Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lũy thừa (Toán học Lớp 11)

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $(1+2i{)}^2=-3+4i$, nên $(-3+4i)(x+yi)+(x-yi)=(-2x-4y)+(4x-4y)i=-20+4i$. Suy ra $\{\begin{array}{l}-2x-4y=-20\\ 4x-4y=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}$. Vậy $|z|=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

Lời giải

B. 2 .

A. 4 .

Chọn C
Đặt z = a + bi
2
2
z - 2 + 3i = 2 \iff ( a - 2 ) + ( b + 3) = 2 (1)

z + 4 - 2i = z + 5 + i
\iff ( a + 4 ) + ( b - 2 ) = ( a + 5 ) + (1 - b )
2

2

2

2

\iff 2a + 2b = -6
\iff a = -3 - b
2
2
Thay a = -3 - b vào (1) ta được ( -5 - b ) + ( b + 3) = 2 \iff 2b2 + 16b + 32 = 0 \iff b = -4 \implies a = 1
Vậy z = -4 + i.

Ta có $|z-iz|=|z(1-i)|=|z|\cdot |1-i|$. Mà $|z|=\frac{|(1+3i{)}^3|}{|1-i|}=\frac{|1+3i{|}^3}{|1-i|}=\frac{(\sqrt{10}{)}^3}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=10\sqrt{5}$ (hoặc tính trực tiếp: $(1+3i{)}^3=1+9i-27-27i=-26-18i$, ta kiểm tra: với đề bài, $|z-iz|=8\sqrt{2}$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Ta có $4^{{\log }_2(ab)}=(2^{{\log }_2(ab)}{)}^2=(ab{)}^2=a^2{b}^2$. Từ giả thiết $a^2{b}^2=3a$ và $a>0$ suy ra $a{b}^2=3$.

Ta có $(i-z_1)(i-z_2)=i^2-i(z_1+z_2)+z_1{z}_2$. Theo định lý Vi-ét cho phương trình $z^2-z+2=0$, ta có $z_1+z_2=1$ và $z_1{z}_2=2$. Do đó $(i-z_1)(i-z_2)=-1-i(1)+2=1-i$. Ta có $(1-i{)}^2=-2i$. Vì $2019=2\times 1009+1$, nên $[(i-z_1)(i-z_2){]}^{2019}=(1-i{)}^{2019}=[(1-i{)}^2{]}^{1009}(1-i)=(-2i{)}^{1009}(1-i)=-2^{1009}\cdot i^{1009}(1-i)$. Mà $i^{1009}=(i^4{)}^{252}\cdot i=i$. Do đó số phức là $-2^{1009}\cdot i(1-i)=-2^{1009}(i-i^2)=-2^{1009}(1+i)=-2^{1009}-2^{1009}i$. Phần thực của số phức là $-2^{1009}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn A.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) $\Rightarrow iz+(1-i)(x-yi)=-y+xi+x-yi-xi-y=(x-2y)-yi=-2i$. Suy ra $y=2$ và $x-2y=0\Rightarrow x=4$. Khi đó $z=4+2i,\bar{z}=4-2i$. Số phức $w=(5+2i)(4-2i)=20-10i+8i+4=24-2i$. Tổng phần thực và phần ảo là $24+(-2)=22$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn A.

Ta có: $\sqrt[5]{8}=2^{\frac{3}{5}}\Rightarrow 2\sqrt[5]{8}=2^{1+\frac{3}{5}}=2^{\frac{8}{5}}$. Tiếp tục: $\sqrt{2\sqrt[5]{8}}=2^{\frac{4}{5}}$. Khi đó $4\sqrt{2\sqrt[5]{8}}=2^2\cdot 2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{14}{5}}$. Cuối cùng: $\sqrt[3]{4\sqrt{2\sqrt[5]{8}}}=2^{\frac{14}{15}}$. Do đó $m=14,n=15$. Khi đó $P=m^2-n^2=14^2-15^2=196-225=-29$ hoặc theo đề tính toán ra phân số tối giản. Theo đáp án chính thức, chọn D.

z + = -1 $\iff$ z 2 + z + 1 = 0 $\iff$ ( z - 1) ( z 2 + z + 1) = 0 $\iff$ z 3 - 1 = 0 $\iff$ z 3 = 1 .
1
z

= ( z3 )
1 674 1 1
Khi đó P = z 2023 + z+ = z+ = 1.
(z )
3 674
2023
z z z

x 2 - 2 ( m - 1) x + 2 - m

**Chọn D**

Ta có: z  4  2i  z i   a  4    b  2  i  a 2  b 2 i
a  4  0 a  4
  
b  2  a  b
2 2
b  2  b  16
2
1
b  2  0 b  2
Từ 1  b  2  b 2  16   2   b3
b  4b  4  b  16 b  3
2

Vậy: S  a  2b  4  2.3  10.

Đặt $|z|=r>0$. Phương trình viết lại $(1+2i)r+2-i=\frac{\sqrt{10}}{z}\iff (r+2)+(2r-1)i=\frac{\sqrt{10}}{z}$. Lấy môđun hai vế: $\sqrt{(r+2{)}^2+(2r-1{)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{r}\iff 5r^4+5r^2-10=0\Rightarrow r=1\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$. Chọn B.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 34, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 40 (D), Mã đề 103 Câu 45 (D), Mã đề 104 Câu 43 (D); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Hai nghiệm phức của $z^2+z+1=0$ có $|z_1|=|z_2|=1$, suy ra $|w|=|{\bar{z}}_1{|}^3\cdot |{\bar{z}}_2{|}^5=1$.

Ta có $z^2-3z+5=0\iff z_{1,2}=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{11}}{2}i$.

Khi đó $|(2\overline{z_1}-3)(2\overline{z_2}-3)|=|(-\sqrt{11}i)(\sqrt{11}i)|=11$.

Gọi $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$. Thay vào phương trình ta có $(2+i)(a+bi)-4(a-bi-i)=-8+19i\iff (-2a-b)+(a+6b+4)i=-8+19i\iff \{\begin{array}{l}-2a-b=-8\\ a+6b=15\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=2\end{array}$. Vậy phần thực của $z$ bằng $3$.

Chọn C

Ta có 3i + 5 - iz1 = z2 - 3 - 5i = 5 $\iff$ z1 - 3 + 5i = z2 - 3 + 5i = 5

Đặt u = z1 - 3 + 5i và v = z2 - 3 + 5i .

Khi đó ta có được u = v = 5 , u - v = 6 và  = z1 + z2 - 6 + 10i = u + v .
2
Ta có u + v + u - v = 2 u + v
2
( 2 2
) $\iff$ u + v + 36 = 100 $\iff$ u + v = 8 .
2

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Vì $z_1{\bar{z}}_2$ là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0: $\text{Re}(z_1{\bar{z}}_2)=0\Rightarrow z_1{\bar{z}}_2+{\bar{z}}_1{z}_2=2\text{Re}(z_1{\bar{z}}_2)=0$.
Khi đó $|z{|}^2=|z_1+z_2{|}^2=(z_1+z_2)({\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2)=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+(z_1{\bar{z}}_2+{\bar{z}}_1{z}_2)=3^2+4^2+0=25$.
Suy ra $|z|=5$. Vậy chọn B.

Phương trình tương đương với $2|z|+|z|i=(1+2i)z-1+3i\iff (1+2i)z=(2|z|+1)+(|z|-3)i$. Lấy môđun hai vế: $|1+2i||z|=\sqrt{(2|z|+1{)}^2+(|z|-3{)}^2}\iff 5|z{|}^2=4|z{|}^2+4|z|+1+|z{|}^2-6|z|+9\iff 5|z{|}^2=5|z{|}^2-2|z|+10\iff 2|z|=10\iff |z|=5$. Khi đó $(1+2i)z=(2\cdot 5+1)+(5-3)i=11+2i\Rightarrow z=\frac{11+2i}{1+2i}=\frac{(11+2i)(1-2i)}{5}=\frac{11-22i+2i+4}{5}=\frac{15-20i}{5}=3-4i$. Do đó $a=3,b=-4$. Giá trị của $S=a-b=3-(-4)=7$. Chọn C.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)