Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(1 điểm) Trong một công viên nước, người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 1 mét) để mô tả các vật thể trong không gian.

Một vòi phun nước được đặt tại điểm $M(-2;3;1)$, phun tia nước theo hướng có vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;2;3)$. Biết rằng tia nước được xem như chuyển động theo một đường thẳng. Để phục vụ trình diễn, phía trước vòi phun có một màn nước dạng phẳng (được xem như một mặt phẳng) được mô tả bởi phương trình $(\alpha ):2x-3y+z+14=0$. Gọi $N$ là điểm tia nước chạm vào màn nước. Hãy tính khoảng cách từ điểm đặt vòi phun đến điểm tia nước chạm vào màn nước (kết quả tính được làm tròn đến hàng phần mười của mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;1;3),B(-3;-1;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y-z+3=0$. Gọi điểm $M\in (\alpha )$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất, khi đó đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha )$ có phương trình là

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,AD=2a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,CD$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;4;2)$ và $B(1;1;4)$; điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng :

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;-3;4)$, đường thẳng $d:\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{-5}=\frac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):2x+z-2=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với $d$ và song song với $(P)$.

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(0;-1;-2)$ trên mặt phẳng $(\alpha ):x-y+z-2=0$ là $M^{\prime }(x_0;y_0;z_0)$. Tính $x_0+y_0+z_0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1+3t\end{array}$; $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=2+t^{\prime }\\ y=-1+2t^{\prime }\\ z=-2t^{\prime }\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+2=0$. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và cắt hai đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ có phương trình là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$. Gọi $I$ là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $MI$ vuông góc với $\Delta$ và $MI=4\sqrt{14}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-3z-2=0$. Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, cắt và vuông góc với $d$. Đường thẳng $d^{\prime }$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z+1}{1}$. Gọi đường thẳng $d^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $(P)$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d^{\prime }$ là $\vec{u}=(7;a;b)$. Tính $a-2b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3;-2;1)$ và bay theo đường thẳng để hạ cánh tại vị trí $B\left(4;\frac{13}{2};0\right)$ trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(8;0;0);N(0;-8;0);P(0;0;0,8)$. Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1+t\\ z=1-t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):m^{2}x-3y-z+3m=0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha )$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-6}{-1}=\frac{z+4}{-1}$ lên mặt phẳng $(P):x+3y-2z+1=0$. Phương trình tham số của $\Delta$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;2;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z=0$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x+y+z=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}$. Phương trình của đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt phẳng mặt đất. Một tấm liếp tre phơi bánh tráng được mô phỏng bởi đoạn thẳng $AB$ có chiều dài $3$. Đặt đầu $B$ chạm đất tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Bóng của tấm liếp trên mặt đất là đoạn $BC$, với điểm $C$ nằm trên phần dương của trục $Ox$ và có tọa độ $C(3,6;0;0)$. Biết điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oxz)$ và có cao độ dương. Góc giữa tấm liếp $AB$ và mặt đất bằng $60^{\circ }$, đồng thời $\widehat{ABC}=120^{\circ }$. Giả sử tia sáng mặt trời chiếu dọc theo đường thẳng $AC$, hãy tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=3+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+3z-2=0$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{6}$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):4y-z+3=0$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-2}{3}$, ${\Delta }_2:\frac{x+4}{5}=\frac{y+7}{9}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và cắt cả hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ có phương trình là