Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$u_1=102$, công bội $q=1,2$. a) $u_3=102\cdot 1,2^2=146,88\ne 122,4$ (122,4 là $u_2$) → sai. b) $S_6=102\frac{1,2^6-1}{0,2}=510(2,985984-1)\approx 1012,85$ triệu $>1000$ → đúng. c) Đúng theo định nghĩa cấp số nhân. d) Cần $0,35S_n\ge 537\iff S_n\ge 1534,29$. $S_7=510(1,2^7-1)\approx 1317,42<1534,29$; $S_8=510(1,2^8-1)\approx 1682,90\ge 1534,29$ → sau ít nhất 8 năm đủ tiền → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=102\cdot 1,2^2=146,88$ triệu đồng, không phải 122,4 (đó là $u_2=102\cdot 1,2$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_6=102\frac{1,2^6-1}{1,2-1}=510\cdot 1,985984\approx 1012,85$ triệu đồng $>1$ tỉ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lương năm sau gấp 1,2 lần năm trước nên $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=102$, $q=1,2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiết kiệm $0,35S_n\ge 537\Rightarrow S_n\ge 1534,29$. $S_7\approx 1317,42$ (chưa đủ), $S_8=510(1,2^8-1)\approx 1682,90\ge 1534,29$ nên sau ít nhất 8 năm đủ tiền.

(AI giải đề cho tôi)
Các lần quét từ trái sang phải là lần quét thứ nhất, thứ ba, thứ năm,... Quãng đường các lần quét liên tiếp giảm theo cấp số nhân với công bội 0,9, nên các lần quét trái→phải lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=30$ và công bội $q=0,9^2=0,81$. Tổng quãng đường từ trái sang phải cho đến khi dừng hẳn: $S=\frac{30}{1-0,81}=\frac{30}{0,19}\approx 157,89\approx 158$ cm. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lương năm thứ $n$ là $10\cdot 1,12^{n-1}$ triệu/tháng. Từ năm thứ 2, mỗi năm anh Huy tiết kiệm phần lương tăng so với năm trước: năm thứ $n$ ($n\ge 2$) tiết kiệm $12\cdot 10\cdot (1,12^{n-1}-1,12^{n-2})=14,4\cdot 1,12^{n-2}$ triệu đồng. Số tiền cần tự tích lũy: $500\cdot 68\%=340$ triệu đồng. Sau $N$ năm, tổng tiết kiệm là $S_N=14,4\cdot \frac{1,12^{N-1}-1}{0,12}=120(1,12^{N-1}-1)\ge 340\iff 1,12^{N-1}\ge \frac{23}{6}\approx 3,8333$. Vậy $N-1\ge \frac{\ln (23/6)}{\ln 1,12}\approx 11,86$, tức $N-1=12$, $N=13$. Sau ít nhất 13 năm anh Huy mua được ô tô, khớp với đáp án nguồn.

