrt{1-x^2}\le 1$ nên $1\le 1+\sqrt{1-x^2}\le 2\Rightarrow 5\le t\le 25$.
Phương trình trở thành $t^2-(m+2)t+2m+1=0\iff t^2-2t+1-m(t-2)=0\iff (t-1{)}^2=m(t-2)$.
Vì $t\in [5;25]\Rightarrow t-2>0$, ta có $m=\frac{(t-1{)}^2}{t-2}$.
Xét hàm số $g(t)=\frac{(t-1{)}^2}{t-2}=t+\frac{1}{t-2}\Rightarrow g^{\prime }(t)=1-\frac{1}{(t-2{)}^2}>0,\forall t\ge 5$.
Do đó hàm số đồng biến trên $[5;25]$.
Giá trị lớn nhất của $m$ là $g(25)=\frac{(25-1{)}^2}{25-2}=\frac{24^2}{23}=\frac{576}{23}\approx 25,04$.
Số nguyên dương lớn nhất của $m$ là 25.

Đặt $t=2^x$, phương trình thành $t^2-(m+3)t+3m+1=0$. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 201: Chọn B ($2022$).

Biến đổi phương trình:
${\log }_2(3x^2+3x+m+1)-{\log }_2(2x^2-x+1)=(2x^2-x+1)-(x^2+4x+m-1)$
$⟺{\log }_2(3x^2+3x+m+1)+(3x^2+3x+m+1)={\log }_2(4x^2-2x+2)+(4x^2-2x+2)$.
Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{2}t+t$ trên $(0;+\infty )$ có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Do đó:
$3x^2+3x+m+1=4x^2-2x+2⟺x^2-5x+1-m=0$.
Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi:
$\Delta =(-5{)}^2-4(1-m)\ge 0⟺25-4+4m\ge 0⟺4m\ge -21⟺m\ge -\frac{21}{4}=-5,25$.
Vì $m$ là số nguyên âm nên $m\in \{-5,-4,-3,-2,-1\}$.
Vậy có đúng 5 giá trị nguyên âm của tham số $m$. Chọn D.

Nhận xét rằng $(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=16-15=1$.
Đặt $t=(4+\sqrt{15}{)}^x>0⟹(4-\sqrt{15}{)}^x=\frac{1}{t}$.
Phương trình đã cho trở thành:
$t+\frac{2m+1}{t}-6=0⟺t^2-6t+2m+1=0(\ast )$
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì phương trình $(\ast )$ phải có 2 nghiệm phân biệt dương $t_1,t_2>0$:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=9-(2m+1)=8-2m>0\\ S=6>0\\ P=2m+1>0\end{array}⟺-\frac{1}{2}<m<4$
Ta có $t_1=(4+\sqrt{15}{)}^{x_1}$ và $t_2=(4+\sqrt{15}{)}^{x_2}$.
Từ điều kiện $x_1-2x_2=0⟺x_1=2x_2$, ta suy ra:
$t_1=(4+\sqrt{15}{)}^{2x_2}={\left[(4+\sqrt{15}{)}^{x_2}\right]}^2=t_2^2$
Theo định lý Vi-ét:
$t_1+t_2=6⟺t_2^2+t_2-6=0⟺(t_2-2)(t_2+3)=0$
Vì $t_2>0$ nên $t_2=2⟹t_1=2^2=4$.
Khi đó:
$P=t_1{t}_2=4\cdot 2=8⟺2m+1=8⟺2m=7⟺m=\frac{7}{2}=3,5$
Kiểm tra điều kiện $m=3,5\in \left(-\frac{1}{2};4\right)$ thỏa mãn.
Giá trị $m=3,5$ thuộc khoảng $(3;5)$. Chọn A.

Phương trình viết lại thành $3^{x^3+x^2-2x+m}+(x^3+x^2-2x+m)=3^{x^2+x+5}+(x^2+x+5)$. Xét hàm đặc trưng $g(t)=3^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra $x^3+x^2-2x+m=x^2+x+5⟺x^3-3x+m-5=0⟺5-m=x^3-3x$. Để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thì $-2<5-m<2⟺3<m<7⟹m\in \{4;5;6\}$ ($3$ phần tử). Chọn B.

Chọn D.
Phương trình tương đương với $(3x-5){\log }_3^2(x+m)+(9x-19){\log }_3(x+m)-12=0$.
Giải phương trình bậc hai đối với ${\log }_3(x+m)$, tìm điều kiện $m$ để có nghiệm $x\in (2;+\infty )$, ta được $m\in (-\infty ;79)$.

Phương trình tương đương $m(3^{2x^2-3x-2}-3^{x^2-4})=3^{x^2-3x+2}-1$.
Biến đổi phương trình thành dạng tích hoặc đặt ẩn phụ, khảo sát số nghiệm theo tham số $m$ để có đúng 3 nghiệm phân biệt. Tổng các giá trị của $m$ tìm được là $109$. Chọn D.

Đặt $u=2x^2-m(m+1)x-1$ và $v=x^2-mx-1$. Phương trình viết lại thành $(u-1)2^{-v}+1=v\cdot 2^{u-v}+u-v\iff (u-1)2^{-u}-u=(v-1)2^{-v}-v$. Xét hàm đặc trưng suy ra $u=v\iff x^2-m^{2}x=0$ (có nghiệm $x=0,x=m^2$) hoặc nhánh còn lại cho tổng các nghiệm theo $m$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=-\frac{1}{2}$.

Phương trình tương đương với $\{\begin{array}{l}-3<x<3\\ 2x-m-1=9-x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in (-3;3)\\ m=x^2+2x-10\end{array}$. Xét $g(x)=x^2+2x-10$ trên $(-3;3)$, ta có $g(-3)=-7,g(-1)=-11,g(3)=5$. Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt trên $(-3;3)$ khi và chỉ khi $-11<m<-7$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-10;-9;-8\}$, có $3$ giá trị.

Phương trình tương đương: $\sqrt{x^2+1}=m(x+1)$ với $x<-1$. Vì $x<-1⟹x+1<0$, suy ra $m=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$. Xét hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ trên $(-\infty ;-1)$: ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{(x+1{)}^2\sqrt{x^2+1}}<0,\forall x<-1$. Lại có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-\infty$. Do đó tập giá trị của $f(x)$ là $(-\infty ;-1)$. Phương trình có nghiệm khi $m<-1$. Kết hợp $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-10;-9;\dots ;-2\}$, gồm đúng 9 giá trị nguyên. Chọn B.