Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tìm parabol (P) qua O(0;0), M(6;2), N(3;0): c=0; 9a+3b=0; 36a+6b=2 nên a=1/9, b=−1/3, tức (P): y=x²/9−x/3. Hiệu hai đồ thị: (C)−(P) = (x−3)³/27+1 − x²/9 + x/3 = x³/27 − 4x²/9 + 4x/3 = (x/27)(x−6)² ≥ 0 trên [0;6]. Diện tích một cánh hoa: S = ∫₀⁶ (x/27)(x−6)² dx = [x⁴/108 − 4x³/27 + 2x²/3]₀⁶ = 12 − 32 + 24 = 4 m². Logo có 6 cánh: tổng diện tích = 24 m². Chi phí = 24 × 210 = 5040 nghìn đồng, khớp đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 4: 5040).

(AI giải đề cho tôi)
Tìm parabol (P): qua O(0;0) nên c=0; qua N(3;0): 9a+3b=0 nên b=-3a; qua M(6;2): 36a+6b=2 nên 18a=2, a=1/9, b=-1/3. Vậy (P): y=x²/9 - x/3. Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng giữa (C) và (P) trên [0;6]: S=∫₀⁶[(x-3)³/27+1 - x²/9 + x/3]dx. Đặt t=x-3, tích phân trở thành ∫₋₃³(t³/27 - t²/9 - 2t/3 +1)dt; các hạng tử lẻ triệt tiêu, còn ∫₋₃³(1 - t²/9)dt = [t - t³/27]₋₃³ = (3-1)-(-3+1)=4 m². Logo có 6 cánh: tổng diện tích 24 m². Chi phí = 24×210 = 5040 nghìn đồng, khớp đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 2: 5040).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2-3x+4=2x-2\iff x^3-2x^2-5x+6=0\iff (x-1)(x+2)(x-3)=0$, nên $x=-2;1;3$ → ý a đúng.

Trên $[-2;1]$, đồ thị $(C)$ nằm trên $(d)$ (tại $x=0$: $(C)$ có $y=4$, $(d)$ có $y=-2$), nên $S_1={\int }_{-2}^1(x^3-2x^2-5x+6)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+6x\right]}_{-2}^1=\frac{37}{12}-\left(-\frac{38}{3}\right)=\frac{63}{4}$ → ý b đúng.

Trên $[1;3]$, $(d)$ nằm trên $(C)$ (tại $x=2$: $(d)$ có $y=2$, $(C)$ có $y=-2$), nên $S_2={\int }_1^3\left(-x^3+2x^2+5x-6\right)dx=\frac{16}{3}$; còn ${\int }_1^3(x^3-2x^2-5x+6)dx=-\frac{16}{3}<0$ → ý c sai.

Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{63/4}{16/3}=\frac{189}{64}\ne \frac{4}{3}$ → ý d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^3-2x^2-5x+6=0$ được $(x-1)(x+2)(x-3)=0$, hoành độ giao điểm $x=-2;1;3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;1]$ đồ thị $(C)$ nằm trên $(d)$: $S_1={\int }_{-2}^1(x^3-2x^2-5x+6)dx=\frac{63}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$ đường thẳng $(d)$ nằm trên $(C)$ nên $S_2={\int }_1^3(-x^3+2x^2+5x-6)dx=\frac{16}{3}$; công thức trong đề cho giá trị âm $-\frac{16}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{63/4}{16/3}=\frac{189}{64}\ne \frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{16}x+\frac{71}{64}$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{9}{2}x+\frac{15}{16}=0\iff 16x^2+24x+5=0\iff x=-\frac{5}{4}$ hoặc $x=-\frac{1}{4}$. Điểm cực đại $D\left(-\frac{5}{4};\frac{3}{2}\right)$, điểm cực tiểu $C\left(-\frac{1}{4};1\right)$ (vì $f\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{-1+9-15+71}{64}=1$, $f\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{-125+225-75+71}{64}=\frac{96}{64}=\frac{3}{2}$).

