Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Thể tích khi quay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{(x+1{)}^3}{3}\right]}_{-1}^0=\frac{\pi }{3}\approx 1,05\ne 9\pi$ → Sai.
b) $S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx={\left[\frac{(0,7{)}^x}{\ln 0,7}\right]}_0^2=\frac{0,49-1}{\ln 0,7}=\frac{-0,51}{-0,356675}\approx 1,43$ → Đúng.
c) Trên $[1;2]$ thì $f(x)\ge g(x)$, thể tích $V=\pi {\int }_1^2\left[(x+1{)}^2-(0,7{)}^{2x}\right]dx=\pi \left(\frac{19}{3}-\frac{0,49^2-0,49}{\ln 0,49}\right)=\pi (6,3333-0,3503)\approx 18,8$ → Đúng.
d) Trên $[1;4]$ thì $f(x)\ge g(x)$: $S={\int }_1^4\left[(x+1)-(0,7{)}^x\right]dx={\left[\frac{x^2}{2}+x\right]}_1^4-{\left[\frac{(0,7{)}^x}{\ln 0,7}\right]}_1^4=10,5-\frac{0,2401-0,7}{\ln 0,7}\approx 10,5-1,2897\approx 9,21\ne 9,12$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\frac{\pi }{3}\ne 9\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx=\frac{0,49-1}{\ln 0,7}\approx 1,43$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^2\left[(x+1{)}^2-(0,7{)}^{2x}\right]dx\approx \pi (6,3333-0,3503)\approx 18,8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_1^4\left[(x+1)-(0,7{)}^x\right]dx=10,5-\frac{0,2401-0,7}{\ln 0,7}\approx 10,5-1,2897\approx 9,21\ne 9,12$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước đến chiều cao $x$: $V(x)=\pi {\int }_0^x(10+\sqrt{t}{)}^{2}dt=\pi \left(100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}\right)$. Thể tích chậu (x=16): $V(16)=\pi \left(1600+\frac{2560}{3}+128\right)=\frac{7744\pi }{3}$. Cần $V(x)=\frac{1}{2}V(16)=\frac{3872\pi }{3}$, tức $100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}=\frac{3872}{3}\approx 1290,67$. Giải bằng máy tính (hàm f(x)=100x+$\frac{40}{3}$x^{3/2}+$\frac{x^2}{2}$-$\frac{3872}{3}$) trên $[0;16]$ cho nghiệm $x\approx 8,94$ cm (kiểm tra: tại $x=8,94$, vế trái $\approx 1290,36$; tại $x=8,942$ được $\approx 1290,67$). Vậy $x\approx 8,94$.

Đáp án: 59,5.
Lời giải chi tiết:


Giải phương trình $x^2-3x+2=2x-2\iff x^2-5x+4=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=4\end{array}\right]$.
Thể tích khối tròn xoay là: $V=\pi \left[\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2-3x+2\right)}^{2}dx-\underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(2x-2\right)}^{2}dx\right]\approx 59,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{\pi /4}^{\pi /2}{\left(\frac{3}{\sin x}\right)}^{2}dx=9\pi {\int }_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}=9\pi {\left[-\cot x\right]}_{\pi /4}^{\pi /2}=9\pi (0-(-1))=9\pi$. Vậy $a=9$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 2 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^{\pi /4}{\left(\frac{2}{\cos x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi /4}\frac{4}{{\cos }^{2}x}dx=4\pi \tan x{|}_0^{\pi /4}=4\pi \left(1-0\right)=4\pi$. Vậy $m=4$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 3 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{\ln 2}^{\ln 7}{y}^{2}dx=\pi {\int }_{\ln 2}^{\ln 7}{e}^{x}dx=\pi \left(e^{\ln 7}-e^{\ln 2}\right)=\pi (7-2)=5\pi \approx 15,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 15,7.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{\ln 2}^{\ln 7}{y}^{2}dx=\pi {\int }_{\ln 2}^{\ln 7}{e}^{x}dx=\pi \left(e^{\ln 7}-e^{\ln 2}\right)=\pi (7-2)=5\pi \approx 15,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 15,7.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với đỉnh parabol tại đáy chậu, trục $Oy$ dọc trục chậu. Mặt cắt là parabol $y=k{x}^2$; khi $x=15cm$ thì $y=30cm$, nên $k=\frac{15^2}{30}=7,5$, tức $x^2=\frac{y}{7,5}$. Thể tích khối tròn xoay: $$V=\pi {\int }_0^{30}{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^{30}\frac{y}{7,5}dy=\pi \cdot \frac{30^2}{2\cdot 7,5}=3375\pi ({\text{cm}}^3).$$ Đổi đơn vị: $3375\pi {\text{cm}}^3=3,375\pi {\text{dm}}^3\approx 10,6029{\text{dm}}^3$. Vậy thể tích chậu cây khoảng $10,6{\text{dm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_2^4{\left(3x+\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_2^4\left(9x^2+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^4}\right)dx=\pi {\left[3x^3+6\ln x-\frac{1}{3x^3}\right]}_2^4=\pi \left(192-24+6\ln 2+\frac{1}{24}-\frac{1}{192}\right)=\pi \left(168+6\ln 2+\frac{7}{192}\right)\approx \pi \cdot 172,195\approx 540,97\approx 541$. Khớp với đáp án nguồn 541.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_1^2{\left(4x+\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(16x^2+\frac{8}{x}+\frac{1}{x^4}\right)dx$. Nguyên hàm: $\frac{16x^3}{3}+8\ln x-\frac{1}{3x^3}$. Tại $x=2$: $\frac{128}{3}+8\ln 2-\frac{1}{24}$; tại $x=1$: $\frac{16}{3}-\frac{1}{3}=5$. Vậy $V=\pi \left(\frac{128}{3}-5+8\ln 2-\frac{1}{24}\right)=\pi \left(\frac{903}{24}+8\ln 2\right)\approx \pi (37.625+5.545)\approx 135.6\approx 136$, khớp đáp án nguồn 136.

(AI giải đề cho tôi)
a) Diện tích $S={\int }_0^3{e}^{x}dx=e^3-1\ne e^3$ → sai.
b) Trên $[0;4]$, $e^x-2$ đổi dấu tại $x=\ln 2$. Diện tích $S={\int }_0^{\ln 2}(2-e^x)dx+{\int }_{\ln 2}^4(e^x-2)dx=(2\ln 2-1)+(e^4-2-2(4-\ln 2))=e^4+4\ln 2-11\approx 46,37\ne 3$ → sai.
c) Tiếp tuyến tại $x_0=1$: $y=e(x-1)+e=ex$, đi qua gốc $O$. Diện tích tam giác giới hạn bởi $y=ex$, trục hoành, $x=0$, $x=3$ là $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3e=\frac{9e}{2}$ → đúng.
d) $V=\pi {\int }_0^3{e}^{2x}dx=\pi \cdot \frac{e^6-1}{2}\ne e^6$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^3{e}^{x}dx=e^3-1\ne e^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=e^4+4\ln 2-11\approx 46,37\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $y=ex$ qua gốc $O$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3e=\frac{9e}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^3{e}^{2x}dx=\frac{\pi (e^6-1)}{2}\ne e^6$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang sân ga gồm phần tường chữ nhật cao 5 m, rộng 20 m và phần mái parabol cao 10 m, rộng 20 m. Diện tích parabol = (2/3)·20·10 = 400/3 m². Diện tích mặt cắt = 20·5 + 400/3 = 1000/3 m². Thể tích sân = (1000/3)·60 = 20000 m³. Hai quạt thổi tổng 160 m³/phút nên thời gian = 20000/160 = 125 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục Oxy với parabol đi qua $(0;0)$ và $(20;0)$, đỉnh cao $h$ tại $x=10$. Phương trình parabol: $y=\frac{4h}{20^2}x(20-x)=\frac{h}{100}x(20-x)$. Diện tích tiết diện ngang: $S(h)={\int }_0^{20}\frac{h}{100}x(20-x)dx=\frac{h}{100}{\left(10x^2-\frac{x^3}{3}\right)}_0^{20}=\frac{h}{100}\cdot \frac{4000}{3}=\frac{40h}{3}$. Thể tích mái vòm dài $60m$: $V(h)=60\cdot \frac{40h}{3}=800h$. Chênh lệch thể tích khi $h$ tăng từ $8$ lên $10$: $\Delta V=800(10-8)=1600m^3$.

