Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -\infty$, ta có $\sqrt{4x^2-x+9}=|2x|\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}}=-2x\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}}$ (vì $x<0$ nên $|2x|=-2x$). Do đó:
$$\sqrt{4x^2-x+9}+2x-1=-2x\left(\sqrt{1-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}}-1\right)-1.$$
Khi $x\to -\infty$, đặt $t=-\frac{1}{4x}+\frac{9}{4x^2}\to 0$, nên $\sqrt{1+t}-1\sim \frac{t}{2}=-\frac{1}{8x}+\frac{9}{8x^2}$. Khi đó:
$$-2x\left(-\frac{1}{8x}+\frac{9}{8x^2}\right)-1\to \frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}=-0,75.$$
Vậy giới hạn bằng $-0,75$, làm tròn đến hàng phần mười ta được $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{2x^2-3x+1}{x-2}=2x+1+\frac{3}{x-2}$ (kiểm tra: $(x-2)(2x+1)=2x^2-3x-2$, cộng thêm $3$ được $2x^2-3x+1$). Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{2x^2-3x+1}{x-2}-(ax+b)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[(2-a)x+(1-b)+\frac{3}{x-2}\right]$. Để giới hạn hữu hạn thì $a=2$, khi đó giới hạn bằng $1-b=2025\Rightarrow b=-2023$. Vậy $a-b=2-(-2023)=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì giới hạn hữu hạn bằng 5 khi $x\to 2$ nên tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4+2b+c=0$. Khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+bx+c}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+?)}{x-2}$, hoặc dùng đạo hàm của $x^2+bx+c$ tại $x=2$: $2\cdot 2+b=4+b=5\Rightarrow b=1$. Suy ra $c=-4-2b=-6$. Vậy $T=b+c=1-6=-5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $t$ phút, lượng nước biển bơm vào là $15t$ lít, chứa lượng muối $30\cdot 15t=450t$ (g). Thể tích nước trong hồ là $V(t)=600+15t$ (lít). Nồng độ muối trong hồ tại thời điểm $t$ là $$C(t)=\frac{450t}{600+15t}.$$ Khi $t\to +\infty$: $$\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{450t}{600+15t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{450}{\frac{600}{t}+15}=\frac{450}{15}=30.$$ Vậy nồng độ muối trong hồ sẽ tiến gần đến $30g/l$ (bằng nồng độ muối của nước biển) khi thời gian dần về dương vô cùng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -\infty$, đặt $t=-x\to +\infty$: $\sqrt{x^2+7ax+5}+x=\sqrt{t^2-7at+5}-t=t\left(\sqrt{1-\frac{7a}{t}+\frac{5}{t^2}}-1\right)\to t\cdot \left(-\frac{7a}{2t}\right)=-\frac{7a}{2}$. Theo đề $-\frac{7a}{2}=-3\Rightarrow a=\frac{6}{7}\approx 0,86$.

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+1-\sqrt[3]{x^3-x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^3+3x^2+3x+1-x^3+x}{(x+1{)}^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3-x}+\sqrt[3]{(x^3-x{)}^2}}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+4x+1}{(x+1{)}^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3-x}+\sqrt[3]{(x^3-x{)}^2}}$

$\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\left(\frac{1}{x}+1\right)\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}}+\sqrt[3]{{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}^2}}\right)=\frac{3}{1+1+1}=1$

(Lưu ý: bản giải in trong đề ghi tử số chia cho $x^2$ là $3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}$, tuy nhiên từ $3x^2+4x+1$ ta phải có $3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}$; kết quả cuối $\lim =1$ không đổi.)

2. Với $x>1$: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^2-1}=\frac{2x-1-x^2}{(x^2-1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\frac{-1}{\sqrt{2x-1}+x}$ (với $x>1$).

Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{\sqrt{1}+1}=-\frac{1}{2}$.

(Bản giải in trong đề viết $f(x)=\frac{2x-1-x^2}{x^2-1}=\frac{-(x-1)}{x+1}$, bỏ qua nhân tử $\sqrt{2x-1}+x$; tuy nhiên giá trị $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=0$ được dùng ở đó và điều kiện liên tục vẫn cho $m=5$. Theo phép tính đúng ở trên, giới hạn trái tại $x=1$ là $5.1^2-m=5-m$ và giới hạn phải là $-\frac{1}{2}$, suy ra liên tục khi $m=\frac{11}{2}$. Vì bản giải chính thức của đề kết luận $m=5$ nên giữ nguyên kết quả chính thức $m=5$ và ghi nhận mâu thuẫn này.)