Giao điểm $A$ với trục $Ox$ là nghiệm của $64x^3+144x^2+60x+71=0$, suy ra $x_A\approx -2,0564$; giao điểm $B$ với trục $Oy$ là $B\left(0;\frac{71}{64}\right)\approx (0;1,1094)$.

a) Diện tích mặt hồ: $S={\int }_{x_A}^{0}f(x)dx=-F(x_A)$ với $F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{3x^3}{4}+\frac{15x^2}{32}+\frac{71x}{64}$, $F(0)=0$, tính $F(x_A)\approx -2,3507$ nên $S\approx 2,3507$ km². Đảo tròn đường kính $200$ m $=0,2$ km có diện tích $\pi (0,1{)}^2\approx 0,0314$ km². Diện tích mặt nước $\approx 2,3507-0,0314\approx 2,32$ km² $\ne 2,22$ km² → Sai.

b) $AOB=OA+OB\approx 2,0564+1,1094\approx 3,17\approx 3,2$ km $\ne 3,3$ km → Sai.

c) $C$ có tung độ $1$, đường lớn $y=2$, đường $CE$ theo phương trục tung nên $CE=2-1=1$ km → Đúng.

d) Khoảng cách theo phương trục $Oy$ từ điểm $(x;0)$ trên bờ $Ox$ đến bờ đối diện (cung cong) là $f(x)$, lớn nhất trên $[x_A;0]$ tại điểm cực đại $x=-\frac{5}{4}=-1,25$, tức điểm cách $O$ đúng $1,25$ km → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng $\approx 2,3507$ km², trừ diện tích đảo $\pi (0,1{)}^2\approx 0,0314$ km², mặt nước $\approx 2,32$ km², không phải 2,22 km².
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$OA\approx 2,0564$ km, $OB=\frac{71}{64}\approx 1,1094$ km, tổng $\approx 3,2$ km, không phải 3,3 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C\left(-\frac{1}{4};1\right)$ là điểm cực tiểu nên $CE=2-1=1$ km.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách thẳng đứng đến bờ đối diện là $f(x)$, đạt max tại $x=-\frac{5}{4}=-1,25$ km (điểm cực đại $D$ có tung độ $1,5$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ${\int }_0^m(1-2x)dx=m-m^2$, hàm $m-m^2$ đạt GTLN tại $m=\frac{1}{2}$ (không phải $\frac{1}{4}$). b) Đúng: vì $f(x)>0$ trên $[a;b]$ nên $S={\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. c) Đúng: ${\int }_0^{1}g+{\int }_7^{12}g={\int }_0^{12}g-{\int }_1^{7}g=792-186=606$. d) Đúng: theo tính tuyến tính của tích phân bất định, $\int [f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^m(1-2x)dx=m-m^2$ đạt max tại $m=\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)>0$ trên $[a;b]$, $S={\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$792-186=606$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của nguyên hàm.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$ và cắt trục hoành tại $x=\pm 2$ nên $y=f(x)=-x^2+4$.

a) Sai: phát biểu $y=-x^2-4$ có đỉnh $(0;-4)$, không khớp hình vẽ; đúng là $y=-x^2+4$.

b) Sai: với $CD=3$, giao điểm parabol với $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, nên $CF=2$ m, không phải $2\sqrt{2}$ m.

c) Đúng: diện tích dưới parabol ${\int }_{-2}^2(-x^2+4)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+4x\right]}_{-2}^2=\frac{32}{3}$. Diện tích hình chữ nhật $CDEF=2\cdot 3=6$. Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $=\frac{14}{3}$ triệu đồng.

