Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Đặt $u=x^2-4x$. Với $x\in (0;+\infty )$, hàm số $u(x)$ có bảng biến thiên: giảm từ $0$ về $-4$ trên $(0;2)$ và tăng từ $-4$ lên $+\infty$ trên $(2;+\infty )$. Mỗi giá trị $u\in (-4;0)$ cho 2 nghiệm $x>0$, mỗi giá trị $u\ge 0$ hoặc $u=-4$ cho 1 nghiệm $x>0$. Dựa vào bảng biến thiên của $f(u)$, tìm điều kiện của $m$ để phương trình có ít nhất 3 nghiệm, ta được 12 giá trị nguyên của $m$. Chọn C.

Từ đồ thị của hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=0$ có ba nghiệm phân biệt $u_1=a<-1$, $u_2=b\in (0;1)$, $u_3=c\in (1;3)$.
Do đó $f[f(x)]=0\iff [\begin{array}{rl}& f(x)=a<-1\\ & f(x)=b\in (0;1)\\ & f(x)=c\in (1;3)\end{array}$.

Dựa vào đồ thị:
- Đường thẳng $y=a<-1$ nằm dưới điểm cực tiểu $(1;-1)$, cắt đồ thị tại $1$ điểm duy nhất.
- Đường thẳng $y=b\in (0;1)$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-1$ và giá trị cực đại $3$, cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=c\in (1;3)$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-1$ và giá trị cực đại $3$, cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt.

Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt. Vậy phương trình $f[f(x)]=0$ có tất cả $1+3+3=7$ nghiệm.

**Chọn D**
TXĐ: D =  .
f ′ ( x )= 3 (1 − m3 ) x 2 + 6 x + 4 − m= 3 x 2 + 6 x + 4 − m ( 3m 2 x 2 + 1) .
Ta thấy: 3 x 2 + 6 x + 4 > 0, ∀x ∈ .
Điều kiện cần:

27 (1 − m ) + 27 + 3 ( 4 − m ) + 2 ≥ 0

 f ( 3) ≥ 0
3
−27 m − 3m + 68 ≥ 0
3

 ⇔ ⇔ .
 f ( 5 ) ≥ 0 125 (1 − m ) + 75 + 5 ( 4 − m ) + 2 ≥ 0
3
3
−125m − 5m + 222 ≥ 0
 Vì m ∈ [ −100,100] và m ∈  nên m ∈ {−100, −99, −98,..., 0,1} .
Điều kiện đủ:
Nếu m = 1 thì f ( x=
) 3x 2 + 3x + 2 ≥ 0 , ∀x ∈  .
Do đó, m = 1 (Nhận).
( )
Nếu m ≤ 0 thì −m 3m 2 x 2 + 1 ≥ 0, ∀x ∈ 
⇒ f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇒ Hàm số f đồng biến trên  .
Do đó, m ≤ 0 (Nhận).
Vậy có 102 giá trị nguyên m thoả mãn yêu cầu bài.

**Chọn B**

Đặt t  f ( x) , dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) ta có:
Với t  2 hoặc t  2 thì phương trình f ( x)  t có đúng 1 nghiệm.
Với t  2 thì phương trình f ( x)  t có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Với 2  t  2 thì phương trình f ( x)  t có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Từ f 4 ( x)  2  3 f 2 ( x) | f ( x)  2m | ta có phương trình: t 4  3t 2  2 | t  2m | * .
Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 1 nghiệm t  (2; 2) và 1
nghiệm t  (; 2)  (2; ) .

Vẽ đồ thị các hàm số y  x 4  3 x 2  2; y | x  2m | trên cùng 1 hệ trục, ta thấy yêu cẩu bài toán
được thỏa mãn khi và chỉ khi: 2m  (8; 4)  (4;8)  m  (4; 2)  (2; 4) .
Kết hợp với m nguyên nên ta có 2 giá trị của m là 3 .
w7i

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì $f(-x)=-f(x)$ và $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+3x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Phương trình $f(m{e}^{-x})+f(3-x)=0\iff f(m{e}^{-x})=f(x-3)\iff m{e}^{-x}=x-3\iff m=(x-3)e^x$. Xét $g(x)=(x-3)e^x$, có $g^{\prime }(x)=(x-2)e^x=0\iff x=2$, $g(2)=-e^2\approx -7,389$ và ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=0$. Để phương trình có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt thì $-e^2<m<0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1\}$, có $7$ giá trị nguyên. Chọn A.

