Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}{x}^2+3x>0\\ x>0\\ {\log }_{2}x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 1\end{array}$. Khi đó phương trình tương đương với ${\log }_2(x^2+3x)=2\iff x^2+3x-4=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (loại)}</td></tr><tr><td>x=-4\text{ (loại)}</td></tr></tbody></table>$. Vậy phương trình vô nghiệm (số nghiệm thực là $0$). Chọn B.

Với $m>0$, điều kiện của phương trình là $x>0$. Khi đó ${\log }_9(x+1{)}^2+{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{x}{m}=1\iff {\log }_3(x+1)-{\log }_{3}x+{\log }_{3}m=1\iff \frac{x+1}{x}=\frac{3}{m}\iff \frac{m}{3}=\frac{x}{x+1}$. Xét hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ trên $(0;+\infty )$ có $y^{\prime }=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$, tập giá trị là $(0;1)$. Do đó phương trình có nghiệm $x>0\iff 0<\frac{m}{3}<1\iff 0<m<3$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị. Chọn D.

Phương trình tương đương $(3^x{)}^2-18\cdot 3^x+27=0\iff [<table><tbody><tr><td>3^x=9+3\sqrt{6}</td></tr><tr><td>3^x=9-3\sqrt{6}</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x_1={\log }_3(9+3\sqrt{6})</td></tr><tr><td>x_2={\log }_3(9-3\sqrt{6})</td></tr></tbody></table>$. Khi đó $x_1+x_2={\log }_3[(9+3\sqrt{6})(9-3\sqrt{6})]={\log }_{3}27=3$. Chọn A.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 152 (trang 8): Chọn A. Điều kiện $x>0$. Phương trình tương đương $\ln [4(x+2{)}^2]=\ln (81x)\iff 4x^2-65x+16=0\iff x_1=\frac{1}{4},x_2=16$. Do đó $P=\ln \frac{1}{4}-\ln 16=-6\ln 2$.

Đặt $t={\log }_{a}b>0$. Phương trình tương đương ${\log }_a(ab)+\frac{1}{4}{\log }_b(ab)=\frac{9}{4}\iff 1+t+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{t}\right)=\frac{9}{4}\iff 4t^2-4t+1=0\iff t=\frac{1}{2}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1011, trang 9), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $8,9$.

Ta có $M_2=\log \frac{5A_1}{A_0}=\log 5+\log \frac{A_1}{A_0}=8,2+\log 5\approx 8,9$.

Đặt $t={\log }_{a}b$ ($t\ne 0,t\ne 1$ do $a,b$ phân biệt khác $1$). Phương trình trở thành $(2-t{)}^2(1+t)-4=0\iff t^3-3t^2=0\Rightarrow t=3$ (do $t\ne 0$). Khi đó $T=\frac{1}{t}+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$. Chọn D.

Đặt $t={\log }_{3}x$. Vì $x\in [1;9]$ nên $t\in [0;2]$. Phương trình trở thành $m=t^2-2t+2=(t-1{)}^2+1$. Với $t\in [0;2]$, ta có $1\le (t-1{)}^2+1\le 2$, nên $1\le m\le 2$.

Đặt $t={\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4(x+y)$, ta có $\{\begin{array}{l}x=9^t\\ y=6^t\\ x+y=4^t\end{array}\Rightarrow 9^t+6^t=4^t\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2t}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^t-1=0\Rightarrow {\left(\frac{3}{2}\right)}^t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (do ${\left(\frac{3}{2}\right)}^t>0$). Suy ra $\frac{x}{y}={\left(\frac{9}{6}\right)}^t={\left(\frac{3}{2}\right)}^t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=1,b=5$. Vậy $T=a^2+b^2=1^2+5^2=26$.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 333; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có:
${\log }_{6}45=\frac{{\log }_{2}45}{{\log }_{2}6}=\frac{{\log }_{2}5+2{\log }_{2}3}{1+{\log }_{2}3}=\frac{{\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5+2{\log }_{2}3}{1+{\log }_{2}3}=\frac{\frac{a}{b}+2a}{1+a}=\frac{a(1+2b)}{b(a+1)}$
Suy ra $m=1,n=2,p=1\Rightarrow m+n+p=4$.
Chọn đáp án A.

Với $m>1$, lấy lôgarit cơ số $m$ hai vế ta được $x^2+x{\log }_m(m+20)-3=0$. Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương lớn hơn $1\iff 1+{\log }_m(m+20)-3<0\iff {\log }_m(m+20)<2\iff m+20<m^2\iff m>5$. Vậy có vô số số nguyên dương $m$.

Chọn B

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn B
Ta có 43- 2 x = 5 x +1 $\iff$ 3 - 2 x 2 = ( x + 1) log 4 5 $\iff$ 2 x 2 + log 4 5.x + log 4 5 - 3 = 0 .
2

log 4 5 - 3
Nên tích các nghiệm bằng $\approx$ -0,92 .
2

Chọn A
Phương trình log 3 ( x - 1) = log 3 ( mx - 15 ) . Điều kiện: x  1 .

16
$\Rightarrow$ log 3 ( x - 1) = log 3 ( mx - 15 ) $\iff$ ( x - 1) = mx - 15 $\iff$ m = x - 2 +
2 2
.
x
16 16 x2 -16
Xét hàm số: f ( x ) = x - 2 + , ( x  1) $\Rightarrow$ f ( x ) = 1 - 2 =
' $\Rightarrow$ f ' ( x ) = 0 $\iff$ x = 4 ( do x  1) .
x x x2
BBT:
m$\in$ '
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi 6  m  15  $\to$ m $\in$ {7;8;...;14}

$\Rightarrow$ Số giá trị m thỏa mãn là 8.

Điều kiện $-2\le x\le 2$. Đặt $t=3^{\sqrt{4-x^2}}\Rightarrow t\in [1;9]$, phương trình trở thành $2m=-t^2+4t+1$.
Bảng biến thiên trên $[1;9]$:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi $-44\le 2m\le 5\iff -22\le m\le \frac{5}{2}$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-22,-21,\dots ,2\}$, có $25$ giá trị nguyên của $m$.
Chọn B.

Lấy logarit cơ số $2$ hai vế ta được $(x-1){\log }_{2}5=x^2-1\iff (x-1)(x+1-{\log }_{2}5)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x_1=1</td></tr><tr><td>x_2={\log }_{2}5-1</td></tr></tbody></table>$. Vậy $P=x_1+x_2={\log }_{2}5$.

Điều kiện: $x>0$ và $x\ne 1$. Phương trình tương đương với ${\log }_3(x^2-2x+1)+(x^2-2x+1)={\log }_{3}x+x$. Xét hàm số $f(t)={\log }_{3}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $x^2-2x+1=x\iff x^2-3x+1=0\iff x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Khi đó $4x_1+2x_2=9+\sqrt{5}\Rightarrow a=9,b=5\Rightarrow a+b=14$.

Lấy lôgarit cơ số $3$ hai vế của phương trình ta được:
$x^2-2=(x+1){\log }_{3}5\iff x^2-({\log }_{3}5)x-2-{\log }_{3}5=0.$
Phương trình bậc hai có $a\cdot c=1\cdot (-2-{\log }_{3}5)<0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Theo định lí Vi-ét, tổng hai nghiệm là $x_1+x_2={\log }_{3}5$.