d) Sai: với chiều cao cửa $h\in (0;4)$, chiều rộng $2\sqrt{4-h}$, diện tích tô đậm $S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$. Đặt $g(h)=h\sqrt{4-h}$, $g^{\prime }(h)=\sqrt{4-h}-\frac{h}{2\sqrt{4-h}}=0\Rightarrow h=\frac{8}{3}$, $g_{max}=\frac{8}{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{3\sqrt{3}}$. Suy ra $S_{min}=\frac{32}{3}-\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 4,508$ triệu đồng $\approx 4,508.000$ đồng $\ne 4,608.000$ đồng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(0;4)$, đi qua $(\pm 2;0)$ nên $y=-x^2+4$, không phải $y=-x^2-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=3$: $3=-x^2+4\Rightarrow x=\pm 1$, chiều rộng cửa $CF=2$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm $=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$, chi phí $\frac{14}{3}$ triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S(h)=\frac{32}{3}-2h\sqrt{4-h}$ đạt min tại $h=\frac{8}{3}$, $S_{min}=\frac{32}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 4,508$ triệu đồng, không phải 4.608.000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: phần A nằm trên trục hoành trên đoạn [0;1] có diện tích S_A=4, phần B nằm dưới trục hoành trên đoạn [1;3] có diện tích S_B=10.
a) Trên [1;3] thì f'(x)≤0 nên ∫₁³|f'(x)|dx = -∫₁³f'(x)dx = S_B = 10. Đúng.
b) Trên [0;1] thì f'(x)≥0 nên ∫₀¹f'(x)dx = S_A = 4. Đúng.
c) S = S_A + S_B = 14, còn ∫₀³f'(x)dx = S_A - S_B = 4 - 10 = -6 ≠ 14. Sai.
d) ∫₀³f'(x)dx = 4 - 10 = -6. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;3], f'(x)≤0 nên ∫₁³|f'(x)|dx = -∫₁³f'(x)dx = S_B = 10.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], f'(x)≥0 nên ∫₀¹f'(x)dx = S_A = 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = S_A + S_B = 14, trong khi ∫₀³f'(x)dx = S_A - S_B = -6 ≠ 14.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³f'(x)dx = S_A - S_B = 4 - 10 = -6.

(AI giải đề cho tôi)
Vườn hoa là hình tròn bán kính $R=6m$, hình vuông $ABCD$ cạnh $AB=4m$ nằm bên trong đường tròn (tâm đường tròn là tâm hình vuông, khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh là $2m<6m$).

Diện tích trồng hoa (bên trong hình vuông): $S_{vu\hat{o}ng}=4^2=16m^2$.

Phần trồng cỏ: gồm 4 phần bằng nhau, mỗi phần giới hạn bởi một cạnh của hình vuông (độ dài 4), đường tròn và hai đường thẳng vuông góc với cạnh tại hai đầu mút. Với cạnh song song trục hoành tại $y=2$, $x\in [-2;2]$, diện tích một phần là
$$S_1={\int }_{-2}^2\left(\sqrt{36-x^2}-2\right)dx=2{\int }_0^2\sqrt{36-x^2}dx-8.$$
Tính ${\int }_0^2\sqrt{36-x^2}dx={\left[\frac{x}{2}\sqrt{36-x^2}+18\arcsin \frac{x}{6}\right]}_0^2=\sqrt{32}+18\arcsin \frac{1}{3}\approx 5,6569+6,1171=11,7740$.
Suy ra $S_1\approx 2\cdot 11,7740-8=15,548m^2$, tổng diện tích trồng cỏ $S_{cỏ}\approx 4\cdot 15,548=62,192m^2$.

Chi phí:
- Trồng hoa: $16\cdot 0,2=3,2$ triệu đồng.
- Trồng cỏ: $62,192\cdot 0,1\approx 6,219$ triệu đồng.
- 4 cây cau voi: $4\cdot 0,5=2$ triệu đồng.

