Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;0;-1)$ và có VTCP $\vec{u}=(2;1;-1)$. Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;0;2)$. Vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 1+1\cdot 0+(-1)\cdot 2=0$ và $M\notin (P)$ ($1+2(-1)-7=-8\ne 0$) nên $d$ song song với $(P)$.

Mặt phẳng Oxy có VTPT n k 0;0;1 .
Đường thẳng d có VTCP u 1; 2; 2 .
0.1 0.2 1.2 2
Vậy sin sin d , Oxy cos n, u .
0 2
0 2 2
1. 1 2
2 2
2 2 3

Do d đi qua M ( 0;1; 2 ) và vuông góc với ( P ) nên d nhận véc tơ pháp tuyến n = (1; 2; -2 ) của
( P ) làm véc tơ chỉ phương .


x y -1 z - 2
Suy ra d : = = .
1 2 -2
a b -1 0 - 2
Mặt khác A ( a; b;0 ) $\in$ d nên ta có = = \implies a = 1, b = 3 .
1 2 -2
Vậy a + b = 4 .

Chọn A.
Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$2(-1-3t)+3(-2+t)+(4-2t)-1=0\iff -2-6t-6+3t+4-2t-1=0\iff -5t-5=0\iff t=-1$.
Với $t=-1$, ta có:
$x=-1-3(-1)=2$, $y=-2+(-1)=-3$, $z=4-2(-1)=6$.
Vậy $M(2;-3;6)$.

Đường thẳng đi qua $M(4;1;3)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2;3)$ của $(P)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{3}$.

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ nên nhận vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của $d$ đi qua $M(2;-3;1)$ là $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-3+3t\\ z=1-t\end{array}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;2)$ làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{2}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

**Chọn A**

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;1)$.
Vì $\Delta \perp (P)$ nên $\Delta$ nhận ${\vec{u}}_{\Delta }=\vec{n}=(1;-2;1)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(3;-1;2)$ là:
$\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{1}$.

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-4)$. Ta có $\sin (\Delta ,(P))=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|-2+1-8|}{3\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{9}{9\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow (\Delta ,(P))=45^{\circ }$.

Đường thẳng đi qua $M(2;-1;3)$ và vuông góc với $(P)$ nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2;1)$ của $(P)$ làm vectơ chỉ phương, có phương trình là $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{1}$.

Đường thẳng vuông góc với $(P)$ nhận vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(2;1;-1)$ làm vectơ chỉ phương. Đi qua điểm $M(2;-3;1)$, phương trình chính tắc là $\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Chọn đáp án C.

**Chọn A**

Điểm $M(x;y;z)\in d\Rightarrow x=2-t,y=1+2t,z=2t$.
Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$(2-t)+2(1+2t)-2t-5=0\iff t-1=0\iff t=1$.
Với $t=1$, ta được tọa độ giao điểm là $(1;3;2)$.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nhận vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(2;-1;1)$ làm vectơ chỉ phương. Đi qua điểm $A(1;2;1)$ nên có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=1+t\end{array}$.

**Chọn B**

Đường thẳng $d$ vuông góc với $(P)$ nên có vectơ chỉ phương cùng phương với ${\vec{n}}_P=(1;-2;2)$, ta chọn $\vec{u}=(-1;2;-2)$.
Phương trình chính tắc của $d$ qua $M(2;2;3)$ là: $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-2}$.

Đường thẳng ( d ) có véctơ chỉ phương u = ( -1;1;1) , mặt phẳng ( $\Delta$ ) có véctơ pháp tuyến
n = (1; 2; -2 ) , khi đó:

u.n ( -1) .1 + 1.2 + 1. ( -2 )
sin ( ( d ) , ( $\Delta$ ) ) = sin  =
3
=| cos(u, n) |= = .
( -1) + 12 + 12 . 12 + 22 + ( -2 ) 9
2 2
u.n

Vì M $\in$ $\Delta$ $\Rightarrow$ M (1 + 2t ; -1 + t;3 + 2t )
M $\in$ ( ) : 2 (1 + 2t ) - 1 + t + 3 ( 3 + 2t ) - 10 = 0 $\iff$ 11t = 0 $\iff$ t = 0
$\Rightarrow$ M (1; -1;3) $\Rightarrow$ 2a + b + c = 2 - 1 + 3 = 4 .

4 - x2

Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-2;3)$ và VTPT của $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)\Rightarrow \sin (AB,(Oxy))=\frac{3}{\sqrt{22}}\Rightarrow (AB,(Oxy))\approx 40^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Chọn điểm $A(1;-1;2)\in \Delta$.
Vì $\Delta$ song song với $(P)$ nên $\mathrm{d}(\Delta ,(P))=\mathrm{d}(A,(P))=\frac{|1-2+4+3|}{\sqrt{1+4+4}}=2$.

Đường thẳng $d\perp (\alpha )$ nên nhận vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(\alpha )}=(1;-2;1)$ làm VTCP. Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=3+t\end{array}$. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(5;6;-3)$ và VTPT của $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Khi đó $\sin (AB,(Oxy))=\frac{|-3|}{\sqrt{25+36+9}}=\frac{3}{\sqrt{70}}\Rightarrow (AB,(Oxy))\approx 21^{\circ }$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).