Từ bảng biến thiên của $y=f(3-2x)$ suy ra $f(5)=12,f(3)=0,f(1)=8$. Xét hàm số $g(x)=f(x^3-3x+2)$, lập bảng biến thiên suy ra phương trình $|g(x)-m|=2\iff g(x)=m+2$ hoặc $g(x)=m-2$ có nhiều nghiệm nhất khi $0<m-2<3$ (hoặc tương đương theo bảng biến thiên), có $2$ giá trị nguyên của $m$.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=9-m$. Nếu ${\Delta }^{\prime }>0\iff m<9$, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1\ne z_2$ có $z_1+z_2=6$, nên $|z_1{|}^2=|z_2{|}^2\iff z_1=-z_2$ (vô lý vì $z_1+z_2=6$). Nếu ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>9$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_2={\bar{z}}_1$ luôn thỏa mãn $z_1{\bar{z}}_1=z_2{\bar{z}}_2$. Với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in (9;20)$, có $10$ giá trị nguyên ($m\in \{10,11,\dots ,19\}$).

Phương trình tương đương $e^{e^{2x}-a}+e^{2x}-a=e^{2x}+2x⟺e^{e^{2x}-a}+(e^{2x}-a)=e^{\ln (e^{2x})}+\ln (e^{2x})$. Xét hàm đặc trưng $f(t)=e^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra $e^{2x}-a=2x⟺e^{2x}-2x=a$. Xét $h(x)=e^{2x}-2x$, ta có $h^{\prime }(x)=2e^{2x}-2=0⟺x=0$. $h(0)=1$. Bảng biến thiên cho thấy $h(x)\ge 1$, do đó đường thẳng $y=a$ cắt đồ thị tại nhiều nghiệm nhất (2 nghiệm) khi và chỉ khi $a>1$. Kết hợp điều kiện $a\le 2$ và $a\in \mathbb{Z}$, ta được $a=2$. Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của $a$.

Hàm số $f(x)=2023x^3+2024x$ là hàm số lẻ và có $f^{\prime }(x)=6069x^2+2024>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình tương đương với:
$f\left(|x^2+mx+3-m|\right)<f\left(2x^2+x+3\right)\iff |x^2+mx+3-m|<2x^2+x+3$
$\iff -2x^2-x-3<x^2+mx+3-m<2x^2+x+3,\forall x>1$
$\iff \{\begin{array}{l}m(x-1)<x^2+x\\ m(x-1)>-3x^2-x-6\end{array},\forall x>1\iff \{\begin{array}{l}m<g(x)=\frac{x^2+x}{x-1}\\ m>h(x)=\frac{-3x^2-x-6}{x-1}\end{array},\forall x>1$.
Khảo sát trên $(1;+\infty )$, ta có ${\min }_{(1;+\infty )}g(x)=g\left(1+\sqrt{2}\right)=3+2\sqrt{2}\approx 5,828$ và ${\max }_{(1;+\infty )}h(x)=h\left(\frac{3+\sqrt{30}}{3}\right)=-7-2\sqrt{30}\approx -17,954$.
Suy ra $-7-2\sqrt{30}\le m\le 3+2\sqrt{2}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-17;-16;\dots ;4;5\}$, có tất cả $5-(-17)+1=23$ giá trị nguyên của $m$.

Đặt $u=\sqrt[3]{f(x)+m}\iff u^3=x^5+4x^3+2m+2024$. Bất phương trình tương đương $u^5+4u^3+2m+2024\ge x^3$. Xét hàm đặc trưng đồng biến $g(t)=t^5+4t^3+t$, ta suy ra $u\ge x\iff x^5+3x^3+2m+2024\ge 0$ có nghiệm trên $[0;3]\iff 2m+2024\ge -{\max }_{[0;3]}(x^5+3x^3)=-(243+81)=-324\iff 2m\ge -2348\iff m\ge -1174$. Vì $m$ nguyên âm nên $m\in \{-1174,\dots ,-1\}$, có $1174$ giá trị.