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp sao cho đường elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường sinh elip quay quanh trục đối xứng.
Tích phân thể tích cho kết quả xấp xỉ $V\approx 344964{\text{ cm}}^3$.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $x+y=4$.
Điểm $M(x;4-x)$ thuộc đoạn $AB$ với $0<x<4$.
$H$ là hình chiếu của $M$ lên $OA$, suy ra $H(x;0)$.
Độ dài $OH=x$ và $MH=4-x$.
Khi quay tam giác vuông $OMH$ quanh trục $OA$, ta được khối nón có chiều cao $h=OH=x$ và bán kính đáy $r=MH=4-x$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (4-x{)}^{2}x$.
Xét hàm số $g(x)=x(4-x{)}^2$ trên khoảng $(0;4)$:
$g^{\prime }(x)=(4-x{)}^2-2x(4-x)=(4-x)(4-3x)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{4}{3}\in (0;4)$.
Giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $g\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}{\left(4-\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{4}{3}\cdot \frac{64}{9}=\frac{256}{27}$.
Vậy $V_{\max }=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{256}{27}=\frac{256\pi }{81}$.

Mặt cắt dọc của thùng rượu là hình phẳng giới hạn bởi đường cong parabol. Chọn hệ trục tọa độ với đỉnh parabol tại $(0;40)$ và đi qua $(50;30)$.
Phương trình parabol: $y=40-\frac{x^2}{250}$.
Thể tích thùng rượu là: $V=\pi {\int }_{-50}^{50}{y}^{2}dx=2\pi {\int }_0^{50}{\left(40-\frac{x^2}{250}\right)}^{2}dx\approx 425162{\text{ cm}}^3\approx 425\text{ lıˊt}$.

Hình thang $ABCD$ có $AB\perp BC$, $AD\perp AB$, $AD=2a$, $BC=a,AB=a$.
Khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh $BC$, ta có thể coi khối tròn xoay $(T)$ được ghép bởi:
- Khối trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật $ABHD$ (với $H$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $DH\perp BC$ tại $H$, $DH=AB=a,BH=AD=2a$). Bán kính đáy $R=DH=a$, chiều cao $h_1=BH=2a$. Thể tích khối trụ là $V_{\text{trụ}}=\pi R^2{h}_1=\pi a^2(2a)=2\pi a^3$.
- Trừ đi khối nón bị rỗng sinh ra bởi tam giác vuông $CDH$ vuông tại $H$ có $CH=BH-BC=2a-a=a$ và bán kính đáy $DH=a$. Thể tích khối nón là $V_{\text{noˊn}}=\frac{1}{3}\pi (DH{)}^2\cdot CH=\frac{1}{3}\pi a^2\cdot a=\frac{\pi a^3}{3}$.
Thể tích khối tròn xoay $(T)$ là:
$V=V_{\text{trụ}}-V_{\text{noˊn}}=2\pi a^3-\frac{\pi a^3}{3}=\frac{5\pi a^3}{3}.$

Đặt $AB=c,AC=b$, chiều cao kẻ từ $A$ xuống $BC$ là $h=\frac{bc}{a}$ với $a=\sqrt{b^2+c^2}$.
Khi quay quanh $AC$: bán kính đáy là $c$, chiều cao $b\Rightarrow V_2=\frac{1}{3}\pi c^{2}b=3\pi \Rightarrow c^{2}b=9$.
Khi quay quanh $AB$: bán kính đáy là $b$, chiều cao $c\Rightarrow V_3=\frac{1}{3}\pi b^{2}c=4\pi \Rightarrow b^{2}c=12$.
Chia hai biểu thức: $\frac{b^{2}c}{c^{2}b}=\frac{b}{c}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\Rightarrow b=\frac{4}{3}c$.
Thay vào: $c^2\cdot \frac{4}{3}c=9\Rightarrow c^3=\frac{27}{4}\Rightarrow c=\frac{3}{\sqrt[3]{4}},b=\sqrt[3]{16}$.
Đặc biệt, ta có hệ thức giữa các thể tích: $\frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{V_2^2}+\frac{1}{V_3^2}$.
$\frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{(3\pi {)}^2}+\frac{1}{(4\pi {)}^2}=\frac{1}{9{\pi }^2}+\frac{1}{16{\pi }^2}=\frac{25}{144{\pi }^2}\Rightarrow V_1=\frac{12\pi }{5}$

Trên đoạn $[-1;1]$, ta có $2-x^2\ge x^2\ge 0$ nên $V=\pi {\int }_{-1}^1(2-x^2{)}^{2}dx-\pi {\int }_{-1}^1(x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-1}^1(x^4-4x^2+4)dx-\pi {\int }_{-1}^1{x}^{4}dx$.

Diện tích thiết diện tại điểm có hoành độ $x\in [-4;4]$ là $S(x)=\frac{1}{2}(16-x^2)$. Thể tích vật thể là $V={\int }_{-4}^4\frac{1}{2}(16-x^2)dx=\frac{128}{3}\approx 42,7$.