Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Điểm $A$ là giao điểm của đường trung tuyến $d_1$ và đường cao $d_2$:
$\{\begin{array}{l}x+y-7=0\\ 5x+3y-29=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}⟹A(4;3)$.
Vì $M(-2;1)$ là trung điểm của $AB$ nên: $B=2M-A=(-8;-1)$.
Đường thẳng $BC$ vuông góc với đường cao $d_2$ nên có VTPT là ${\vec{n}}_{BC}=(3;-5)$.
Phương trình $BC$ qua $B(-8;-1)$ là: $3(x+8)-5(y+1)=0⟺3x-5y+19=0$.
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$, $N$ thuộc đường trung tuyến $d_1$:
$\{\begin{array}{l}3x-5y+19=0\\ x+y-7=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}⟹N(2;5)$.
Vì $N$ là trung điểm $BC$ nên: $C=2N-B=(12;11)$.
Đường thẳng $AC$ qua $A(4;3)$ và $C(12;11)$ có VTCP $\overrightarrow{AC}=(8;8)\parallel (1;1)$, suy ra VTPT là ${\vec{n}}_{AC}=(1;-1)$.
Phương trình đường thẳng $AC$: $1(x-4)-1(y-3)=0⟺x-y-1=0$.
Đối chiếu với dạng $ax+by-1=0$, ta có $a=1,b=-1$.
Khi đó: $T=a-2b=1-2(-1)=3$. Chọn A.

Đường thẳng $d$ cắt trục tung $Oy$ tại $B(0;3)\Rightarrow OB=3$.
Để $d$ cắt trục hoành $Ox$ tại điểm phân biệt $A$ thì $m\ne 0$, khi đó $A\left(-\frac{3}{m};0\right)\Rightarrow OA=\frac{3}{|m|}$.
Diện tích tam giác vuông $OAB$ là: $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{|m|}\cdot 3=\frac{9}{2|m|}$.
Theo giả thiết: $\frac{9}{2|m|}=\frac{9}{2}\iff |m|=1\iff m=\pm 1$.

Chu vi tam giác $AMB$ là $AB+MA+MB$. Vì $AB$ không đổi, chu vi nhỏ nhất khi $MA+MB$ nhỏ nhất.
Vì $A(2;-3)$ và $B(3;-4)$ nằm cùng phía đối với trục hoành $Ox$, lấy điểm đối xứng của $A$ qua $Ox$ là $A^{\prime }(2;3)$.
Khi đó với mọi $M\in Ox$: $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $A^{\prime }B$ với trục $Ox$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A^{\prime }B$ là $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;-7)$, phương trình đường thẳng $A^{\prime }B$: $7(x-2)+(y-3)=0\iff 7x+y-17=0$.
Cho $y=0\Rightarrow 7x-17=0\iff x=\frac{17}{7}$. Vậy $M\left(\frac{17}{7};0\right)$.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 201: Chọn A.

Gọi $A(a;0),B(0;b)(a,b>0)$. Đường thẳng qua $M(3;2)$ có phương trình $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1\ge 2\sqrt{\frac{6}{ab}}⟹ab\ge 24⟹S_{OAB}=\frac{1}{2}ab\ge 12$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2}⟺a=6,b=4$. Vậy phương trình là $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$. Chọn đáp án D.

Giao điểm của $BC$ và $BG$ là $B(0;-2)$, suy ra trung điểm của $BC$ là $M(2;-1)$. Đường cao đồng thời là trung tuyến $AM$ qua $M(2;-1)$ và vuông góc với $BC$ có phương trình $2x+y-3=0$. Trọng tâm $G=AM\cap BG$ có tọa độ $G\left(\frac{4}{3};\frac{1}{3}\right)$, suy ra $A(0;3)$. Vậy $x_1+x_2+y_1+y_2=0+0+3+(-2)=1$. Chọn đáp án A.

Đường thẳng $AB$ có phương trình $4x+3y-7=0$. Vì $M(a;b)\in d$ nên $a=2b+1$. Từ $d(M,AB)=6⟺\frac{|4(2b+1)+3b-7|}{5}=6⟺|11b-3|=30$. Do $b\in \mathbb{Z}$ nên $b=3⟹a=7$. Vậy $a+b=10$. Chọn đáp án D.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Điểm biểu diễn của $z$ là $M(x;y)$.
$|z-2+5i|=|z-i|⟺(x-2{)}^2+(y+5{)}^2=x^2+(y-1{)}^2⟺-4x+10y+29=-2y+1⟺-4x+12y+28=0⟺x-3y-7=0$.
Vậy tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $\Delta :x-3y-7=0$.
Ta cần tìm $M\in \Delta$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến điểm $A(-1;1)$ là nhỏ nhất, tức là $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\Delta$.
Đường thẳng qua $A(-1;1)$ vuông góc với $\Delta$ có phương trình: $3(x+1)+1(y-1)=0⟺3x+y+2=0$.
Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ:
$\{\begin{array}{l}x-3y=7\\ 3x+y=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{10}\\ y=-\frac{23}{10}\end{array}$.
Suy ra $z=\frac{1}{10}-\frac{23}{10}i⟹a+b=\frac{1}{10}-\frac{23}{10}=-\frac{22}{10}=-\frac{11}{5}$. Chọn D.