Hai đỉnh $A,B$ thuộc nhánh phải $(x>1)$ của $(C):y=1+\frac{2}{x-1}$ đối xứng nhau qua đường phân giác $y=x$, và $AB\parallel d:x+y-1=0$. Đặt $A(1+t;1+\frac{2}{t})$ và $B(1+\frac{2}{t};1+t)$ với $t>0$. Khi đó $AB=\sqrt{2}\left|t-\frac{2}{t}\right|$ và khoảng cách từ $A$ đến $d$ là $AD=\frac{t+\frac{2}{t}+1}{\sqrt{2}}$. Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB=AD\iff 2\left|t-\frac{2}{t}\right|=t+\frac{2}{t}+1$. Giải ra $t+\frac{2}{t}=\frac{-2+2\sqrt{37}}{3}$, suy ra diện tích hình vuông $S=A{D}^2=\frac{(t+\frac{2}{t}+1{)}^2}{2}=\frac{(1+2\sqrt{37}{)}^2}{18}\approx 10,9$.

Từ bảng biến thiên của hàm bậc ba $f(x)$ đạt cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$, ta xác định được $f(x)=x^3-3x+1$. Phương trình đã cho viết lại thành $f\left(\sqrt{x-1}-1\right)+{\left(\sqrt{x-1}-2\right)}^2=m$. Đặt $t=\sqrt{x-1}-1\ge -1$ (mỗi $t\ge -1$ cho duy nhất một $x\ge 1$), phương trình trở thành $g(t)=f(t)+(t-1{)}^2=t^3+t^2-5t+2=m$. Trên $[-1;+\infty )$, $g^{\prime }(t)=3t^2+2t-5=0\iff t=1$; $g(-1)=7$, $g(1)=-1$, ${\lim }_{t\to +\infty }g(t)=+\infty$. Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $t\ge -1$ thì $-1<m\le 7$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1;2;3;4;5;6;7\}$, có $8$ giá trị nguyên của $m$.

Chọn C
Đặt $t=f(x-2)$ và khảo sát hàm số $g(t)=t^3-12t$.
Để phương trình có ít nhất 7 nghiệm phân biệt trên khoảng $(-\infty ;1)$, qua các bước biện luận ta tìm được duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.

Xét hàm số $h(t)=t-e^{t+3}$, ta có $h^{\prime }(t)=1-e^{t+3}$; $h^{\prime }(t)=0\iff t=-3$.
Lập bảng ghép trục cho $h(f(x))=f(x)-e^{f(x)+3}$:
Dựa vào bảng ghép trục, phương trình $f(x)-e^{f(x)+3}=m$ có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$[<table><tbody><tr><td>m=3-e^6</td></tr><tr><td>-1-e^2<m<-4</td></tr></tbody></table>$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $-1-e^2\approx -8,389$ nên $m\in \{-8;-7;-6;-5\}$, tức là có $4$ giá trị nguyên của $m$.
Chọn đáp án B.

[IMAGE:img_1]

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn B ($6$).

Ta có $f(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=x_1\in (-2;-1)</td></tr><tr><td>x=x_2\in (-1;0)</td></tr><tr><td>x=x_3\in (1;2)</td></tr></tbody></table>$.
Khi đó: $f(f(x)-1)=0\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)-1=x_1\in (-2;-1)</td></tr><tr><td>f(x)-1=x_2\in (-1;0)</td></tr><tr><td>f(x)-1=x_3\in (1;2)</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=1+x_1\in (-1;0)</td></tr><tr><td>f(x)=1+x_2\in (0;1)</td></tr><tr><td>f(x)=1+x_3\in (2;3)</td></tr></tbody></table>$.
Hai phương trình $f(x)=1+x_1\in (-1;0)$ và $f(x)=1+x_2\in (0;1)$ đều có $3$ nghiệm phân biệt.
Phương trình $f(x)=1+x_3\in (2;3)$ có $1$ nghiệm.
Vậy phương trình $f(f(x)-1)=0$ có $7$ nghiệm thực phân biệt.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn B.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 8): Chọn C.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$. Đặt $t=x-1-\sqrt{2x-1}$, ta có $t^{\prime }(x)=1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên của $t(x)$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$ giảm từ $t(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$ xuống $t(1)=-1$, rồi tăng lên $+\infty$.

Phương trình $2f(t)-5=0\iff f(t)=\frac{5}{2}$ có $2$ nghiệm $t_1\in (-2;-1)$ (vô nghiệm $x$ vì $t\ge -1$) và $t_2\in (1;2)$ (cho đúng $1$ nghiệm $x$). Vậy phương trình đã cho có $1$ nghiệm.