Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. a) $\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\cos a=-\frac{3}{5}<0$ → Đúng. b) $\cos a=-\frac{3}{5}\ne \frac{3}{5}$ → Sai. c) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$ → Đúng. d) $\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\cos a\cos \frac{\pi }{6}-\sin a\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}=-\frac{4+3\sqrt{3}}{10}\ne -\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\cos a=-\frac{3}{5}<0$ vì $a$ ở góc phần tư thứ II.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a=-\frac{3}{5}$, không phải $\frac{3}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2a=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{10}-\frac{4}{10}=-\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$, khác $-\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{22}}{5}$, ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{22}{25}=\frac{3}{25}$, nên $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$ (lấy giá trị dương vì $\sin \alpha =\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $a,b>0$). Vậy $a=3$ (số nguyên tố), $b=5$, do đó $a+2b=3+10=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in (0^{\circ };90^{\circ })$ nên $\cos \alpha >0$. Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{2}{25}=\frac{23}{25}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{23}}{5}$. Vậy $a=23$ (số nguyên tố), $b=5$, do đó $a-2b=23-10=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vì $\pi <\beta <\frac{3\pi }{2}$ nên $\beta$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \beta <0$: $\sin \beta =-\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Áp dụng công thức cộng:
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{-1}{3}\cdot \frac{-2}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}=\frac{2-2\sqrt{10}}{9}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Đúng, đây là công thức nhân đôi cosin: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$. b) Đúng, áp dụng công thức nhân đôi sin với góc $2x$: $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$. c) Sai, theo công thức góc bù $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\ne \sin x$ (ví dụ $x=0$ thì vế trái bằng 1, vế phải bằng 0). d) Sai, hằng đẳng thức đúng là ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, còn ${\sin }^{2}2x\ne {\sin }^{2}x$ nói chung (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức nhân đôi cosin: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ đúng với mọi $x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Áp dụng $\sin 2u=2\sin u\cos u$ với $u=2x$ ta được $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, không phải $\sin x$. Ví dụ $x=0$: vế trái $=1$, vế phải $=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}2x\ne 1$ nói chung. Ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 1$. Đẳng thức đúng phải là ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: B đúng vì $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$ (công thức nhân - chuyển thành tổng). C đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. D đúng vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. A sai vì công thức đúng là $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$, còn $2\cos (a+b)\cos (a-b)=\cos 2a+\cos 2b$. Ví dụ với $a=b=0$: vế trái $=2$, vế phải $=2$, nhưng với $a=\frac{\pi }{2},b=0$: vế trái $=0$, vế phải $=2\cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=0$... kiểm tra lại với $a=\frac{\pi }{3},b=0$: vế trái $=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$, vế phải $=2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{2}$. Vậy đẳng thức sai là A, trùng với đáp án nguồn (đề 1106, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi) Theo bảng đáp án mã đề 102, Phần II Câu 2: SĐĐS. a) Sai: $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$. b) Đúng: $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\cos \alpha <0$. c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$. d) Sai: $\sin 2\alpha =-\frac{24}{5}$, không bằng $-\frac{23}{5}$.
a) (AI giải đề cho tôi) Với $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ ta có $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$, $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$. Khi đó $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\sqrt{3}}{1-\tan \alpha \sqrt{3}}=\frac{-\frac{3}{4}+\sqrt{3}}{1+\frac{3\sqrt{3}}{4}}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}\ne \frac{48-5\sqrt{3}}{11}$. Vậy ý a) Sai (đáp án bảng mã đề 102: S).
b) (AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Vậy ý b) Đúng (đáp án bảng mã đề 102: Đ).
c) (AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$ và $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vậy ý c) Đúng (đáp án bảng mã đề 102: Đ).