Đáp số: 13

Số tiền mà anh Huy phải trả để mua xe ô tô là: $500.0,68=340$ (triệu đồng). Tổng tiền lương năm đầu tiên anh Huy nhận được là: $T_1=10.12=120$ (triệu đồng). Số tiền tiết kiệm được của anh Huy sau năm thứ hai là: $T_2=120.1,12-120=120.0,12$ (triệu đồng). Số tiền tiết kiệm được của anh Huy sau năm thứ ba là: $T_3=120.1,12^2-120.1,12=120.1,12.0,12$ (triệu đồng). Số tiền tiết kiệm được của anh Huy sau năm thứ $n$ là: $T_n=120.1,12^{n-2}.0,12$ (triệu đồng). Tổng số tiền tiết kiệm của anh Huy sau $n$ năm là: $$T=T_2+T_3+...+T_n=120.0,12\left(1+1,12+1,12^2+...+1,12^{n-2}\right)=$$ $$=120.0,12.\frac{1,12^{n-1}-1}{1,12-1}=120.\left(1,12^{n-1}-1\right)\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$ Để anh Huy đủ tiền mua xe thì: $$T\ge 340\Rightarrow 120.\left(1,12^{n-1}-1\right)\ge 340\Rightarrow n-1\ge {\log }_{1,12}\left(\frac{23}{6}\right)\Rightarrow n\ge 12,8.$$ Vậy tính từ khi đi làm, phải ít nhất 13 năm thì anh Huy mới đủ tiền mua ô tô.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $t$ giờ, số lần nhân đôi là $\frac{t}{1/3}=3t$ (vì 20 phút $=\frac{1}{3}$ giờ), nên khối lượng vi khuẩn là $m(t)=5\cdot 10^{-3}\cdot 2^{3t}$ gam. Cần $5\cdot 10^{-3}\cdot 2^{3t}=6\cdot 10^{27}$, suy ra $2^{3t}=1,2\cdot 10^{30}$. Lấy logarit cơ số 2: $3t={\log }_2(1,2\cdot 10^{30})=\frac{30+\log 1,2}{\log 2}\approx \frac{30+0,07918}{0,30103}\approx 99,927$. Vậy $t\approx 33,3$ giờ (thỏa mãn điều kiện mỗi vi khuẩn tồn tại ít nhất 60 giờ).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi diện tích bèo phủ tại thời điểm $t$ (ngày) là $S(t)$. Vì cứ 7 ngày bèo tăng 3 lần và tốc độ phát triển như nhau ở mọi thời điểm, ta có mô hình tăng trưởng liên tục: $S(t)=S_0\cdot 3^{t/7}$, với $S_0$ là diện tích ban đầu (chiếm $4\%$ mặt hồ). Cần $S(t)=100\%S_0$, tức $3^{t/7}=25$. Suy ra $t=7{\log }_{3}25=\frac{14\ln 5}{\ln 3}\approx 20,51$ ngày. Vậy sau ít nhất $21$ ngày bèo phủ kín mặt hồ.

Chọn C.

Theo giả thiết ta có ${\left(a+{\log }_{4}3\right)}^2=\left(a+{\log }_{2}3\right)\left(a+{\log }_{8}3\right)$.

Suy ra $a^2+2a{\log }_{4}3+{\left({\log }_{4}3\right)}^2=a^2+a\left({\log }_{2}3+{\log }_{8}3\right)+{\log }_{2}3\cdot {\log }_{8}3$.

$\iff a{\log }_{2}3+\frac{1}{4}{\left({\log }_{2}3\right)}^2=a\cdot \frac{4}{3}{\log }_{2}3+\frac{1}{3}{\left({\log }_{2}3\right)}^2\iff \frac{1}{3}a=\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right){\log }_{2}3$.

$\iff a=-\frac{1}{4}{\log }_{2}3$.

Vậy $a+{\log }_{2}3=\frac{3}{4}{\log }_{2}3$; $a+{\log }_{4}3=\frac{1}{4}{\log }_{2}3$. Suy ra công bội của cấp số nhân bằng $\frac{1}{3}$.

