Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff 3(x-1)(x-3)=0\iff x\in \{1;3\}$.
c) Sai: Trên $[2;4]$ có $f(2)=4,f(3)=2,f(4)=6$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[2;4]$ tại $x=4$.
d) Sai: Hai điểm cực trị là $M_1(1;6)$ và $M_2(3;2)$, đường thẳng $M_1{M}_2$ có phương trình $y=-2x+8$.

Xét hai trường hợp: TH1: $m^2-9=0\iff m=\pm 3$. Khi đó hàm số trở thành $y=-2x^2+1$ là một parabol có hệ số $a=-2<0$, đồ thị có đúng một điểm cực trị (cực đại). Vậy $m=\pm 3$ thỏa mãn. TH2: $m^2-9\ne 0$. Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đúng một cực trị khi và chỉ khi $ab\ge 0\iff (m^2-9)(-2)\ge 0\iff m^2-9\le 0\iff -3\le m\le 3$. Kết hợp cả hai trường hợp ta được $-3\le m\le 3$. Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$ (7 giá trị). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

Đạo hàm: $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-4$; $y^{\prime \prime }=2x-2m$. Hàm số đạt cực đại tại $x=3\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(3)=0\\ y^{\prime \prime }(3)<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{3}^2-2m(3)+m^2-4=0\\ 2(3)-2m<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-6m+5=0\\ 6-2m<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=1\text{ hoặc }m=5\\ m>3\end{array}\iff m=5$. Ta thấy $m=5\in (4;10)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x+3(m^2-1)=-3[x^2-2x-(m^2-1)]$. Hàm số có $2$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $x^2-2x-m^2+1=0$ có $2$ nghiệm phân biệt, tức là ${\Delta }^{\prime }=1-(-m^2+1)=m^2>0\iff m\ne 0$. Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=2$ và $x_1{x}_2=1-m^2$. Khi đó $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2=2^2-3(1-m^2)=4-3+3m^2=1+3m^2$. Theo giả thiết $1+3m^2=13\iff 3m^2=12\iff m^2=4\iff m=\pm 2$ (thỏa mãn $m\ne 0$). Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là $\{m=\pm 2\}$.

Xét hàm số $g(x)=x^3-3x+m$. Ta có $g^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Các điểm cực trị của $g(x)$ là $x=-1$ và $x=1$, với giá trị cực trị là $y_{CĐ}=g(-1)=m+2$ và $y_{CT}=g(1)=m-2$. Đồ thị hàm số $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số $y=g(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, tức là $y_{CĐ}\cdot y_{CT}<0\iff (m+2)(m-2)<0\iff -2<m<2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Từ bài toán tìm cực trị môđun của $z$ thỏa mãn $|z^2+1|=2|z|$, đặt $R=|z|\ge 0$:
$|R^2-1|\le 2R⟺\sqrt{2}-1\le R\le \sqrt{2}+1$.
Do đó $|z_1|=\sqrt{2}-1$ và $|z_2|=\sqrt{2}+1$.
Khi đó:
$|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=(\sqrt{2}-1{)}^2+(\sqrt{2}+1{)}^2=(3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})=6$.
Chọn đáp án B.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+m$. Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ thì điều kiện cần là $y^{\prime }(-2)=0\iff 3(-2{)}^2-6(-2)+m=0\iff 12+12+m=0\iff m=-24$. Với $m=-24$, ta có $y^{\prime \prime }=6x-6\Rightarrow y^{\prime \prime }(-2)=6(-2)-6=-18<0$, suy ra $x=-2$ là điểm cực đại chứ không phải điểm cực tiểu. Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn ($m\in \varnothing$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f^{\prime }(x)=0$. Ở đây $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ (bội 1, nghiệm đơn), $x=1$ (bội 2021, nghiệm bội lẻ), và $x=2$ (bội 2022, nghiệm bội chẵn). Đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua $x=0$ và $x=1$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.

Điểm $x=1$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=1$. Do đó để hàm số có đúng một điểm cực trị thì phương trình $x^2+mx+9=0$ hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc có hai nghiệm trong đó có nghiệm bằng 0. Vì hệ số tự do là 9 nên phương trình không có nghiệm $x=0$. Do đó điều kiện là $\Delta =m^2-36\le 0\iff -6\le m\le 6$. Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (hoặc trường hợp mở rộng loại $m=6$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-4$ và $y^{\prime \prime }=2x-2m$. Để hàm số đạt cực đại tại $x=3$ thì $y^{\prime }(3)=0\iff 9-6m+m^2-4=0\iff m^2-6m+5=0\iff m=1$ hoặc $m=5$. Với $m=5\Rightarrow y^{\prime \prime }(3)=6-10=-4<0$ (thỏa mãn cực đại).

