Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Vào ngày 8/3, từ một tấm bìa hình vuông cạnh $8(dm)$, An dùng các đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $x=f(y)$ để vẽ hoa tặng mẹ, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng $2(dm)$. Khi đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ thì điểm $A(2;0)$ và đường cong $AB$ là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$. Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm $\frac{3}{4}$ diện tích hình vuông. Tính $abc$.

Cho hàm số $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$ trên $[1;4]$. Biết $F(1)=1;F(4)=2$ và ${\int }_1^4\frac{F(x)}{2x+1}dx=5$. Tính $I={\int }_1^4\ln (2x+1)f(x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ sao cho $f(1)=1$ và $f(x)\cdot f(1-x)=e^{x^2-x},\forall x\in [0;1]$. Tính $I={\int }_0^1\frac{(2x^3-3x^2)f^{\prime }(x)}{f(x)}dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, thỏa mãn $f(x)+\tan x\cdot f^{\prime }(x)=\frac{x}{{\cos }^{3}x}$. Biết rằng $3f\left(\frac{\pi }{3}\right)-f\left(\frac{\pi }{6}\right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a,b\in \mathbb{Q}$. Giá trị của biểu thức $P=a+b$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{x^4}{2}-2m^2{x}^2+2$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng $\frac{64}{15}$ là

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn ${\int }_0^3[2x\ln (x+1)+x{f}^{\prime }(x)]dx=0$ và $f(3)=1$. Biết ${\int }_0^{3}f(x)dx=\frac{a+b\ln 2}{2}$ với $a,b$ là các số thực dương. Giá trị của $a+b$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;2]$, thỏa mãn các điều kiện $f(2)=1$ và ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=\frac{2}{3}$. Giá trị của ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x^2}dx$ bằng

Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét, còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).

Một viên gạch hình vuông cạnh $4\text{ dm}$. Người thiết kế sử dụng bốn đường parabol chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu đen) như hình vẽ.



Giả sử để hoàn thiện sơn và phủ bóng phủ viên gạch thì chi phí phần cánh hoa (màu đen) là $300{\text{ nghıˋn/m}}^2$, chi phí phần còn lại (màu trắng) là $400{\text{ nghıˋn/m}}^2$. Tính chi phí (đơn vị nghìn đồng) để sơn và phủ bóng cả viên gạch (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Biết ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{{\cos }^{4}x+\sin x{\cos }^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln (1+\sqrt{3})$, với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $abc$ bằng

Biết rằng parabol $y=\frac{1}{24}{x}^2$ chia hình giới hạn bởi elip có phương trình $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$ thành hai phần có diện tích lần lượt là $S_1,S_2$ với $S_1<S_2$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$, thỏa mãn $(f^{\prime }(x){)}^2+4f(x)=8x^2+4,\forall x\in [0;1]$ và $f(1)=2$. Tính ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Bạn An có bức tường hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ). An dự định chia bức tường thành hai phần để sơn: Phần $1$ sơn màu xanh da trời, kí hiệu là hình phẳng $(\mathcal{H})$, phần $2$ sơn màu vàng. Biết rằng hình phẳng $(\mathcal{H})$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ nằm bên trong hình vuông, đồng thời thỏa mãn $d(M;AB)\le ME+1$ (đơn vị là mét), với $E$ là trung điểm của $DC$. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ sơn được $3{\text{ m}}^2$ tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh da trời là $100.000$ đồng/hộp, hộp sơn màu vàng là $120.000$ đồng/hộp. Tính giá tiền bạn An mua sơn để sơn bức tường này? (đơn vị là nghìn đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;2]$ thỏa mãn ${\int }_1^2(x-1{)}^{2}f(x)dx=-\frac{1}{31},f(2)=0$ và ${\int }_1^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=7$. Tính tích phân $I={\int }_1^{2}f(x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $[0;2]$. Biết $f(0)=1$ và $f(x)f(2-x)=e^{2x^2-4x}$ với mọi $x\in [0;2]$. Tính tích phân $I={\int }_0^2\frac{(x^3-3x^2)f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[1;2]$ và thỏa mãn ${\int }_1^2(x-2{)}^{2}f(x)dx=-\frac{1}{21},f(1)=0,{\int }_1^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=\frac{1}{7}$. Tính ${\int }_1^{2}xf(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn: $x^2{f}^2(x)+(2x-1)f(x)=x\cdot f^{\prime }(x)-1$ và $f(1)=-2$. Tính ${\int }_1^{4}f(x)\text{d}x$.

Trong hình bên là một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô đậm) dát vàng. Phần này được thiết kế như sau:
- Vẽ hình lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ và có cạnh bằng $4\text{ cm}$;
- Vẽ parabol $(C_1)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OA,OB$ lần lượt tại $A$ và $B$;
- Tương tự vẽ parabol $(C_2)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OB,OC$ lần lượt tại $B$ và $C$; parabol $(C_3)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OC,OD$ lần lượt tại $C$ và $D$; $\dots$; parabol $(C_6)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OF,OA$ lần lượt tại $F$ và $A$.

Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi sáu parabol $(C_1),(C_2),(C_3),(C_4),(C_5),(C_6)$ (phần tô đậm) là phần sẽ được dát vàng. Hỏi phần dát vàng này có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Cho hàm số $f(x)$ có $f(1)=0$ và $f^{\prime }(x)=2019\cdot 2020\cdot x(x-1{)}^{2018},\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng