Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y - 2 z - 11 = 0 và điểm
M (0; -2;1) . Gọi d1 , d 2 , d3 là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm
M (0; -2;1) và lần lượt cắt mặt cầu (S) tại điểm thứ hai là A, B, C . Thể tích của tứ diện MABC
đạt giá trị lớn nhất bằng
50 3 1000 3 100 3 500 3

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2;2;2)$, $B(2;4;-6)$, $C(0;2;-8)$. Xét các điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P):x+y+z=0$ sao cho $\widehat{AMB}=90^{\circ }$. Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng $CM$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 1. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: km), mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên. Một trạm ra-đa đặt tại điểm $A(1;2;0)$ với bán kính quét tối đa $R=100\text{ km}$. Một vật thể bắt đầu chuyển động từ vị trí $B(2;-1;0)$ với vận tốc tại thời điểm $t$ giây tính từ khi xuất phát là $v(t)=10+\frac{1}{2}t-\frac{1}{1200}{t}^2\text{ (m/s)}$ và bay theo hướng vectơ $\vec{u}=(2;2;1)$. Sau một khoảng thời gian chưa đầy 10 phút, vật thể đến vị trí $C$ có độ cao $6\text{ km}$.

Câu 4. Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát các vật trong không gian. Trong không gian cho hệ tọa độ $Oxyz$ có $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ tương ứng là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$ và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng $1\text{ đeˆˋ-xi-meˊt (dm)}$. Mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Quả bóng tiếp xúc với mặt phẳng sàn nhà. Một tấm gỗ mỏng (coi như một mặt phẳng) tiếp xúc với bề mặt quả bóng, phần giao của tấm gỗ và sàn nhà là đường thẳng $d$ có phương trình: $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$. Gọi $A,B$ tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong một căn phòng (được mô phỏng bởi hệ tọa độ $Oxyz$ với đơn vị độ dài là đề-xi-mét), người ta có treo một quả cầu trang trí với phương trình bề mặt là $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Một con nhện đang phục kích ở vị trí $T(-1;2;-10)$ trên trần nhà, nó phát hiện ra một con muỗi đang đậu trên bề mặt quả cầu tại vị trí $M(-1;-3;3)$. Nó quyết định tấn công bằng cách thả tơ rơi thẳng xuống, chạm vào bề mặt quả cầu $(S)$ tại một điểm $P$ (biết đường thẳng $TP$ là tiếp tuyến của mặt cầu). Ngay khi chạm vào quả cầu, nhện lập tức bò trên bề mặt $(S)$ bằng con đường ngắn nhất để bắt con muỗi. Biết tốc độ đu tơ của nhện là $4\text{ dm/s}$ và tốc độ bò trên bề mặt quả cầu là $1,5\text{ dm/s}$. Hãy tính thời gian ngắn nhất (giây) kể từ lúc nhện bắt đầu thả tơ cho đến khi bắt được muỗi. (*Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm*).

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(3;2;-6)$, mặt phẳng $(P):2x+2y+z-10=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x+2y-2z-3=0$.

Trong sảnh một trung tâm hội nghị, các kiến trúc sư lắp đặt một khối cầu trang trí phản quang có mặt ngoài được mô phỏng bởi phương trình $x^2+y^2+z^2=9$ (đơn vị: mét). Một đèn chiếu điểm (spotlight) di chuyển dọc theo trục ray thẳng có phương trình $d:x-1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-3}$. Khi đèn ở vị trí $M$, các tia sáng phát ra tiếp xúc với khối cầu. Tập hợp các tiếp điểm tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng $(P)$, là ranh giới giữa vùng sáng và vùng tối (tham khảo hình vẽ bên).

Khi đèn $M$ di chuyển đến vị trí sao cho mặt phẳng $(P)$ đi qua mắt cảm biến cố định tại $D(2;0;1)$, hãy tính khoảng cách từ đèn $M$ đến tâm khối cầu (làm tròn đến hàng phần chục của mét).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), một kiến trúc sư cần lắp đặt một đèn chiếu sáng tại vị trí $A$ cho một phòng triển lãm. Điểm $A$ thay đổi trên một khung thép hình tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+4=0$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6$. Đèn phát ra luồng sáng có dạng hình nón với góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$, trục của hình nón luôn vuông góc với mặt sàn $(P):x-2y+2z+10=0$. Để đảm bảo mật độ ánh sáng tập trung cao nhất cho khu vực trưng bày dưới sàn, kiến trúc sư cần điều chỉnh đèn đến vị trí sao cho diện tích vùng chiếu sáng trên mặt sàn $(P)$ là nhỏ nhất. Hãy tính diện tích vùng chiếu sáng nhỏ nhất đó. (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười của ${\text{m}}^2$).

