Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $f(x)$ có $f(2)=0$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x+7}{\sqrt{2x-3}},\forall x\in \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$. Biết rằng ${\int }_4^{7}f\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x=\frac{a}{b}$ ($a,b\in \mathbb{Z},b>0,\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a+b$ bằng

Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm $50$ năm ngày miền Nam hoàn toàn giải phóng, một em học sinh lớp 12 đã đạt giải đặc biệt với một thiết kế vô cùng độc đáo. Em học sinh này đã thiết kế bề mặt của một chiếc đồng hồ treo tường bằng sự kết hợp giữa lịch sử, mỹ thuật và toán học.
- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có cạnh bằng $2\text{ dm}$, nơi đây lưu giữ hình ảnh của chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào dinh độc lập.
- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng $2\text{ dm}$.
- Đường cong trung gian có tên $(L)$ là tập hợp tất cả điểm $P$ sao cho nếu kẻ tia $Ot$ bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại $M,N$ thì $P$ là trung điểm $MN$, $O$ là tâm đường tròn. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ theo đơn vị ${\text{dm}}^2$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=100\text{ cm}$, $AD=50\text{ cm}$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Gọi $(H)$ là tập hợp các điểm $M$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$ thỏa mãn $d(M,AD)\ge MI$. Hãy tính diện tích hình phẳng $(H)$ theo đơn vị centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thỏa mãn $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Tính tích phân $I={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục và không âm trên $[1;4]$ đồng thời thỏa mãn điều kiện $x+2xf(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ và $f(1)=\frac{3}{2}$. Tính ${\int }_1^{4}f(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $g(x)=1+2{\int }_0^{x}f(t)dt$. Biết $g(x)\ge [f(x){]}^3$ với mọi $x\in [0;1]$. Tích phân ${\int }_0^1\sqrt[3]{[g(x){]}^2}dx$ có giá trị lớn nhất bằng

Biết ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{7\pi }{12}}\frac{\sin x+5\cos x}{(\sin x+\cos x{)}^3}\mathrm{d}x=\frac{a\sqrt{3}}{b}-\frac{c}{d}+p\sqrt{2}$, với $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản, $p$ là số tự nhiên. Đặt $n=a+b+c+d$. Số ước nguyên dương của $n$ là

Cho hàm số $f(x)$ là hàm đa thức bậc 3 và hai điểm $A(-1;3),B(1;-1)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)}{f(x)+1}$ và $y=0$ bằng

Biết rằng tích phân $I={\int }_0^{\pi /4}\frac{\ln (\sin x+15\cos x)}{{\cos }^{2}x}dx=a\pi +b\ln 2+c\ln 3+d\ln 5$ trong đó $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$, tính $T=a+b+c+d$.

Giả sử hàm số $y=m{x}^4-(m^2+2)x^2+\frac{m^3+11m}{9}$ có đồ thị $(C)$ và hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C^{\prime })$ cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. Biết rằng hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $(C)$ và $(C^{\prime })$ là hợp của ba hình phẳng $(H_1),(H_2),(H_3)$ có diện tích tương ứng là $S_1,S_2,S_3$ trong đó $0<S_1\le S_2\le S_3$ và các hình phẳng $(H_1),(H_2),(H_3)$ đôi một giao nhau tại không quá một điểm. Gọi $T$ là tập hợp các giá trị của $m$ sao cho $S_3=S_1+S_2$. Tính tổng bình phương các phần tử của $T$.

Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị: mét). Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=-x^2+4$ và trục hoành $Ox$. Kiến trúc sư bố trí một dải đèn LED thẳng, được mô phỏng bởi đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0;1)$, cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$). Dải đèn chia bồn hoa thành hai phần riêng biệt: Phần hình phẳng nằm phía trên dây cung $AB$ được dùng để trồng Hoa Hồng, phần còn lại của bồn hoa (nằm phía dưới dây cung $AB$) được dùng để trồng Cỏ Nhật.

Biết ${\int }_0^4\frac{\sqrt{2x+1}}{2x+3\sqrt{2x+1}+3}dx=a+b\ln 2+c\ln \frac{5}{3}$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$). Tính $T=2a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $(1+{\ln }^{2}x)\cdot 2019f(\ln x)+2020\ln x\cdot f({\ln }^{2}x)=2021\ln x$, $\forall x\in (0;e]$. Biết ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{a}{b}(\sqrt{2}-1)$ với $\frac{a}{b}$ tối giản và $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Khi đó $a+b$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm xác định trên $(0;+\infty )$. Biết rằng $f(x)>0$ với mọi $x\in (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x)(\ln f(x)+1)+x(f^{\prime }(x)-2xf(x))=0$ và $\ln (f(2))-\ln (f(1))=1$. Giá trị tích phân ${\int }_1^{2}xf(x)dx$ nằm trong khoảng nào dưới đây.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn ${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}[f^2(x)-2f(x)(3-x)]dx=-\frac{109}{12}$. Tính ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{f(x)}{x^2-1}dx$.

Giả sử $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;\pi )$ và $f^{\prime }(x)\sin x=x+f(x)\cos x,\forall x\in (0;\pi )$. Biết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1,f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{12}(a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3})$, với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị $a+b+c$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\int }_0^{3}x\cdot f^{\prime }(2x-4)dx=8$; $f(2)=2$. Tính $I={\int }_{-2}^{1}f(2x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và dương trên $(0;+\infty )$, thỏa mãn $3xf(x)=x^2{f}^{\prime }(x)+2f^2(x),\forall x>0$ và $f(1)=\frac{1}{2}$. Giá trị của tích phân ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x^2}dx$ bằng

Ông nội của bạn Kiên là cựu chiến binh, ông từng trực tiếp tham gia trận đánh 30/4/1975 và tiếp quản Dinh Độc Lập. Năm nay ông được đơn vị tặng quà lưu niệm là một chiếc đồng hồ treo tường rất đẹp.
- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có tâm $O$ cạnh bằng $2\text{ dm}$, nơi đây lưu giữ hình ảnh chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào Dinh Độc Lập.
- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng $2\text{ dm}$.
- Đường cong trung gian có tên $(L)$ là tập hợp tất cả điểm $P$ sao cho nếu kẻ tia $Ot$ bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại $M,N$ thì $P$ là trung điểm $MN$ ($O$ là tâm đường tròn). Phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ và hình vuông bên trong mặt đồng hồ được mạ vàng $18\text{K}$. Bạn Kiên rất muốn biết xem diện tích của phần này là bao nhiêu theo đơn vị ${\text{dm}}^2$. Em hãy tính giúp bạn. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
[IMAGE:img_q21_clock]

Cho hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ có đạo hàm trên $[1;2021]$, thỏa mãn $f(2021)=g(2021)=0$, $\frac{x}{(x+1{)}^2}g(x)+2020x=(x+1)f^{\prime }(x)$ và $\frac{x^3}{x+1}{g}^{\prime }(x)+f(x)=2021x^2$ với mọi $x\in [1;2021]$. Tích phân ${\int }_1^{2021}\left[\frac{x}{x+1}g(x)-\frac{x+1}{x}f(x)\right]dx$ bằng