Tổng: $3,2+6,219+2\approx 11,419\approx 11,4$ triệu đồng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn $11,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có đỉnh $I(0;8)$, cắt mặt đất tại $A(-4;0)$, $B(4;0)$. Parabol có dạng $y=a{x}^2+8$; thay $(4;0)$: $0=16a+8\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$, nên $y=8-\frac{x^2}{2}$.

Vì $MN=4$ và $M,N$ đối xứng qua $Oy$ nên $M(-2;6)$, $N(2;6)$ (kiểm tra: $y(-2)=8-2=6$), phù hợp $MQ=6$. Diện tích phông: $S_{MNPQ}=4\cdot 6=24m^2$.

Diện tích dưới parabol phía trên đoạn $MN$:
$$S={\int }_{-2}^2\left(8-\frac{x^2}{2}\right)dx={\left[8x-\frac{x^3}{6}\right]}_{-2}^2=32-\frac{8}{3}=\frac{88}{3}.$$

Diện tích trồng hoa (phía trên phông, dưới parabol):
$$S_{hoa}=\frac{88}{3}-24=\frac{16}{3}{m}^2.$$

Chi phí: $\frac{16}{3}\cdot 0,2=\frac{3,2}{3}\approx 1,0667$ triệu đồng $\approx 1,1$ triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_0^1(x^2-2x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]}_0^1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$ → đúng. b) Trên $[1;2]$, $f(x)\le 0$ nên $S={\int }_1^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\ne \frac{4}{3}$ → sai. c) $x^2-2x=x\iff x=0$ hoặc $x=3$; trên $(0;3)$ parabol nằm dưới đường thẳng nên $S={\int }_0^3(3x-x^2)dx=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}$ → đúng. d) $V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^4-4x^3+4x^2)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi }{15}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(x^2-2x)dx=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế là ${\int }_1^2(2x-x^2)dx=\frac{2}{3}$, không phải $\frac{4}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $x=0,3$; $S={\int }_0^3(3x-x^2)dx=\frac{9}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\frac{8\pi }{15}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+x+3=-x^2+2x+1\iff x^3-2x^2-x+2=0\iff (x+1)(x-1)(x-2)=0$, nên $x=-1,x=1,x=2$. Đặt $h(x)=x^3-2x^2-x+2$ (hiệu hai hàm số). Với $x\in (-1;1)$: $h(0)=2>0$ nên hàm bậc ba nằm trên parabol; với $x\in (1;2)$: $h(1,5)=-0,625<0$ nên parabol nằm trên. Do đó diện tích gạch sọc là $S={\int }_{-1}^1(x^3-2x^2-x+2)\mathrm{d}x+{\int }_1^2(-x^3+2x^2+x-2)\mathrm{d}x$, trùng với phương án D (khớp đáp án nguồn 20.D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: nguyên hàm phải có hằng số $+C$: $\int f(x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+C$. b) Sai: với $x\ne 1$, $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$, nên ${\int }_2^4(x-2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-2x\right]}_2^4=(8-8)-(2-4)=2\ne 0$. c) Đúng: $f(x)-g(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, hai đồ thị cắt tại $x=1,3$; diện tích $=\left|{\int }_1^3(x^2-4x+3)dx\right|=\left|{\left[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]}_1^3\right|=\left|0-\frac{4}{3}\right|=\frac{4}{3}$. d) Sai: $h^{\prime }(x)=f(x)-g(x)=x^2-4x+3$, $h^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; $h^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=3$ nên $h$ đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=3$. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=x^2-3x+2$ là $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+C$, khẳng định thiếu hằng số $C$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;4]$, $\frac{f(x)}{g(x)}=x-2$, tích phân bằng ${\left[\frac{x^2}{2}-2x\right]}_2^4=2\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại $x=1,3$; diện tích $=\left|{\int }_1^3(x^2-4x+3)dx\right|=\frac{4}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=x^2-4x+3$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=3$, nên $h$ đạt cực tiểu tại $x=3$, không phải cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hai parabol đi qua các đỉnh hình vuông, đỉnh trên Oy. Parabol trên qua A(-4;4), B(4;4), đỉnh (0;2): $y=a{x}^2+2$ với $16a+2=4\Rightarrow a=\frac{1}{8}$, tức $y=\frac{x^2}{8}+2$. Tương tự parabol dưới: $y=-\frac{x^2}{8}-2$. → a) Đúng.