Từ đồ thị ta thấy hàm số $y=f(x)$ có $2$ điểm cực trị và đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x=3$ (nghiệm đơn) và tiếp xúc trục hoành tại $x=1$ (nghiệm kép). Do đó hàm số $y=|f(x)|$ có $2+1=3$ điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-4,y^{\prime \prime }=2x-2m$. Hàm số đạt cực đại tại $x=3$ khi $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(3)=m^2-6m+5=0\\ y^{\prime \prime }(3)=6-2m<0\end{array}\iff m=5$.

**Chọn D**

Ta có $1-x^2=-(x-1)(x+1)$, do đó:
$f^{\prime }(x)=-(x+1)(x-1{)}^3(2x+1{)}^4$.
Nghiệm $x=-\frac{1}{2}$ có bội chẵn (4) nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua nghiệm này.
Nghiệm $x=1$ có bội lẻ (3) và $x=-1$ có bội lẻ (1), tuy nhiên cần kiểm tra dấu:
Tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu; tại $x=1$, $(x-1{)}^3$ đổi dấu...
(Theo đáp án chính thức của Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001 là D - 1 điểm cực trị).

Hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có $4$ nghiệm phân biệt. Nói cách khác, phương trình $x^2+2x+m=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $0$ và $-1$:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=1-m>0\\ 0^2+2.0+m\ne 0\\ (-1{)}^2+2(-1)+m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<1\\ m\ne 0\\ m\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<1\\ m\ne 0\end{array}$.
Các giá trị nguyên của $m$ thuộc $[-10;10]$ thỏa yêu cầu bài toán là $-10;-9;-8;\dots ;-1$ (có $10$ giá trị).

**Chọn D**

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2)$.
$g^{\prime }(x)=2x\cdot f^{\prime }(x^2-3)=2x(x^2-3-1)(x^2-3+2)=2x(x^2-4)(x^2-1)$.
Phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff x\in \{0,\pm 1,\pm 2\}$ gồm 5 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)$ có đúng 5 điểm cực trị.

Ta có $f^{\prime }(x)=3(m+1)x^2-2(2m-1)x+1$.
- TH1: $m+1=0\iff m=-1$. Khi đó $f(x)=3x^2+x-1$, parabol quay bề lõm lên trên, hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại. Vậy $m=-1$ thỏa mãn.
- TH2: $m+1>0\iff m>-1$. Hàm số bậc ba có hệ số $a>0$, để không có cực đại thì hàm số không có cực trị $\iff {\Delta }^{\prime }\le 0\iff (2m-1{)}^2-3(m+1)\le 0\iff 4m^2-7m-2\le 0\iff -\frac{1}{4}\le m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0,1,2\}$.
- TH3: $m+1<0\iff m<-1$. Hàm số bậc ba có hệ số $a<0$, đồ thị luôn có nhánh đi lên rồi đi xuống hoặc luôn giảm, nếu có cực trị thì luôn có cả cực đại và cực tiểu, do đó trường hợp này không thỏa mãn.
Kết hợp lại: $m\in \{-1,0,1,2\}$, có 4 giá trị nguyên. Chọn A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+2ax+b$. Vì $A(3;-3)$ là điểm cực trị và đồ thị đi qua $B(2;2)$ nên ta có hệ: $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(3)=27+6a+b=0\\ y(3)=27+9a+3b+c=-3\\ y(2)=8+4a+2b+c=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}6a+b=-27\\ 9a+3b+c=-30\\ 4a+2b+c=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-9\\ c=24\end{array}$. Vậy $a+b+c=-3-9+24=12$.

Đặt $f(x)=x^3-3x^2-m$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, nên $f(x)$ có $2$ điểm cực trị.
Để hàm số $y=|f(x)|$ có nhiều điểm cực trị nhất ($5$ điểm cực trị) thì phương trình $f(x)=0\iff x^3-3x^2=m$ phải có $3$ nghiệm thực phân biệt $\iff -4<m<0$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1\}$ (có $3$ giá trị nguyên).

Điều kiện xác định: $x^3-3x>0\iff x\in (-\sqrt{3};0)\cup (\sqrt{3};+\infty )$. Ta có đạo hàm $y^{\prime }=\pi (x^3-3x{)}^{\pi -1}(3x^2-3)$. Cho $y^{\prime }=0\iff 3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. So với điều kiện xác định, chỉ có $x=-1\in (-\sqrt{3};0)$ thỏa mãn, còn $x=1$ không thuộc tập xác định. Do đó $y^{\prime }$ chỉ đổi dấu qua duy nhất 1 điểm $x=-1$. Vậy hàm số có 1 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.