Câu 6. Tại lễ Tri ân và trưởng thành của học sinh khối 12 của một trường THPT. Kết thúc buổi lễ, một học sinh khối 12 đại diện cho các bạn thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với $1\text{ m}$, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-10{)}^2=2$. Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam $A,B,C$ cách nhau $3\text{ m},4\text{ m},5\text{ m}$ và tạo thành một tam giác $ABC$ có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-17=0$ và có phương trình dạng $2x+ay+bz+c=0$. Tổng giá trị của $T=a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;-2;4),B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-1\\ z=t\end{array}$. Gọi $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA\perp MB$ và $N$ là điểm thay đổi thuộc $d$. Khi $MN$ nhỏ nhất, tìm hoành độ điểm $M$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và điểm $A(1;3;0)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A$, tiếp xúc với $Oxy$ và với đường thẳng $d$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+2=0$. Gọi $(N)$ là hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp trong mặt cầu $(S)$ và $(T)$ là hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp bên trong hình nón (tham khảo hình vẽ). Khi đó, điểm nào dưới đây có thể thuộc đường tròn đáy của hình trụ?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;2)$ và hai mặt cầu $(S_1):x^2+y^2+z^2-2x-4y+1=0$, $(S_2):x^2+y^2+z^2-6x-2z-15=0$. Gọi đường thẳng $d$ là tiếp tuyến chung của hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$, $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $d$. Biết khi $d$ thay đổi thì điểm $H$ luôn chạy trên một đường tròn $(C)$ cố định. Bán kính của đường tròn $(C)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;2;-2)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $H$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=3$ và hai điểm $A(2;-2;4)$, $B(-3;3;-1)$. Xét điểm $M$ thay đổi thuộc mặt cầu $(S)$, giá trị nhỏ nhất của $P=2M{A}^2+3M{B}^2$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;-2;0)$ và $B(3;4;5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2=4$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-6z+7=0$. Xét hai điểm $M,N$ là hai điểm bất kì thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng $\sqrt{6}\text{ cm}$, $AB=4\text{ cm}$. Khi thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$.

Câu 3. Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính $450\text{ (km)}$ và chiều cao $30\text{ (km)}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục $Oz$ hướng lên cao và gốc tọa độ $O$ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là $1\text{ (km)}$. Một tên lửa bắt đầu từ vị trí điểm $A(30;-780;60)$, dự định bay thẳng với vận tốc không đổi $7\text{ (km)/giaˆy}$ hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hai mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=36$ và $(S^{\prime }):(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=81$. Gọi $d$ là đường thẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu trên và cách điểm $M(4;-1;-7)$ một khoảng lớn nhất. Gọi $E(m;n;p)$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(P):2x-y+z-17=0$. Biểu thức $T=m+n+p$ có giá trị bằng:

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị $\text{km}$), Trái đất được mô phỏng là mặt cầu tâm $O$ bán kính $R=6400$ và đường xích đạo được xem là đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu mô phỏng trái đất và mặt phẳng $(Oxy)$. Tại Bắc Cực $I(0;0;6400)$, Bộ chỉ huy thiết lập một "Vòm An Ninh". Vùng an toàn này là một mặt cầu tâm $I$ có bán kính quét là $R_q=1280\sqrt{10}$. Bất kỳ tàu nào đi vào biên giới của vùng này sẽ được bảo vệ tuyệt đối. Siêu điệp viên Alpha đang ẩn náu tại tọa độ $M(0;5120;3840)$. Anh nhận được mật lệnh: "Phải di chuyển từ vị trí hiện tại xuống đường Xích đạo để kích hoạt thiết bị định vị, sau đó lập tức rút lui về ranh giới Vòm An Ninh tại điểm nhập $K$ theo lộ trình ngắn nhất để tẩu thoát." Biết vận tốc di chuyển của Alpha là $v_A=60\text{ km/h}$. Cùng lúc đó, tàu truy kích Beta đang phục kích tại vị trí $N(0;-6400;0)$. Ngay khi Alpha xuất phát, Beta tính toán được chính xác điểm $K$ và lao đến đó để chặn đầu. Tàu Beta phải duy trì vận tốc tối thiểu là bao nhiêu $\text{km/h}$ để có thể chặn đầu Alpha trước lúc điệp viên này vào ranh giới an toàn? (Xem vận tốc của Alpha và Beta là chuyển động đều và hai tàu di chuyển trên mặt của khối cầu. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).