Ghi chú: bảng đáp án chính thức (trang 8) cho Câu 10 là C, khớp với phương án $\frac{1}{3}$ trong đề (trang 2). Trong lời giải chi tiết (trang 13) các phương án được xếp theo thứ tự khác (A. 1; B. $\frac{1}{4}$; C. $\frac{1}{2}$; D. $\frac{1}{3}$) nên lời giải nguồn ghi "Chọn D" — đó chính là phương án $\frac{1}{3}$, tương ứng với C theo thứ tự phương án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_2=-\frac{1}{2}$, $q=-\frac{1}{3}$. a) $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-1/2}{-1/3}=\frac{3}{2}$ → Đúng. b) Vì $q<0$, dãy có các số hạng đổi dấu xen kẽ ($u_1=\frac{3}{2}>0$, $u_2=-\frac{1}{2}<0$, $u_3=\frac{1}{6}>0$, ...) nên không phải dãy giảm → Sai. c) $u_n=u_1{q}^{n-1}=\frac{3}{2}{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{3(-1{)}^{n-1}}{2\cdot 3^{n-1}}=\frac{(-1{)}^{n-1}}{2\cdot 3^{n-2}}$ với mọi $n\ge 3$ (thực ra đúng với mọi $n\ge 1$) → Đúng. d) Vì $|q|=\frac{1}{3}<1$ nên tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{3/2}{1+1/3}=\frac{3/2}{4/3}=\frac{9}{8}$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-1/2}{-1/3}=\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $q=-\frac{1}{3}<0$, các số hạng đổi dấu xen kẽ nên dãy không đơn điệu giảm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1{q}^{n-1}=\frac{3}{2}{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{(-1{)}^{n-1}}{2\cdot 3^{n-2}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|q|<1$ nên $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{3/2}{4/3}=\frac{9}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $n$ năm, số tiền nhận được theo lãi kép là $300\cdot (1,1{)}^n$ (triệu đồng). Cần $300\cdot (1,1{)}^n\ge 900\iff (1,1{)}^n\ge 3\iff n\ge \frac{\ln 3}{\ln 1,1}\approx 11,53$. Vì định kỳ tính lãi theo năm nên $n$ nguyên, do đó sau ít nhất $12$ năm người đó đủ tiền mua xe.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau $n$ năm (lãi kép): $T_n=200\cdot (1,065{)}^n$ (triệu đồng). Yêu cầu $200\cdot (1,065{)}^n>500\iff (1,065{)}^n>2,5\iff n>\frac{\ln 2,5}{\ln 1,065}\approx \frac{0,91629}{0,06298}\approx 14,55$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=15$. Kiểm tra: $200\cdot 1,065^{14}\approx 200\cdot 2,448\approx 489,6<500$; $200\cdot 1,065^{15}\approx 521,4>500$. Đáp số: 15 năm.

(AI giải đề cho tôi)
Lương theo kỳ 6 tháng: kỳ n có lương tháng $u_n=6\cdot 1,15^{n-1}$ (triệu đồng) — đây là cấp số nhân công sai $q=1,15$, không phải cấp số cộng.

Ý a: 4 năm = 8 kỳ, mỗi kỳ nhận 6 tháng lương. Tổng tiền lương: $S=6\cdot \left(6+6\cdot 1,15+\cdots +6\cdot 1,15^7\right)=36\cdot \frac{1,15^8-1}{0,15}\approx 36\cdot 13,7266\approx 494,17$ triệu đồng. → Đúng.

Ý b: 10 năm = 20 kỳ. Tổng lương: $S=36\cdot \frac{1,15^{20}-1}{0,15}\approx 36\cdot 102,443\approx 3687,96$ triệu đồng. Bảo hiểm thất nghiệp $1,5\%$: $0,015\cdot 3687,96\approx 55,32$ triệu đồng. → Đúng.

Ý c: Tháng thứ 11 thuộc kỳ thứ 2 (tháng 7–12), lương tháng $=6\cdot 1,15=6,9$ triệu đồng. → Đúng.

Ý d: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1,15$ nên $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $1,15$, không phải cấp số cộng với công sai $d=1,15$. → Sai.

Kết quả Đ–Đ–Đ–S khớp với bảng đáp án mã đề 212, câu 14 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
4 năm = 8 kỳ; tổng lương $S=36\cdot \frac{1,15^8-1}{0,15}\approx 494,17$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
10 năm = 20 kỳ; tổng lương $\approx 3687,96$ triệu; $1,5\%\approx 55,32$ triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tháng thứ 11 thuộc kỳ 2, lương tháng $=6\cdot 1,15=6,9$ triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(u_n)$ là cấp số nhân công bội $1,15$, không phải cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Lương mỗi tháng của kỳ thứ $n$ (mỗi kỳ 6 tháng): $u_n=6\cdot 1,15^{n-1}$ triệu đồng, dãy $(u_n)$ là cấp số nhân công bội $q=1,15$.