Diện tích trồng hoa là phần nằm giữa hai parabol với $x\in [-4;4]$:
$$S_1={\int }_{-4}^4\left[\left(\frac{x^2}{8}+2\right)-\left(-\frac{x^2}{8}-2\right)\right]dx={\int }_{-4}^4\left(\frac{x^2}{4}+4\right)dx=\frac{32}{3}+32=\frac{128}{3}{m}^2.$$
→ b) Sai ($\frac{128}{3}\ne \frac{44}{3}$).

Diện tích trồng cỏ: $S_2=64-\frac{128}{3}=\frac{64}{3}{m}^2$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{128/3}{64/3}=2\ne \frac{11}{37}$ → c) Sai.

Chi phí: $\frac{128}{3}\cdot 100000+\frac{64}{3}\cdot 70000=\frac{12800000+4480000}{3}=5760000$ đồng $\ne 4900000$ đồng → d) Sai. (Lưu ý: ngay cả nếu lấy $S_1=\frac{44}{3}$, $S_2=\frac{148}{3}$ thì chi phí là $\frac{4400000+10360000}{3}=4920000$ đồng, vẫn khác $4900000$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol qua $(\pm 4;4)$ đỉnh $(0;2)$: $y=\frac{x^2}{8}+2$; parabol qua $(\pm 4;-4)$ đỉnh $(0;-2)$: $y=-\frac{x^2}{8}-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_1={\int }_{-4}^4\left(\frac{x^2}{4}+4\right)dx=\frac{128}{3}{m}^2\ne \frac{44}{3}{m}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_2=64-\frac{128}{3}=\frac{64}{3}$, nên $\frac{S_1}{S_2}=2\ne \frac{11}{37}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí $=\frac{128}{3}\cdot 100000+\frac{64}{3}\cdot 70000=5760000$ đồng $\ne 4900000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hình (H) giới hạn bởi y=3e^{-x}, trục hoành, trục tung và x=2 (với 0≤x≤2, f(x)>0).
a) Diện tích S = ∫₀² 3e^{-x}dx = [-3e^{-x}]₀² = -3e^{-2}+3 = 3 - 3/e². Đúng.
b) ∫3e^{-x}dx = -3e^{-x}+C. Đúng.
c) ∫₀² f(x)dx = 3 - 3e^{-2} = (3e²-3)/e², khác (3-3e²)/e² (giá trị âm). Sai.
d) Thể tích V = π∫₀² 9e^{-2x}dx = 9π[-e^{-2x}/2]₀² = (9π/2)(1-e^{-4}) = 9π(e⁴-1)/(2e⁴). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀² 3e^{-x}dx = 3(1-e^{-2}) = 3 - 3/e².
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của 3e^{-x} là -3e^{-x}+C.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀² f(x)dx = 3 - 3e^{-2} = (3e²-3)/e² > 0, không phải (3-3e²)/e².
d) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀² 9e^{-2x}dx = (9π/2)(1-e^{-4}) = 9π(e⁴-1)/(2e⁴).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)-g(x)=x^3-3x^2+2-(-x^2+x)=x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$, nên hai đồ thị cắt nhau tại $x=-1,x=1,x=2$.

