Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số $y=\cos x$ (đạt cực đại tại $x=0$, đi qua các điểm $\left(\pm \frac{\pi }{2};0\right)$, đạt cực tiểu tại $x=\pm \pi$). Trên khoảng $(0;\pi )$, hàm số giảm từ $1$ xuống $-1$, nên nghịch biến trên $(0;\pi )$, do đó cũng nghịch biến trên $(0;\frac{\pi }{2})$ và $(\frac{\pi }{2};\pi )$. Trên khoảng $(-\pi ;0)$, hàm số tăng từ $-1$ lên $1$, tức là đồng biến, nên mệnh đề 'Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\pi ;0)$' là SAI. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4\sin \frac{\pi (t-60)}{178}+10$ có giá trị lớn nhất khi $\sin \frac{\pi (t-60)}{178}=1$, tức $\frac{\pi (t-60)}{178}=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Với $k=0$ ta được $t-60=89\Rightarrow t=149$, thỏa mãn $0<t\le 365$, $t\in \mathbb{Z}$. Khi đó $y_{\max }=4\cdot 1+10=14$. Vậy $m=14$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 1: 14).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có dạng như đồ thị $y=\sin x$: đi qua gốc tọa độ, đạt cực tiểu tại $x=-\frac{\pi }{2}$ và cực đại tại $x=\frac{\pi }{2}$. Quan sát đồ thị: trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Trên $(0;\pi )$ hàm tăng đến $\frac{\pi }{2}$ rồi giảm, nên không đồng biến trên cả khoảng; tương tự sai với $(-\pi ;0)$ (giảm rồi tăng) và $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (giảm). Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3\sin x+2$.
a) $f(x)=-1\iff \sin x=-\frac{1}{3}$. Các nghiệm âm: $x=-\arcsin \frac{1}{3}+2k\pi$ hoặc $x=\pi +\arcsin \frac{1}{3}+2k\pi$. Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\arcsin \frac{1}{3}\approx -0,34\ne -\frac{\pi }{2}$ (vì $-\frac{\pi }{2}$ không thỏa $\sin x=-\frac{1}{3}$). Phát biểu SAI.
b) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$. Phát biểu ĐÚNG.
c) $f(\pi )=3\sin \pi +2=3\cdot 0+2=2$. Phát biểu ĐÚNG.
d) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-1\le f(x)\le 5$; giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ bằng $-1$ (tại $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$), không phải 2. Phát biểu SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất của $\sin x=-\frac{1}{3}$ là $-\arcsin \frac{1}{3}\approx -0,34$, khác $-\frac{\pi }{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(\pi )=3\sin \pi +2=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\min f(x)=3(-1)+2=-1$, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le -2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $5\le y\le 9$. Vậy $M_1=5$, $M_2=9$, do đó $M_1+M_2=14$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x$.

b) Đúng: Giải phương trình: $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x\iff x-\frac{3\pi }{4}=\pm x+2k\pi$. Với dấu '+': $-\frac{3\pi }{4}=2k\pi$ (vô nghiệm nguyên k). Với dấu '−': $2x-\frac{3\pi }{4}=2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy khẳng định đúng.

c) Sai: Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (vì $y^{\prime }=-\sin x<0$ trên khoảng này), không phải đồng biến.

