Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90°<x<180°$ nên $\cos x<0$: $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Áp dụng công thức cộng: $\cos (x+30°)=\cos x\cos 30°-\sin x\sin 30°=\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{4\sqrt{3}}{10}-\frac{3}{10}=-\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$. Kết quả trùng với đáp án tham khảo trong tài liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$.

Với $a=3x$, $b=5x$:
$$B=\cos 3x-\cos 5x=-2\sin \frac{3x+5x}{2}\sin \frac{3x-5x}{2}=-2\sin 4x\sin (-x).$$

Vì $\sin (-x)=-\sin x$, ta được:
$$B=-2\sin 4x\cdot (-\sin x)=2\sin x\sin 4x.$$

Kiểm tra: với $x=30^{\circ }$: $\cos 90^{\circ }-\cos 150^{\circ }=0-(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}$; còn $2\sin 30^{\circ }\sin 120^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Khớp.

Vậy $B=2\sin x\sin 4x$, trùng với đáp án D đã cho trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x<0$. Ta có $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$.

Áp dụng công thức nhân đôi:
$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}.$$
$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-2\cdot \frac{16}{25}=-\frac{7}{25}.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $-\frac{24}{25};-\frac{7}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\sin a>0$: $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Do đó:
$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{4}{5},$$
$$\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=2\cdot \frac{1}{5}-1=-\frac{3}{5}.$$

Áp dụng công thức sin của hiệu:
$$T=\sin \left(2a-\frac{\pi }{3}\right)=\sin 2a\cos \frac{\pi }{3}-\cos 2a\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{2}{5}+\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}.$$

Kết quả trùng với đáp án nguồn $\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $P=\frac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}$ với điều kiện $\sin 2x\ne \sin x$ (tức $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne \frac{1}{2}$).
Tử số: $1-\cos x+\cos 2x=1-\cos x+2{\cos }^{2}x-1=\cos x(2\cos x-1)$.
Mẫu số: $\sin 2x-\sin x=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)$.
Suy ra $P=\frac{\cos x(2\cos x-1)}{\sin x(2\cos x-1)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm $\sin 3x+\sin 5x=2\sin 4x\cos x$; $\cos 3x+\cos 5x=2\cos 4x\cos x$. Do đó $$A=\frac{2\sin 4x\cos x+\sin 4x}{2\cos 4x\cos x+\cos 4x}=\frac{\sin 4x(2\cos x+1)}{\cos 4x(2\cos x+1)}=\tan 4x$$ (với mẫu khác 0 và $2\cos x+1\ne 0$). Khớp đáp án nguồn: $\tan 4x$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu II/Câu 3: a) Sai vì $\sin x$ là hàm lẻ, chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn (cả hai đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$). b) Đúng theo công thức hạ bậc: $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$. c) Đúng: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Đúng: $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, mà $3>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$; chỉ có $\cos x$ là hàm chẵn. Nên khẳng định 'đều là hàm chẵn' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, do đó $\sin x-\cos x=3$ vô nghiệm, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ ta có $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =-\frac{7}{25}$, suy ra $2{\sin }^2\alpha =1+\frac{7}{25}=\frac{32}{25}$, tức ${\sin }^2\alpha =\frac{16}{25}$. Vì $\alpha$ nhọn nên $\sin \alpha =\frac{4}{5}$, do đó $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$. Vậy $\tan \alpha =\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}\approx 1,3$ (làm tròn đến hàng thập phân thứ nhất).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=13-10\sin x\cos x=13-5\sin 2x$. Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $-5\le 5\sin 2x\le 5$, suy ra $-5\le -5\sin 2x\le 5$. Do đó $8\le y\le 18$.

- Giá trị nhỏ nhất $\min y=8$, đạt được khi $\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- Giá trị lớn nhất $\max y=18$, đạt được khi $\sin 2x=-1\iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kết luận: $\max y=18$, $\min y=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha ,\beta <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (dương) và $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$ (dương).
a) Sai: $\cos \alpha =\frac{4}{5}$, không phải $-\frac{4}{5}$.
b) Sai: $\sin \beta =\frac{5}{13}$, không phải $\frac{25}{169}$.
c) Đúng: $\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}$.
d) Đúng: $\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{48+15}{65}=\frac{63}{65}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ nhọn nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}>0$, không phải $-\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$, không phải $\frac{25}{169}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ nên $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Do đó $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=-\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{9}\Rightarrow 1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}-1=-\frac{4}{9}\approx -0,4$. Giá trị âm phù hợp vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0<\cos \alpha$. Vậy $A\approx -0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức cung liên hợp: $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$; $\cos (2\pi -x)=\cos x$; $\cos (3\pi +x)=-\cos x$. Vậy $A=\sin x+\cos x-\cos x=\sin x$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$. Với $u=4x,v=2x$: $B=\cos 4x-\cos 2x=-2\sin 3x\sin x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của P cho cosα (cosα ≠ 0 vì tanα xác định): P = (2tanα − √2)/(4tanα + 3√2). Thay tanα = −√2: tử = 2(−√2) − √2 = −3√2; mẫu = 4(−√2) + 3√2 = −√2. Vậy P = (−3√2)/(−√2) = 3 = 3/1, tức m = 3, n = 1 (phân số tối giản). Do đó A = m + n = 4, khớp với đáp án nguồn.

Ta có ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.

Vì $90^{\circ }<a<180^{\circ }$ nên $\cos a<0$, suy ra $\cos a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{1}{3}:\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Chọn C. Theo công thức nhân đôi, $\cos 6a=\cos (2\cdot 3a)={\cos }^{2}3a-{\sin }^{2}3a=1-2{\sin }^{2}3a=2{\cos }^{2}3a-1$. Khẳng định $\cos 6a=1-6{\sin }^{2}a$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ (đúng). Kiểm tra các phương án khác: $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ nên A sai (thiếu dấu trừ); $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ nên B sai; $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ nên C sai. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<a,b<\frac{\pi }{2}$ nên $\cos a=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\tan a=\frac{3}{4}$, $\tan b=\frac{5}{12}$. Áp dụng công thức $\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{12}}{1-\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{12}}=\frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}}=\frac{56}{33}\approx 1,697$. Làm tròn đến hàng phần chục ta được $1,7$.

Vì $\tan x=2$ nên $\cos x\ne 0$. Chia cả tử và mẫu cho $\cos x$: $A=\frac{2\tan x-3}{4\tan x+5}=\frac{4-3}{8+5}=\frac{1}{13}$. Suy ra $10A=\frac{10}{13}\approx 0,77$. Đáp số: $0,77$.