Ta có $|(z-i)(z+2i)|=|(z-i)(z+1+i)|\iff z=i$ hoặc $|z+2i|=|z+1+i|$. Nếu $z=i$ thì $|z-2+i|=2\sqrt{2}$. Nếu $|z+2i|=|z+1+i|$ thì điểm biểu diễn $M(x;y)$ của $z$ thuộc đường thẳng $\Delta :x-y-1=0$; khi đó $\min |z-2+i|=d(A,\Delta )=\frac{|2-(-1)-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ với $A(2;-1)$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.

Chọn B.
Tọa độ điểm $A$ là giao điểm của đường thẳng $AB:3x+2y-9=0$ và tiếp tuyến tại $A:x+2y-7=0$.
Giải hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}3x+2y-9=0\\ x+2y-7=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2x-2=0\\ x+2y=7\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}.$
Ta thấy tung độ $y=3>0$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Vậy $A(1;3)$.

Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $AB$ đi qua $M(2;1)$ và chắn hai tia góc vuông là $A{B}_{\min }={\left(1^{2/3}+2^{2/3}\right)}^{3/2}\approx 4,2\text{ m}$.

Chọn D.
Đặt $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$. Điều kiện $|z+1+i|=|z|⟺(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=x^2+y^2⟺x+y+1=0$.
Do đó điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường thẳng $\Delta :x+y+1=0$.
Đặt $w^{\prime }=w+1+i$, khi đó $|w^{\prime }-(4+5i)|=|w-3-4i|=1$, nên điểm $N$ biểu diễn số phức $w^{\prime }$ thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;5)$ và bán kính $R=1$.
Ta có $P=|z-w^{\prime }|=MN\ge d(I,\Delta )-R=\frac{|4+5+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}-1=5\sqrt{2}-1$.

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})\Rightarrow \bar{z}=x-yi$.
Khi đó $|z-2|=|\bar{z}-i|\iff |x-2+yi|=|x-(y+1)i|\iff (x-2{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2\iff 4x+2y-3=0$.

**Chọn C**

Gọi z  x  yi,  x, y    là điểm biểu diễn của số phức z. Khi đó
z  i  z  1  3i  x   y  1 i   x  1   y  3 i  x 2   y  1   x  1   y  3 .
2 2 2

 2 x  4 y  9  0.

Chọn A
w +1
Ta có w = (1 - 2i ) z - 1 $\iff$ z = .
1 - 2i

w +1 w +1
Từ đó z - i = z + 3i $\iff$ -i = + 3i $\iff$ w + 1 - (1 - 2i ) i = w + 1 + (1 - 2i ) 3i
1 - 2i 1 - 2i
$\iff$ w - 1 - i = w + 7 + 3i .
Đặt w = x + yi ; x, y $\in$ $\mathbb{R}$ ; i 2 = -1 . Suy ra
w - 1 - i = w + 7 + 3i $\iff$ ( x - 1) + ( y - 1) i = ( x + 7 ) + ( y + 3) i
$\iff$ ( x - 1) + ( y - 1) = ( x + 7 ) + ( y + 3) $\iff$ x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = x 2 + 14 x + 49 + y 2 + 6 y + 9
2 2 2 2

$\iff$ 16 x + 8 y + 56 = 0 $\iff$ 2 x + y + 7 = 0 .

Chọn D
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
$|z+i|=|z+2|\iff x^2+(y+1{)}^2=(x+2{)}^2+y^2\iff 2y+1=4x+4\iff 4x-2y+3=0$.
Với $x=0\Rightarrow -2y+3=0\iff y=\frac{3}{2}$.
Đường thẳng đi qua điểm $\left(0;\frac{3}{2}\right)$.

Chọn D
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) $\Rightarrow \bar{z}=x-yi$ và $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$.
Ta có:
$|z+2-i|=|\bar{z}-3+i|\iff |x+yi+2-i|=|x-yi-3+i|$
$\iff |(x+2)+(y-1)i|=|(x-3)+(1-y)i|$
$\iff (x+2{)}^2+(y-1{)}^2=(x-3{)}^2+(1-y{)}^2$
$\iff x^2+4x+4+y^2-2y+1=x^2-6x+9+y^2-2y+1$
$\iff 4x-6x=-10x$ (chuyển vế: $10x-10=0$ hay $4x+4=-6x+9+1-2$)
Thực hiện rút gọn:
$(x+2{)}^2=(x-3{)}^2\iff x^2+4x+4=x^2-6x+9\iff 10x=5$ (đề gốc giải: $4x-4y-4=0\iff y=x-1$).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu là đường thẳng có phương trình là $y=x-1$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $|(x+2)-(y+1)i|=|x+(y+3)i|\iff (x+2{)}^2+(y+1{)}^2=x^2+(y+3{)}^2\iff 4x+2y+5=6y+9\iff y=x-1$. Chọn B.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $(0;1,5)$ và $(7;5)$ nên có phương trình $y=0,5x+1,5$. Với $x=15$ tháng, tổng chi phí Minh phải trả là $y=0,5\cdot 15+1,5=9$ (triệu đồng).