d) Sai: Vì $-1\le \cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$ với mọi $x$, tập giá trị của hàm số là $[-1;1]$, không phải $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos x$: trường hợp $x-\frac{3\pi }{4}=-x+2k\pi$ cho $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$; trường hợp còn lại vô nghiệm. Vậy đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\cos x$ có $y^{\prime }=-\sin x<0$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên nghịch biến, không đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$ là $[-1;1]$, không phải $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y={\sin }^{2}x$ là hàm chẵn vì ${\sin }^2(-x)={\sin }^{2}x$. B) $y=2\cos x$ là hàm chẵn vì $2\cos (-x)=2\cos x$. C) $y=\tan x-\sin 2x$: tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ và $f(-x)=\tan (-x)-\sin (-2x)=-\tan x+\sin 2x=-(\tan x-\sin 2x)=-f(x)$, nên là hàm lẻ. D) $y=|\cot x|$ là hàm chẵn vì $|\cot (-x)|=|-\cot x|=|\cot x|$. Vậy hàm số lẻ là $y=\tan x-\sin 2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x+1}{\cos x-1}$ xác định khi $\cos x-1\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2\cos x+1$.
a) $f(\pi /2)=2\cos (\pi /2)+1=2\cdot 0+1=1\ne 5$ → Sai.
b) $\cos x$ tuần hoàn chu kì $2\pi$ nên $f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$; chu kì nhỏ nhất là $2\pi$ → Đúng.
c) $f(x)=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Trên $[0;5\pi )$: $x=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{14\pi }{3}$ (vì $\frac{14\pi }{3}<5\pi$, nghiệm kế tiếp $\frac{16\pi }{3}>5\pi$) → đúng 5 nghiệm → Đúng.
d) $-1\le \cos x\le 1$ nên $\min f(x)=2(-1)+1=-1\ne -3$ → Sai. Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(\pi /2)=2\cos (\pi /2)+1=1\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$, chu kì $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-1/2$ cho 5 nghiệm $\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{14\pi }{3}$ thuộc $[0;5\pi )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất là $2(-1)+1=-1$, không phải $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2\sin x-1$.
a) $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\sin \frac{\pi }{2}-1=2-1=1$ → Đúng.
b) $f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )-1=2\sin x-1=f(x)$ với mọi $x$, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$ → Đúng.
c) $f(x)=0\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in \left[0;\frac{9\pi }{2}\right)$ ta có các nghiệm: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6},\frac{25\pi }{6}$ (vì $\frac{25\pi }{6}<\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$, còn $\frac{29\pi }{6}>\frac{9\pi }{2}$). Vậy có tất cả 5 nghiệm, không phải 4 nghiệm → Sai.
d) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-3\le f(x)\le 1$; giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ bằng $-3$ (khi $\sin x=-1$), không phải $-2$ → Sai.
So sánh với đáp án nguồn (mã đề 1201, Phần II Câu 1: DDSS) khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cdot 1-1=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )-1=f(x)$ với mọi $x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\frac{1}{2}$ cho 5 nghiệm thuộc $\left[0;\frac{9\pi }{2}\right)$: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6},\frac{25\pi }{6}$, không phải 4 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất là $2(-1)-1=-3$, không phải $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x}{2-2\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0: $2-2\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định về hàm số $y=\cos x$: (A) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ vì $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$ — đúng. (B) Trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$; với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $\sin x>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến. Thực tế $y=\cos x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ và đồng biến trên $(\pi ;2\pi )$. Vậy khẳng định B là sai. (C) Vì $\cos (-x)=\cos x$, hàm số là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$ — đúng. (D) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ — đúng. Khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, đi qua điểm $(0;1)$, đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=\pi$, chu kỳ $2\pi$ và bị chặn trong $[-1;1]$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\cos x$. Với $y=\sin x$ thì đồ thị đi qua gốc tọa độ và bằng 0 tại $x=\pi$; còn $y=\tan x$, $y=\cot x$ có tiệm cận đứng và không bị chặn trong $[-1;1]$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 1101, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\cos x-\sin x}$ xác định khi $\cos x-\sin x\ne 0$, tức $\cos x\ne \sin x$. Giải $\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ nhưng các giá trị này không thỏa $\cos x=\sin x$ nên không cần loại thêm). Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án A và với đáp án chính thức (MD 1112, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$ (khi $\cos x\ne 0$, và trường hợp $\cos x=0$ không thỏa $\sin x=\cos x$) $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi$, tức $x\ne \frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án C (khớp với đáp án nguồn mã đề 112, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $2x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$. a) Sai: vì $\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ (đó là tập giá trị). b) Đúng: $f(-x)=\frac{1}{2}\cos (-2x)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=f(x)$, nên hàm số chẵn. c) Sai: $f(x)=1\iff \frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=1\iff \cos 2x=1\iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, khác với $\left\{k\frac{\pi }{2}\right\}$. d) Sai: $f(x)=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$. Trong $[0;2\pi ]$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{16\pi }{4}=4\pi \ne 3\pi$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $\mathbb{R}$ vì $\cos 2x$ xác định với mọi $x$; $[-1;1]$ là tập giá trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\frac{1}{2}\cos (-2x)+\frac{1}{2}=f(x)$ nên hàm chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=1\iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, không phải $k\frac{\pi }{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$; trong $[0;2\pi ]$ có 4 nghiệm $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng $=4\pi \ne 3\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{1-\cos x}$ xác định khi $1-\cos x\ne 0$, tức $\cos x\ne 1$. Điều này xảy ra khi $x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\sin x$ và $y=\cos x$ có đạo hàm đổi dấu trên các khoảng xác định nên không luôn nghịch biến. $y=\tan x$ có $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ nên luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. $y=\cot x$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ trên mọi khoảng xác định $(k\pi ;k\pi +\pi )$, nên hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Vậy đáp án A.