Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=1\end{array}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{1}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh $AB=A{A}^{\prime }=2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AC=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $B^{\prime }C$.

Cho hình chóp $S.ABCD$, mặt đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;3;-2)$ và đường thẳng $(d):\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-2}$. Biết $N(a;b;c)$ thuộc $(d)$ và độ dài $MN$ ngắn nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;4;-3)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $3$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$. $AB=A{A}^{\prime }=2a$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B{B}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=3\\ z=-1+t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=3+t^{\prime }\\ y=2-t^{\prime }\\ z=-1\end{array}$ cắt nhau tại $A$. Đường thẳng $d_3$ đi qua $M(0;2;2)$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ đều, diện tích tam giác $ABC$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục tính theo đơn vị kilomet. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí $A(-500;-250;150)$, $B(-200;-200;100)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là $(a;b;c)$. Giá trị của biểu thức $57a+19b+19c$ là bao nhiêu.

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh – Khánh Hòa ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600\text{ km}$. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-200+80t\\ z=10\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xác định quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, đơn vị $\text{km}$).
[IMAGE_1]

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang cạnh $AB=2a,AD=DC=CB=a,SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ bằng


Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu.
[IMAGE_1]

Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu (đơn vị: kilômét, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ theo $a$.

Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 . Hai điểm A , B lần lượt nằm
R 3
trên hai đường tròn đáy sao cho khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng . Góc
2
giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :   và điểm
2 1 -1
M 2; -2; 5 . Điểm N a; b; c  thuộc đường thẳng  và độ dài MN nhỏ nhất. Tổng a  b  c
bằng

Trong căn phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng $5\text{ m}$, chiều cao của phòng là $6\text{ m}$, có hai con nhện đang di chuyển trên 2 dây tơ khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $ABCD$ là nền phòng thì con nhện thứ nhất được coi như điểm $E$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C{C}^{\prime }$, còn con nhện thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ $D^{\prime }$ đến tâm $I$ của mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con nhện bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4. Bay Flycam trái phép là hành vi tiềm ẩn nguy cơ uy hiếp trực tiếp an toàn hàng không, lĩnh vực liên quan tới tính mạng của hàng trăm hành khách trên mỗi chuyến bay. Một cảng hàng không quốc tế thiết lập hệ thống radar giám sát được đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: $1\text{ km}$, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất). Tại thời điểm $t=0$, radar quét được tín hiệu một flycam xâm nhập tại điểm $A(4;2;2)$ và đang bay theo đường thẳng với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_1(-1;0;0)$ (đơn vị: km/phút). Cùng lúc đó, một máy bay chở khách A321 đang chờ lệnh cất cánh tại điểm $B(0;-2;0)$. Nếu được cấp phép, quỹ đạo cất cánh dự kiến của máy bay là một đường thẳng với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2(0;4;3)$ (đơn vị: km/phút). Kiểm soát viên không lưu không được phép cấp lệnh cất cánh cho máy bay thương mại nếu hệ thống dự báo có bất kì thời điểm nào khoảng cách giữa máy bay và vật thể lạ nhỏ hơn $5\text{ km}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh bên bằng $4\sqrt{2}$ và đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, có $AC=4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}^{\prime }$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $C^{\prime }M$ và $AB$ (không làm tròn ở các bước trung gian).

Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=4,A^{\prime }{B}^{\prime }=2$ và chiều cao $h=2$. Cô-sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 4. Xét trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc toạ độ $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $M(-500;-300;500)$ và $N(-200;-200;450)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất, toạ độ của máy bay là $(a;b;c)$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2$, góc $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $OB$ và $SH=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).