Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)=x^2-ax+b$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$ với hệ số $a=1$, nên $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, suy ra $a=4$, $b=3$.

a) $f(4)=16-16+3=3$ → đúng.
b) $a+b=4+3=7$ → đúng.
c) Vì hệ số $a=1>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm: $f(x)<0\iff 1<x<3$ → đúng.
d) $(x^2-3x+2)f(x)=(x-1)(x-2)\cdot (x-1)(x-3)=(x-1{)}^2(x-2)(x-3)\le 0$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$, bất đẳng thức tương đương $(x-2)(x-3)\le 0$ hoặc $x=1$, tức $x\in [2;3]\cup \{1\}$. Vì $x=1$ cũng thỏa mãn nhưng không thuộc $[2;3]$, khẳng định 'thì $x\in [2;3]$' là sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, nên $f(4)=16-16+3=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(x)=x^2-4x+3$ với $x^2-ax+b$ được $a=4$, $b=3$, nên $a+b=7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức có hệ số $a=1>0$ nên $f(x)<0$ giữa hai nghiệm: $1<x<3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2-3x+2)f(x)=(x-1{)}^2(x-2)(x-3)\le 0\iff (x-2)(x-3)\le 0$ hoặc $x=1$, tức $x\in [2;3]\cup \{1\}$. Vì $x=1$ thỏa nhưng không thuộc $[2;3]$, khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-2x^2+(m+2)x+m-4$ có $a=-2<0$. Bất phương trình $f(x)\ge 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f(x)<0$ với mọi $x$, tức parabol nằm hoàn toàn dưới trục hoành, tương đương $\Delta <0$: $$\Delta =(m+2{)}^2-4(-2)(m-4)=m^2+4m+4+8m-32=m^2+12m-28<0.$$ Phương trình $m^2+12m-28=0$ có nghiệm $m=\frac{-12\pm \sqrt{144+112}}{2}=\frac{-12\pm 16}{2}$, tức $m=-14$ hoặc $m=2$. Vậy $-14<m<2$. Các giá trị nguyên của $m$: $-13,-12,\dots ,0,1$, tổng cộng $1-(-13)+1=15$ giá trị. Kết quả khớp với đáp số nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2+(2m+1)x+m^2+3>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta <0$. Ta có $\Delta =(2m+1{)}^2-4(m^2+3)=4m^2+4m+1-4m^2-12=4m-11<0\iff m<\frac{11}{4}$. Với $m\in [-10;10]$ nguyên: $m\in \{-10,-9,\dots ,2\}$, gồm $2-(-10)+1=13$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài là $x+7$ (m) với $x>0$. Diện tích không ít hơn $120m^2$: $x(x+7)\ge 120\iff x^2+7x-120\ge 0\iff (x-8)(x+15)\ge 0$. Vì $x>0$ nên $x\ge 8$. Chu vi $P=2(x+x+7)=4x+14$ tăng theo $x$, nên nhỏ nhất khi $x=8$: $P=2(8+15)=46$ (m). Vậy bác Hùng phải mua ít nhất 46 m lưới, khớp với đáp án 46.

(AI giải đề cho tôi)
Để không bị lỗ, doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng tổng chi phí: $R(x)\ge x\cdot G(x)=x\left(\frac{100}{x}+100\right)=100+100x$.

$$-10x^2+1200x-23900\ge 100+100x$$
$$\iff -10x^2+1100x-24000\ge 0\iff x^2-110x+2400\le 0$$
$$\iff (x-40)(x-70)\le 0\iff 40\le x\le 70.$$

Vậy $m=40$, $M=70$, do đó $M+m=110$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $\frac{-x^2+4x-3}{x^2-x-2}\ge 0$ với điều kiện $x^2-x-2\ne 0\iff x\ne -1,x\ne 2$. Ta có $-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)$ và $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Bất phương trình tương đương $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)(x+1)}\le 0$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-1)$ biểu thức dương; trên $(-1;1)$ âm (thỏa); trên $(1;2)$ dương; trên $(2;3)$ âm (thỏa); trên $(3;+\infty )$ dương. Tại $x=1$ và $x=3$ biểu thức bằng 0 nên thỏa; $x=-1,x=2$ loại. Vậy tập nghiệm là $(-1;1]\cup (2;3]$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã 0102, câu 20: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (cm) là độ cao hai thành rãnh ($0<x<20$). Khi gấp hai bên lên vuông góc, mặt cắt ngang là hình chữ nhật có chiều cao $x$ và chiều rộng đáy $40-2x$. Diện tích mặt cắt: $S=x(40-2x)$. Yêu cầu kĩ thuật: $x(40-2x)\ge 150\iff -2x^2+40x-150\ge 0\iff x^2-20x+75\le 0\iff 5\le x\le 15$. Vậy độ cao ít nhất là $5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí không vượt quá 8 triệu đồng nghĩa là $f(x)\le 8$ với $x\ge 0$.