a) $S_2$ là phần giữa $x=1$ và $x=2$. Trên $(1;2)$, $f(x)-g(x)<0$ nên $S_2={\int }_1^2(g(x)-f(x))dx=-{\int }_1^2(x^3-2x^2-x+2)dx$. Nguyên hàm $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x$; $F(2)=\frac{2}{3}$, $F(1)=\frac{13}{12}$, nên $S_2=-\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{12}\right)=\frac{5}{12}$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Diện tích phải dùng giá trị tuyệt đối: $S={\int }_{-1}^2|f(x)-g(x)|dx={\int }_{-1}^1(f-g)dx+{\int }_1^2(g-f)dx$, không thể viết trực tiếp ${\int }_{-1}^2(x^3-4x^2-x+2)dx$ (thiếu dấu giá trị tuyệt đối, và biểu thức trong tích phân cũng sai vì $f-g=x^3-2x^2-x+2$). Mệnh đề SAI.

c) $V=\pi {\int }_1^{2}g(x{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2(x^2-x{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\pi \left(\frac{31}{5}-\frac{15}{2}+\frac{7}{3}\right)=\frac{31\pi }{30}$. Đề nói $V=\frac{31}{30}$ (thiếu $\pi$) nên SAI.

d) $f(x)=x(x-1)(x-2)$... thực tế $f(x)=x^3-3x^2+2$, $f(1)=0$, $f(2)=-2$. Diện tích $={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx$ với nguyên hàm $G(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$: $G(1)=\frac{5}{4}$, $G(2)=0$, nên diện tích $=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\ne 1$. Mệnh đề SAI.

So sánh với đáp án nguồn (Đ S S S): khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;2)$, $g-f=-(x^3-2x^2-x+2)$; $S_2=-\left[F(2)-F(1)\right]=-\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{12}\right)=\frac{5}{12}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng ${\int }_{-1}^2|f(x)-g(x)|dx$; ngoài ra $f-g=x^3-2x^2-x+2$ chứ không phải $x^3-4x^2-x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^2(x^2-x{)}^{2}dx=\frac{31\pi }{30}$, không phải $\frac{31}{30}$ (thiếu $\pi$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)-g(x)=x^3-3x^2+2+x^2-x=x^3-2x^2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2)$, đổi dấu tại $x=-1,1,2$.
a) Trên $(-1;1)$, $f-g>0$ nên $S_1={\int }_{-1}^1(x^3-2x^2-x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-1}^1=\frac{13}{12}-\left(-\frac{19}{12}\right)=\frac{8}{3}$. Đúng.
b) Trên $(1;2)$, $f-g<0$ nên diện tích phần $S_2$ phải lấy ${\int }_1^2\left[-(x^3-2x^2-x+2)\right]dx$; công thức đề bài (không có giá trị tuyệt đối) cho ${\int }_{-1}^2(x^3-2x^2-x+2)dx=\frac{8}{3}-\frac{5}{12}=\frac{9}{4}\ne S$. Sai.
c) $V=\pi {\int }_1^3{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^3(x^4-2x^3+x^2)dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]}_1^3=\pi \left(\frac{171}{10}-\frac{1}{30}\right)=\frac{256\pi }{15}\ne \frac{31}{30}$. Sai.
d) $f(x)=(x-1)(x^2-2x-2)$ có nghiệm $x=1,x=1\pm \sqrt{3}$; trên $(-1;1-\sqrt{3})$ thì $f<0$, trên $(1-\sqrt{3};1)$ thì $f>0$. Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$: $F(1)=\frac{5}{4}$, $F(1-\sqrt{3})=-1$, $F(-1)=-\frac{3}{4}$. Diện tích $=-(F(1-\sqrt{3})-F(-1))+(F(1)-F(1-\sqrt{3}))=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-1;1) có f-g>0, S1 = ∫_{-1}^{1}(x^3-2x^2-x+2)dx = 8/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;2) thì f-g<0 nên phải lấy trị tuyệt đối; tích phân đề bài cho 9/4 ≠ S.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫_1^3 (−x²+x)² dx = 256π/15 ≠ 31/30.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tách tại nghiệm x = 1−√3 của f, diện tích = 1/4 + 9/4 = 5/2.