Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Độ sâu $h$ lớn nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t=-2+16k$. Với $0\le t<24$: $k=0\Rightarrow t=-2$ (loại), $k=1\Rightarrow t=14$, $k=2\Rightarrow t=30$ (loại). Vậy mực nước cao nhất khi $t=14$ (giờ), khớp với đáp án nguồn 14.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\sin x}{\cos x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức $\cos x\ne 0$. Ta có $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án C (khớp với đáp án nguồn mã đề 1104, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=2\sin x$. a) Tại $x=\frac{\pi }{2}$ ta có $y=2\sin \frac{\pi }{2}=2$, nên điểm $M\left(2;\frac{\pi }{2}\right)$... tuy nhiên cần lưu ý thứ tự tọa độ: điểm $M\left(2;\frac{\pi }{2}\right)$ có hoành độ $x=2$ và tung độ $y=\frac{\pi }{2}$. Thay $x=2$ (radian) vào hàm số: $y=2\sin 2\approx 2\cdot 0,909\approx 1,818\ne \frac{\pi }{2}\approx 1,571$. Vậy $M$ không thuộc đồ thị hàm số → Sai. b) Hàm số $y=2\sin x$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi \ne \pi$ → Sai. c) Hàm số $y=2\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập xác định $D=\mathbb{R}$ → Đúng. d) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-2\le 2\sin x\le 2$, tập giá trị là $[-2;2]$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a: S, b: S, c: Đ, d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=2$ vào $y=2\sin x$ được $y=2\sin 2\approx 1,818\ne \frac{\pi }{2}$, nên $M\left(2;\frac{\pi }{2}\right)$ không thuộc đồ thị hàm số.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $y=2\sin x$ là $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi \ne \pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ xác định với mọi $x$ thực nên $D=\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-2\le 2\sin x\le 2$, tập giá trị là $[-2;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Khớp với đáp án D trong bảng hướng dẫn chấm (Mã đề 1102, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x+\frac{1}{2}$. a) $\sin x$ tuần hoàn chu kì $2\pi$ nên $y(x+2\pi )=\sin x+\frac{1}{2}=y(x)$: hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ → Đúng. b) $\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$ → Đúng. c) $\sin x+\frac{1}{2}=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}=-\sin \frac{\pi }{6}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, khác $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ → Sai. d) Theo công thức tổng hai sin: $\sin x+\sin \frac{\pi }{6}=2\sin \frac{x+\frac{\pi }{6}}{2}\cos \frac{x-\frac{\pi }{6}}{2}$, còn mệnh đề viết $\cos \frac{x+\frac{\pi }{6}}{2}$ (trong ảnh) là sai → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: D, D, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y(x+2\pi )=\sin (x+2\pi )+\frac{1}{2}=\sin x+\frac{1}{2}=y(x)$ với mọi $x$, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ xác định trên toàn trục số nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x+\frac{1}{2}=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$, trong khi $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$; hai phương trình không tương đương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $\sin x+\sin \frac{\pi }{6}=2\sin \frac{x+\frac{\pi }{6}}{2}\cos \frac{x-\frac{\pi }{6}}{2}$; mệnh đề viết thừa số cosin là $\cos \frac{x+\frac{\pi }{6}}{2}$ nên sai.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 101 (Phần II, Câu 2): SDDS, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Lưu ý: mệnh đề d) trong đề gốc in thiếu dấu trừ trước tích hai sin (cos A − cos B = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2)), nên theo bảng đáp án nguồn mệnh đề d) là Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x\ne \cos x$. Giải $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (các giá trị này đều khác $\frac{\pi }{2}+k\pi$ nên hợp lệ). Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án D trong đề và với đáp án mã đề 201 trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x\ne \cos x$. Giải $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$ (với $\cos x\ne 0$, và khi $\sin x=\cos x$ thì $\cos x\ne 0$ tự động) $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=3+2\cos x$.
a) $y=0\iff 3+2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{3}{2}$. Đúng.
b) Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $1\le y\le 5$, giá trị nhỏ nhất là $1$ (khi $\cos x=-1$), không phải $3$. Sai.
c) Vì $-\frac{3}{2}\notin [-1;1]$ nên $\arccos \left(-\frac{3}{2}\right)$ không xác định; hơn nữa phương trình $\cos x=-\frac{3}{2}$ vô nghiệm vì $\cos x\in [-1;1]$. Sai.
d) Hàm số $y=3+2\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\iff 3+2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $1\le y\le 5$; giá trị nhỏ nhất là $1$, không phải $3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\arccos \left(-\frac{3}{2}\right)$ không xác định vì $-\frac{3}{2}\notin [-1;1]$; phương trình $\cos x=-\frac{3}{2}$ vô nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=3-\sin (2x)$.

a) Vì $-1\le \sin (2x)\le 1$ nên $-1\le -\sin (2x)\le 1$, suy ra $2\le 3-\sin (2x)\le 4$. Vậy tập giá trị là $T=[2;4]$, không phải $[2;3]$ → ý a) SAI.

b) Hàm số $y=3-\sin (2x)$ có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ → ý b) ĐÚNG.

c) $\sin (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định $D=\mathbb{R}$ → ý c) ĐÚNG.

d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin (2x)=1$, khi đó $y_{\min }=3-1=2$ → ý d) ĐÚNG.

Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 022 (A-S, B-Đ, C-Đ, D-Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin (2x)\le 1$ nên $2\le y\le 4$, tập giá trị là $[2;4]$ chứ không phải $[2;3]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y_{\min }=3-1=2$ khi $\sin (2x)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=3-\sin (2x)$.

a) Vì $-1\le \sin (2x)\le 1$ nên $-1\le -\sin (2x)\le 1$, suy ra $2\le 3-\sin (2x)\le 4$. Vậy tập giá trị là $T=[2;4]$, không phải $[2;3]$ → Sai.

b) Hàm $\sin (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định $D=\mathbb{R}$ → Đúng.

c) Hàm $y=3-\sin (2x)$ có dạng $y=a\sin (bx)+c$ với $b=2$, chu kì $T=\frac{2\pi }{|b|}=\frac{2\pi }{2}=\pi$ → Đúng.

d) Giá trị nhỏ nhất đạt khi $\sin (2x)=1$: $y_{\min }=3-1=2$ → Đúng.

Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 021 (trang 9): Câu 2 Phần II: A-S, B-Đ, C-Đ, D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin (2x)\le 1$ nên $2\le y\le 4$, tập giá trị là $T=[2;4]$, không phải $[2;3]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y_{\min }=3-1=2$ khi $\sin (2x)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)=\sin 2x$.
a) $f(x)=0\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Đúng.
b) Hàm số $y=\sin 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$. Đúng.
c) Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, do đó $\sin 2x>0$, tức $f(x)>0$. Đúng.
d) $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \pi =0\ne 1$. Sai.
Kết quả khớp với đáp án mã đề 267: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $\sin 2x$ xác định với mọi số thực, nên $D=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\sin 2x>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \pi =0\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\sin 2x$. a) Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, nên $\sin 2x>0$ → Đúng. b) $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \pi =0\ne 1$ → Sai. c) $\sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ → Đúng. d) Hàm số $y=\sin 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 013: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, do đó $\sin 2x>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \pi =0\ne 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin 2x$ xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\sin x}{1+\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $1+\cos x\ne 0\iff \cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án D và bảng đáp án (đề 101, câu 18: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số với $f(-x)$: A: $f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-f(x)$, hàm lẻ. B: $f(-x)=\cos (-x)\sin (-x)=-\cos x\sin x=-f(x)$, hàm lẻ. C: $f(-x)=\cos (-x)+{\sin }^2(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, hàm chẵn. D: $f(-x)=\cos x-\sin (-x)=\cos x+\sin x\ne f(x)$ và $\ne -f(x)$, không chẵn không lẻ. Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x+{\sin }^{2}x$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x+1=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+1$. a) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: Đúng. b) Hàm số có dạng $A\sin (\omega x+\phi )+B$ với $\omega =1$ nên chu kỳ $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi \ne \pi$: Sai. c) $f(-x)=\sin (-x)+\sqrt{3}\cos (-x)+1=-\sin x+\sqrt{3}\cos x+1\ne f(x)$, ví dụ $f(0)=\sqrt{3}+1$ còn $f(\pi )=1-\sqrt{3}$, do đó đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng: Sai. d) Giá trị lớn nhất của hàm số là $2+1=3\ne 2+\sqrt{3}$: Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a Đ, b S, c S, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gồm các hàm sin, cos và hằng số nên xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+1$ có $\omega =1$ nên chu kỳ $T=2\pi$, không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x+1\ne f(x)$ (ví dụ $f(0)=\sqrt{3}+1\ne f(\pi )=1-\sqrt{3}$), nên đồ thị không đối xứng qua trục tung.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $\max y=2\cdot 1+1=3\ne 2+\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình có các nhánh nghịch biến liên tục trên từng khoảng $(k\pi ;(k+1)\pi )$, có tiệm cận đứng tại $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, và cắt trục hoành tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (đi qua điểm $\left(\frac{\pi }{2};0\right)$). Đây là đặc trưng của hàm số $y=\cot x$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}\cot x=+\infty$, ${\lim }_{x\to {\pi }^{-}}\cot x=-\infty$, $\cot \frac{\pi }{2}=0$. Hàm $y=\tan x$ có tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ và đồng biến trên từng khoảng xác định nên không phù hợp; $y=\sin x$ và $y=\cos x$ có đồ thị là đường sóng liên tục trên $\mathbb{R}$, không có tiệm cận đứng. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $h(t)=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+12$ với $0\le t\le 24$. Vì $-1\le \cos \le 1$ nên $9\le h\le 15$: a) đúng (min $=12-3=9$), b) đúng (max $=12+3=15$). c) Max khi $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \iff t=-2+12k\in [0;24]\Rightarrow t=10;22$: chỉ có 2 thời điểm, không phải 3 → sai. d) $h(12)=3\cos \left(2\pi +\frac{\pi }{3}\right)+12=3\cdot \frac{1}{2}+12=13,5\ne 13$ → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c S, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $h_{\min }=12-3=9m$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h_{\max }=12+3=15m$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h$ đạt max khi $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \iff t=-2+12k$. Với $0\le t\le 24$ thì $t=10$ hoặc $t=22$: chỉ có 2 thời điểm, không phải 3. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(12)=3\cos \left(\frac{\pi \cdot 12}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+12=3\cos \frac{\pi }{3}+12=1,5+12=13,5m\ne 13m$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $s(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Với $k=0$: $t-80=91\Rightarrow t=171$ (thỏa mãn $0<t\le 365$). Các giá trị $k\ne 0$ cho $t=171\pm 364$ ngoài miền xác định. Vậy ngày thứ 171 thành phố có nhiều giờ ánh sáng nhất ($s=15$ giờ), trùng với đáp án 171 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
$s(t)$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin$ đạt $1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t-80=91\Rightarrow t=171$ (thỏa $0<t\le 365$). Vậy ngày thứ $171$ trong năm thành phố có nhiều giờ ánh sáng nhất, khớp đáp án $171$.