Giải: $0,5x^2+x+2\le 8\iff 0,5x^2+x-6\le 0\iff x^2+2x-12\le 0$.

Phương trình $x^2+2x-12=0$ có nghiệm $x=\frac{-2\pm \sqrt{4+48}}{2}=-1\pm \sqrt{13}$.

Vậy $-1-\sqrt{13}\le x\le -1+\sqrt{13}$. Kết hợp điều kiện $x\ge 0$ (khối lượng thức ăn không âm) ta được $0\le x\le \sqrt{13}-1\approx 2,6055$.

Làm tròn đến hàng phần mười: khối lượng thức ăn tối đa là $2,6$ tấn. Khi đó chi phí $f(2,6)=0,5(2,6{)}^2+2,6+2=3,38+4,6=7,98\le 8$ (triệu đồng), thỏa mãn yêu cầu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2-mx+m+3$ với hệ số $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm, tức $\Delta <0$: $\Delta =m^2-4(m+3)=m^2-4m-12<0$. Phương trình $m^2-4m-12=0$ có nghiệm $m=-2$ và $m=6$, nên $-2<m<6$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-1,0,1,2,3,4,5\}$, tổng cộng 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(m-1)x^2-2(m-2)x+2-m$. TH1: $m=1$ thì $f(x)=2x+1>0$ không đúng với mọi $x$, loại. TH2: $m\ne 1$, bất phương trình $>0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a=m-1>0$ và $\Delta <0$. Từ $a>0$ suy ra $m>1$. Ta có $\Delta /4=(m-2{)}^2-(m-1)(2-m)=(m-2{)}^2+(m-1)(m-2)=(m-2)(2m-3)<0$, suy ra $\frac{3}{2}<m<2$ (thỏa mãn $m>1$). Vậy $\frac{3}{2}<m<2$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $(m-3)x^2+(m+3)x-(m+1)\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

TH1: $m=3$ thì bất thức trở thành $6x-4\le 0$, không đúng với mọi $x$, loại.

TH2: $m\ne 3$. Để tam thức $\le 0$ với mọi $x$ cần $a=m-3<0$ và $\Delta \le 0$.
- $m-3<0\iff m<3$.
- $\Delta =(m+3{)}^2+4(m-3)(m+1)=m^2+6m+9+4m^2-8m-12=5m^2-2m-3\le 0$.
Phương trình $5m^2-2m-3=0$ có nghiệm $m=1$ và $m=-\frac{3}{5}$, nên $-\frac{3}{5}\le m\le 1$.

Kết hợp: $-\frac{3}{5}\le m\le 1$, các giá trị nguyên là $m\in \{0;1\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3: $g(x)=-x^2-2x+m^2-4m+3$.

a) $g(x)\le 0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a=-1<0$ và $\Delta \le 0$. Ta có $\Delta =(-2{)}^2-4(-1)(m^2-4m+3)=4+4(m^2-4m+3)=4(m^2-4m+4)=4(m-2{)}^2$. Điều kiện $\Delta \le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$. Vậy $m=2$ (khi đó $g(x)=-(x+1{)}^2\le 0$ với mọi $x$).