Ý a: Sau 4 năm có 8 kỳ. Tổng lương $=6\cdot 6\cdot \frac{1,15^8-1}{0,15}=36\cdot \frac{3,05902286-1}{0,15}\approx 494,17$ triệu đồng. Đúng.

Ý b: $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $1,15$, không phải cấp số cộng với công sai $d=1,15$. Sai.

Ý c: Tháng thứ 11 thuộc kỳ thứ 2 (tháng 7 đến 12), lương $=6\cdot 1,15=6,9$ triệu đồng. Đúng.

Ý d: Sau 10 năm có 20 kỳ. Tổng lương $=36\cdot \frac{1,15^{20}-1}{0,15}=36\cdot \frac{16,366537-1}{0,15}\approx 3687,97$ triệu đồng. Bảo hiểm thất nghiệp $=0,015\cdot 3687,97\approx 55,32$ triệu đồng. Đúng.

Kết quả từng ý: Đúng - Sai - Đúng - Đúng, khớp đáp án nguồn mã đề 211 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lương 4 năm (8 kỳ): $6\cdot 6\cdot \frac{1,15^8-1}{0,15}\approx 494,17$ triệu đồng. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(u_n)$ là cấp số nhân công bội $q=1,15$, không phải cấp số cộng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tháng thứ 11 thuộc kỳ 2 nên lương $=6\cdot 1,15=6,9$ triệu đồng. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lương 10 năm (20 kỳ) $\approx 3687,97$ triệu; $1,5\%$ của nó $\approx 55,32$ triệu đồng. Đúng.

a. Diện tích mặt đáy tháp là $u_1=a\left(m^2\right)$.
Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_2=\frac{1}{2}\cdot a\left(m^2\right)$.
Gọi diện tích mặt sàn tầng $n$ là $u_n$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Dãy $u_n$ lập thành một cấp số nhân là $u_1=a$ và công bội $q=\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: $u_n=a\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.
Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 9 nên ta có: $u_9=a\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^8\left(m^2\right)$.

b. Phương trình $(1)\iff 4x^2-4xy+y^2+x^2=169\iff {\left(2x-y\right)}^2+x^2=169$
$$\iff \{\begin{array}{ll}(2x-y{)}^2+x^2=144+25& (1)\\ (2x-y{)}^2+x^2=169+0& (2)\end{array}$$
Từ (1) ta có:
$$\{\begin{array}{l}(2x-y{)}^2=12^2\\ x^2=5^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\pm 5\\ 2x-y=\pm 12\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\pm 5\\ y=2x\mp 12\end{array}$$
Với $x=5$: $y=-12+2\cdot 5=-2$ hoặc $y=12+2\cdot 5=22$; với $x=-5$: $y=2$ hoặc $y=-22$.
Ta được các cặp: $(5;-2);(5;22);(-5;2);(-5;-22)$.
$$\{\begin{array}{l}(2x-y{)}^2=5^2\\ x^2=12^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\pm 12\\ 2x-y=\pm 5\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\pm 12\\ y=2x\mp 5\end{array}$$
Với $x=12$: $y=19$ hoặc $y=29$; với $x=-12$: $y=-19$ hoặc $y=-29$.
Ta được các cặp: $(12;19);(12;29);(-12;-19);(-12;-29)$.
Từ (2) ta có:
$$\{\begin{array}{l}(2x-y{)}^2=13^2\\ x^2=0^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=\pm 13\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}(2x-y{)}^2=0^2\\ x^2=13^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\pm 13\\ y=\pm 26\end{array}$$
Vậy $(x;y)\in \{(5;-2);(5;22);(-5;2);(-5;-22);(12;19);(12;29);(-12;-19);(-12;-29);(0;13);(0;-13);(13;26);(-13;-26)\}$

1. Gọi $u_n$ là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ $n$.
Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là $5\%$ nên dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có $u_1=180$ và công bội $q=1+5\%=1,05$.
Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là:
$u_6=u_1{q}^5=229,73$ (triệu đồng).