d) (AI giải đề cho tôi) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{5}\ne -\frac{23}{5}$ (thêm nữa, $-\frac{23}{5}\notin [-1;1]$ nên không thể là giá trị của sin). Vậy ý d) Sai (đáp án bảng mã đề 102: S).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên cosα<0, cosα=−√(1−9/25)=−4/5 (d đúng, b đúng). tanα=sinα/cosα=−3/4. tan(α+π/3)=(tanα+√3)/(1−tanα√3)=(−3/4+√3)/(1+3√3/4)=(4√3−3)/(4+3√3). Nhân với (4−3√3): tử (4√3−3)(4−3√3)=25√3−48, mẫu 16−27=−11, nên tan(α+π/3)=(48−25√3)/11 ≠ (48−5√3)/11 → a sai. sin2α=2 sinα cosα=2·(3/5)(−4/5)=−24/5 ≠ −23/5 → c sai. Kết quả SĐSĐ khớp bảng đáp án mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
tanα=−3/4 nên tan(α+π/3)=(−3/4+√3)/(1+3√3/4)=(48−25√3)/11, khác (48−5√3)/11 nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π (góc ở góc phần tư thứ II) nên cosα<0.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2α=2 sinα cosα=2·(3/5)·(−4/5)=−24/5 ≠ −23/5 nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosα=−√(1−sin²α)=−√(1−9/25)=−4/5 (âm vì α ở góc phần tư II), đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$. Ta có $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. a) Sai vì $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (dấu âm). b) Sai vì $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\cdot \frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{5}}{9}\ne \sin \alpha \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{9}$. c) Đúng vì $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$. d) Đúng vì $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{15}}{6}=\frac{2+\sqrt{15}}{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Do $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV nên $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, không phải $+\frac{\sqrt{5}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{4\sqrt{5}}{9}\ne \sin \alpha \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2+\sqrt{15}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=6$ vào công thức: $B(6)=82+6\sin \left(\frac{\pi \cdot 6}{12}\right)=82+6\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=82+6\cdot 1=88$ (mmHg). Kết quả khớp với đáp án nguồn 88.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $B=\cos 0^{\circ }+\cos 20^{\circ }+\cos 40^{\circ }+\cdots +\cos 160^{\circ }+\cos 180^{\circ }$ gồm 10 số hạng cách đều $20^{\circ }$. Nhóm các cặp đối xứng qua $90^{\circ }$: $\cos 20^{\circ }+\cos 160^{\circ }=\cos 20^{\circ }-\cos 20^{\circ }=0$; tương tự $\cos 40^{\circ }+\cos 140^{\circ }=0$, $\cos 60^{\circ }+\cos 120^{\circ }=0$, $\cos 80^{\circ }+\cos 100^{\circ }=0$, và $\cos 0^{\circ }+\cos 180^{\circ }=1+(-1)=0$. Vậy $B=0$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $B=\cos 0^0+\cos 20^0+\cos 40^0+\cos 60^0+\cos 80^0+\cos 100^0+\cos 120^0+\cos 140^0+\cos 160^0+\cos 180^0$ gồm 10 số hạng. Nhóm các cặp đối xứng qua $90^0$: $\cos 20^0+\cos 160^0=\cos 20^0-\cos 20^0=0$; tương tự $\cos 40^0+\cos 140^0=0$, $\cos 60^0+\cos 120^0=0$, $\cos 80^0+\cos 100^0=0$, và $\cos 0^0+\cos 180^0=1+(-1)=0$. Vậy $B=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $A+C=180^{\circ }-B$. Do đó $\tan (A+C)=\tan (180^{\circ }-B)=-\tan B$, suy ra $\tan (A+C)+\tan B=0$ (mệnh đề A đúng). Các mệnh đề khác sai: $\cot (A+C)=-\cot B$; $\cos (A+C)=\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B$; $\sin (A+C)=\sin B$ nên tổng bằng $2\sin B\ne 0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B,C$ là ba góc của tam giác nên $A+B+C=180^{\circ }$, suy ra $A+B=180^{\circ }-C$. Do đó $\tan (A+B)=\tan (180^{\circ }-C)=-\tan C$, tức $\tan (A+B)+\tan C=0$ (mệnh đề A đúng). Kiểm tra các phương án khác: $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C\ne \cos C$ (B sai); $\sin (A+B)=\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$, nên $\sin (A+B)+\sin C=2\sin C\ne 0$ (C sai); $\cot (A+B)=\cot (180^{\circ }-C)=-\cot C\ne \cot C$ (D sai). Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=9$ vào công thức: $h=-4\sin \left(\frac{\pi \cdot 9}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+5=-4\sin \left(\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)+5=-4\sin \frac{11\pi }{6}+5$. Vì $\sin \frac{11\pi }{6}=-\frac{1}{2}$ nên $h=-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+5=2+5=7$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã 1202, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Do đó $A=3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $B+C=180^{\circ }-A$, $A+B=180^{\circ }-C$.
- A: $\sin (B+C)=\sin (180^{\circ }-A)=\sin A$ → đúng.
- B: $\tan (90^{\circ }-A)=\cot A$ → đúng.
- C: $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C$, nên $\cos (A+B)-\cos C=-2\cos C\ne 0$ (vì $C$ nhọn) → sai.
- D: $\cot A=\cot (180^{\circ }-(B+C))=-\cot (B+C)$ → đúng.
Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \alpha =\frac{1}{3}>0$ và $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\alpha$ là góc nhọn, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$. Chia tử và mẫu của $A$ cho $\sin \alpha$: $$A=\frac{3+4\cot \alpha }{2-5\cot \alpha }=\frac{3+4\cdot \frac{1}{3}}{2-5\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{13}{3}}{\frac{1}{3}}=13.$$