b) Phương trình $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\iff 4(m-2{)}^2>0\iff m\ne 2$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=-2$, $x_1{x}_2=-(m^2-4m+3)$. Giả sử $x_2=3x_1$, khi đó $4x_1=-2\Rightarrow x_1=-\frac{1}{2}$, $x_2=-\frac{3}{2}$, nên $x_1{x}_2=\frac{3}{4}$. Suy ra $-(m^2-4m+3)=\frac{3}{4}\iff m^2-4m+\frac{15}{4}=0$. Giải: ${\Delta }^{\prime }=4-\frac{15}{4}=\frac{1}{4}$, $m=2\pm \frac{1}{2}$, tức $m=\frac{3}{2}$ hoặc $m=\frac{5}{2}$ (đều thỏa $m\ne 2$). Kiểm tra: với $m=\frac{3}{2}$, $m^2-4m+3=-\frac{3}{4}$ nên $x_1{x}_2=\frac{3}{4}$ ✓. Vậy $m\in \left\{\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log \left[3x^2+(m+1)x-3m\right]$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $3x^2+(m+1)x-3m>0$ với mọi $x$. Vì hệ số $a=3>0$, điều kiện là $\Delta <0$: $(m+1{)}^2-4\cdot 3\cdot (-3m)<0\iff m^2+38m+1<0$. Phương trình $m^2+38m+1=0$ có nghiệm $m=\frac{-38\pm \sqrt{1444-4}}{2}=-19\pm \sqrt{360}=-19\pm 6\sqrt{10}$. Vậy $-19-6\sqrt{10}<m<-19+6\sqrt{10}$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+2mx+m>0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $x^2-2mx-m\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức ${\Delta }^{\prime }=(-2m{)}^2-4(1)(-m)=m^2+m\le 0$, suy ra $m\in [-1;0]$. Vậy $a=-1$, $b=0$, $a+b=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x^2-2mx+9}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2mx+9\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vì hệ số của $x^2$ là $1>0$, điều kiện tương đương là $\Delta \le 0$: $\Delta =(-2m{)}^2-4\cdot 9=4m^2-36\le 0\iff m^2\le 9\iff -3\le m\le 3$. Các giá trị nguyên của $m$ là $-3,-2,-1,0,1,2,3$, gồm 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay hiển thị trên ra-đa khi $OM\le 500$ km, tức $O{M}^2\le 250000$. Với $x=\frac{1600-1400t}{3}$, $y=\frac{1900-1400t}{3}$, ta có $$O{M}^2=\frac{(1600-1400t{)}^2+(1900-1400t{)}^2}{9}=\frac{3920000t^2-9800000t+6170000}{9}.$$ Điều kiện $O{M}^2\le 250000$ tương đương $$3920000t^2-9800000t+6170000\le 2250000\iff 3920000t^2-9800000t+3920000\le 0\iff 2t^2-5t+2\le 0.$$ Phương trình $2t^2-5t+2=0$ có nghiệm $t=\frac{1}{2}$ và $t=2$, nên máy bay trong phạm vi ra-đa khi $\frac{1}{2}\le t\le 2$. Vậy máy bay rời khỏi màn hình ra-đa tại $t=2$ giờ, tức lúc $10+2=12$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III câu 2): 12.

(AI giải đề cho tôi)
f(x) = -x² + 2mx + m - 2 là parabol có hệ số a = -1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi phương trình f(x) = 0 vô nghiệm, tức Δ < 0: Δ = (2m)² - 4(-1)(m-2) = 4m² + 4m - 8 < 0 ⟺ m² + m - 2 < 0 ⟺ (m-1)(m+2) < 0 ⟺ -2 < m < 1. Các giá trị nguyên: m ∈ {-1; 0}, vậy có 2 giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1002, câu 20 = 2).

a) $f(x)=(x-m{)}^2-1>0\iff (x-m-1)(x-m+1)>0\iff x\in (-\infty ;m-1)\cup (m+1;+\infty )$. Để $[2;5]\subset S$ thì $5<m-1$ hoặc $2>m+1\iff m>6$ hoặc $m<1$.
b) Tìm được điểm cố định của $\Delta$ là $K(-1;2)$. Khoảng cách $d(P,\Delta )\le PK$. $PK=\sqrt{(-1-1{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$. Dấu “=” khi $PK\perp \Delta$. $\overrightarrow{PK}=(-2;1)$. VTPT của $\Delta$ là $\vec{n}=(m;-1)$. Để $\vec{n}//\overrightarrow{PK}\Rightarrow \frac{m}{-2}=\frac{-1}{1}\Rightarrow m=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x^2-2(m+1)x+4m+5}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm với mọi $x$, tức tam thức $x^2-2(m+1)x+4m+5\ge 0$ với mọi $x$. Vì hệ số $a=1>0$, điều kiện là ${\Delta }^{\prime }\le 0$: ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(4m+5)=m^2+2m+1-4m-5=m^2-2m-4\le 0$. Nghiệm: $m\in [1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}]\approx [-1,236;3,236]$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-1;0;1;2;3\}$, gồm 5 giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án câu 17, mã đề 1001: 5).

a) Xét $f(x)=0$ có ${\Delta }^{\prime }=1>0$. Hai nghiệm $x_1=m$, $x_2=m+2$. Tập nghiệm của BPT là $S=[m;m+2]$. Để $S\subset [0;3]\iff \{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m+2\le 3\end{array}\iff 0\le m\le 1$. Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1\}$.
b) Điểm cố định của $\Delta$ là $B(-2;-1)$. Khoảng cách $d(O,\Delta )\le OB$. Dấu “=” khi $OB\perp \Delta$. $\overrightarrow{OB}=(-2;-1)$. VTCP của $\Delta$ là $\vec{u}=(2-m;m+1)$. $\overrightarrow{OB}.\vec{u}=0\iff -2(2-m)-1(m+1)=0\iff m=5$.