2. Ta có:
$u_1=11=10+1$
$u_2=10.11+1-9=102=100+2$
$u_3=10.102+1-9.2=1003=1000+3$
Dự đoán: $u_n=10^n+n$ (1).
Chứng minh:
Ta có: $u_1=11=10^1+1\Rightarrow$ công thức (1) đúng với $n=1$.
Giả sử công thức (1) đúng với $n=k$ ta có: $\Rightarrow u_k=10^k+k$.
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$ tức là: $u_{k+1}=10^{k+1}+(k+1)$.
Mặt khác ta lại có: $u_{k+1}=10(10^k+k)+1-9k=10^{k+1}+(k+1)$.
$\Rightarrow$ Công thức (1) đúng với $n=k+1$.
$\Rightarrow u_n=10^n+n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Vậy: $\lim \frac{2026u_n}{10^n}=\lim \frac{2026(10^n+n)}{10^n}=2026$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 19, Phần 2 (2.0 điểm)**

**1.** Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=2$ nên $u_n=2^{n-1}$.

Với mỗi $k\in \{1,2,\dots ,2023\}$, ta có:
$$u_{k+2}-u_k=2^{k+1}-2^{k-1}=2^{k-1}(4-1)=3\cdot 2^{k-1}.$$
Do đó:
$$\frac{1}{u_{k+2}-u_k}=\frac{1}{3\cdot 2^{k-1}}.$$
Tổng cần xét là tổng với $k$ từ $1$ đến $2023$:
$$S=\sum _{k=1}^{2023}\frac{1}{3\cdot 2^{k-1}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{2022}}\right).$$
Đây là tổng của cấp số nhân đầu $1$, công bội $\frac{1}{2}$, gồm $2023$ số hạng:
$$S=\frac{1}{3}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2023}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{2^{2023}}\right).$$
Vì $1-\frac{1}{2^{2023}}<1$ nên $S<\frac{2}{3}$. Đpcm.

**2.** Ta có $u_{n+1}=4u_n+3\cdot 4^n+6$, $u_1=1$.

Chia hai vế cho $4^n$:
$$\frac{u_{n+1}}{4^n}=\frac{u_n}{4^{n-1}}+3+\frac{6}{4^n}.$$
Đặt $w_n=\frac{u_n}{4^{n-1}}$, khi đó $w_{n+1}=w_n+3+\frac{6}{4^n}$ với $w_1=1$.

Cộng theo $n$ từ $1$ đến $n-1$ ($n\ge 2$):
$$w_n=w_1+3(n-1)+6\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{4^k}=1+3(n-1)+6\cdot \frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{4}}.$$
Tính tổng cấp số nhân: $6\cdot \frac{1-4^{-(n-1)}}{3}=2\left(1-4^{1-n}\right)$.

Suy ra:
$$w_n=1+3n-3+2-2\cdot 4^{1-n}=3n-2\cdot 4^{1-n}.$$
Vậy:
$$u_n=4^{n-1}{w}_n=4^{n-1}\left(3n-2\cdot 4^{1-n}\right)=3n\cdot 4^{n-1}-2.$$

Kiểm tra: $n=1$: $u_1=3-2=1$ ✓; $n=2$: theo hệ thức $u_2=4\cdot 1+3\cdot 4+6=22$, theo công thức $u_2=6\cdot 4-2=22$ ✓; $n=3$: $u_3=4\cdot 22+3\cdot 16+6=142$, công thức $9\cdot 16-2=142$ ✓.

Kết luận: $u_n=3n\cdot 4^{n-1}-2$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 3a)** Tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ đều, cạnh bằng $\frac{a}{2^{n-1}}$ (mỗi lần lấy trung điểm, cạnh giảm một nửa). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $x$ là $R=\frac{x}{\sqrt{3}}$, nên $$S_n=\pi R_n^2=\pi \cdot \frac{a^2}{4^{n-1}\cdot 3}=\frac{\pi a^2}{3\cdot 4^{n-1}}.$$ Dãy $(S_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $S_1=\frac{\pi a^2}{3}$, công bội $q=\frac{1}{4}$. Tổng: $$S_1+S_2+\cdots +S_n=\frac{\pi a^2}{3}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi a^2}{9}\left(1-\frac{1}{4^n}\right).$$

**Câu 3b)** Tập $E$ gồm các số tự nhiên có 4 chữ số: từ $1000$ đến $9999$, nên $|E|=9000$. Đếm các số $\overline{abcd}$ (với $a\ge 1$, $0\le b,c,d\le 9$) có $a+b+c+d=7$. Đặt $a^{\prime }=a-1\ge 0$, khi đó $a^{\prime }+b+c+d=6$ với các biến không âm. Số nghiệm: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6+4-1}{4-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$ (do tổng $6<10$ nên không cần loại trường hợp vượt giới hạn chữ số). Vậy xác suất cần tính là $$P=\frac{84}{9000}=\frac{7}{750}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi diện tích bèo phủ tại thời điểm t (ngày) là S(t). Vì tốc độ phát triển tỉ lệ với lượng bèo hiện có (tăng liên tục), ta có S(t)=S_0 e^{kt} với S_0=0,04 (diện tích mặt hồ). Sau 7 ngày bèo tăng 3 lần nên e^{7k}=3 ⇒ k=$\frac{\ln 3}{7}$. Bèo phủ kín hồ khi S(t)=1: 0,04 e^{kt}=1 ⇒ e^{kt}=25 ⇒ t=$\frac{7\ln 25}{\ln 3}$=7$\log$_3 25≈$\frac{7\cdot 3,2189}{1,0986}$≈20,52 ngày. Vậy sau ít nhất 21 ngày bèo sẽ phủ kín mặt hồ.

Lời giải.
Gọi $u_n$ (mg) là lượng thuốc trong cơ thể ngay sau lần tiêm thứ $n$ $(n\ge 1)$. Khi đó
$$u_1=200,u_n=0,6u_{n-1}+200(n\ge 2).$$
Đặt $v_n=u_n-500$. Ta có
$$v_n=u_n-500=0,6u_{n-1}+200-500=0,6u_{n-1}-300=0,6(u_{n-1}-500)=0,6v_{n-1}.$$
Vậy $(v_n)$ là một cấp số nhân với
$$v_1=u_1-500=200-500=-300,q=0,6.$$
Suy ra
$$v_n=-300(0,6{)}^{n-1}.$$
Do đó
$$u_n=v_n+500=500-300(0,6{)}^{n-1}.$$

a) Ngay sau khi tiêm liều thứ 5:
$$u_5=500-300(0,6{)}^4=500-300\cdot 0,1296=461,12.$$
Vậy lượng thuốc là $461,12$ mg.

b) Vì $(0,6{)}^{n-1}>0$ với mọi $n\ge 1$, nên
$$u_n=500-300(0,6{)}^{n-1}<500.$$
Vậy ngay sau mỗi lần tiêm, lượng thuốc luôn nhỏ hơn 500 mg.
Giữa hai lần tiêm, lượng thuốc chỉ giảm dần nên cũng không thể vượt quá 500 mg.
Do đó bệnh nhân không bao giờ bị ngộ độc.
Kết luận: $u_5=461,12$ mg và bệnh nhân không bị ngộ độc.

2. Gọi các số trong bảng là $a_{i,j}$ với $i=1,\dots ,10$ (bậc lương) và $j=1,2,3$ (Bắc, Trung, Nam).
Vì mỗi hàng là cấp số cộng nên với mọi $i$ ta có:
$$a_{i,2}-a_{i,1}=a_{i,3}-a_{i,2}.$$
Đặt công sai của hàng $i$ là $d_i$, khi đó:
$$a_{i,2}=a_{i,1}+d_i,a_{i,3}=a_{i,1}+2d_i.$$
Vì mỗi cột là cấp số nhân, đặt công bội của cột $j$ là $q_j$ $(j=1,2,3)$, ta có với mọi $i=1,\dots ,9$:
$$a_{i+1,1}=q_1{a}_{i,1},a_{i+1,2}=q_2{a}_{i,2},a_{i+1,3}=q_3{a}_{i,3}.$$
Xét hai hàng liên tiếp $i$ và $i+1$. Từ $a_{i,2}=a_{i,1}+d_i$ suy ra:
$$a_{i+1,2}-a_{i+1,1}=q_2{a}_{i,2}-q_1{a}_{i,1}=q_2(a_{i,1}+d_i)-q_1{a}_{i,1}=(q_2-q_1)a_{i,1}+q_2{d}_i.$$
Mặt khác, vì hàng $i+1$ là cấp số cộng nên:
$$a_{i+1,2}-a_{i+1,1}=d_{i+1}.$$
Do đó:
$$d_{i+1}=(q_2-q_1)a_{i,1}+q_2{d}_i.(1)$$
Tương tự, từ $a_{i,3}=a_{i,2}+d_i$ suy ra:
$$a_{i+1,3}-a_{i+1,2}=q_3{a}_{i,3}-q_2{a}_{i,2}=q_3(a_{i,2}+d_i)-q_2{a}_{i,2}=(q_3-q_2)a_{i,2}+q_3{d}_i.$$
Mà hàng $i+1$ là cấp số cộng nên cũng có:
$$a_{i+1,3}-a_{i+1,2}=d_{i+1}.$$
Suy ra:
$$d_{i+1}=(q_3-q_2)a_{i,2}+q_3{d}_i.(2)$$
Thay $a_{i,2}=a_{i,1}+d_i$ vào $(2)$, được:
$$d_{i+1}=(q_3-q_2)(a_{i,1}+d_i)+q_3{d}_i=(q_3-q_2)a_{i,1}+(2q_3-q_2)d_i.(3)$$
Vì $(1)$ và $(3)$ đều bằng $d_{i+1}$ với mọi $i$, nên so sánh hệ số theo $a_{i,1}$ và $d_i$ ta được:
$$q_2-q_1=q_3-q_2\text{vaˋ}{q}_2=2q_3-q_2.$$
Từ phương trình thứ hai:
$$2q_2=2q_3\Rightarrow q_2=q_3.$$
Thế vào phương trình thứ nhất:
$$q_2-q_1=q_3-q_2=0\Rightarrow q_1=q_2.$$
Vậy $q_1=q_2=q_3$.
Kết luận: công bội của các cấp số nhân ở mọi cột đều bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Theo đề: $a=u_1$, $b=u_1+3d$, $c=u_1+7d$. Vì $a,b,c$ lập cấp số nhân với công bội $q\ne 1$ nên $b^2=ac$, tức $(u_1+3d{)}^2=u_1(u_1+7d)$. Khai triển: $u_1^2+6u_{1}d+9d^2=u_1^2+7u_{1}d\Rightarrow 9d^2=u_{1}d\Rightarrow u_1=9d$ (do $d\ne 0$ vì nếu $d=0$ thì $q=1$, loại). Khi đó $a=9d$, $b=9d+3d=12d$, $c=9d+7d=16d$. Kiểm tra: $12^2=144=9\cdot 16$, đúng; công bội $q=12/9=4/3\ne 1$. Vậy $\frac{a+b+c}{d}=\frac{9d+12d+16d}{d}=37$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau $n$ năm là $100\cdot (1,07{)}^n$ (triệu đồng). Cần $100\cdot (1,07{)}^n>200\iff (1,07{)}^n>2\iff n>\frac{\ln 2}{\ln 1,07}\approx \frac{0,6931}{0,0677}\approx 10,24$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $n=11$. Kiểm tra: $1,07^{10}\approx 1,967<2$, $1,07^{11}\approx 2,105>2$. Đáp số: 11 năm.