Để $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, theo bản giải chính thức: $\frac{-(1-1)}{1+1}=5.1^2-m\Rightarrow m=5$.

3.
Dễ dàng nhận thấy $S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},S_2=\frac{3a^2\sqrt{3}}{16},S_3=\frac{9a^2\sqrt{3}}{64}\Rightarrow S_1,S_2,S_3,\dots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},q=\frac{3}{4}\Rightarrow S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{3}{4}}=a^2\sqrt{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước trong bể sau $t$ phút: $V(t)=5000+15t$ (lít). Lượng muối bơm vào mỗi phút là $40\cdot 15=600$ gam, nên khối lượng muối trong bể là $S(t)=600t$ (gam). Do đó $C(t)=\frac{600t}{5000+15t}$. Khi đó $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{600t}{5000+15t}=\frac{600}{15}=40$ (gam/lít).

a) ${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}(x^2-5x+4)=10$. Vậy a sai

b) ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{\sqrt{x}-2}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-1)(x-4)\left(\sqrt{x}+2\right)}{x-4}={\lim }_{x\to 4}(x-1)\left(\sqrt{x}+2\right)=12$. Vậy b đúng.

c) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2-5x+4}}{ax+b}=-\frac{1}{a}$. Vậy c sai

d) Để $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=4$ thì $ax+b$ có nghiệm bằng $4\iff 4a+b=0\iff b=-4a$; $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{(x-4)(x-1)}{a(x-4)}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{(x-1)}{a}=\frac{3}{a}=4\iff a=\frac{3}{4}\Rightarrow b=-3\Rightarrow 4a+2b=-3$. Vậy d đúng.
a) ${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}(x^2-5x+4)=10$. Vậy a sai
b) ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{\sqrt{x}-2}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-1)(x-4)\left(\sqrt{x}+2\right)}{x-4}={\lim }_{x\to 4}(x-1)\left(\sqrt{x}+2\right)=12$. Vậy b đúng.
c) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2-5x+4}}{ax+b}=-\frac{1}{a}$. Vậy c sai
d) Để ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{ax+b}=4$ thì $ax+b$ có nghiệm bằng $4\iff 4a+b=0\iff b=-4a$; ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)}{ax+b}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-4)(x-1)}{a(x-4)}={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-1)}{a}=\frac{3}{a}=4\iff a=\frac{3}{4}\Rightarrow b=-3\Rightarrow 4a+2b=-3$. Vậy d đúng.

a) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0-3.0+2=2$ đúng

b) ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x-1)=1$. Vậy ý b sai.

c) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{ax+b}=\frac{1}{a}$ đúng

d) Để $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=2$ thì $ax+b$ có nghiệm bằng $2\iff 2a+b=0\iff b=-2a$; khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x-1)}{a(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{a}=\frac{1}{a}=2\iff a=\frac{1}{2}\Rightarrow b=-1$. Vậy $a+b=-\frac{1}{2}$, ý d sai.
a) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0-3.0+2=2$ đúng
b) ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x-1)=1$. Vậy ý b sai.
c) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{ax+b}=\frac{1}{a}$ đúng
d) Để $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=2$ thì:
+ $ax+b$ có nghiệm bằng $2\iff 2a+b=0\iff b=-2a$.
+ Khi đó: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{ax+b}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x-1)}{a(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{a}=\frac{1}{a}=2\iff a=\frac{1}{2}\Rightarrow b=-1$.
Vậy $a+b=-\frac{1}{2}$, ý d sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II), mã đề 2103, đáp án SSDD.
a) Khi $x\to -\infty$: $\sqrt{4x^2+1}=|2x|\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}=-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$ (vì $x<0$). Do đó $f(x)=\frac{-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}}{2x+1}=\frac{-2\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}}{2+\frac{1}{x}}\to \frac{-2}{2}=-1$. Vậy mệnh đề ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ là SAI.
b) Khi $x\to +\infty$: $f(x)=\frac{2\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}}{2+\frac{1}{x}}\to 1$ và $g(x)=\frac{2x}{2x+3}=\frac{2}{2+\frac{3}{x}}\to 1$, nên ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{1}=1\ne -1$. Mệnh đề SAI.
c) ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)={\lim }_{x\to -\infty }\frac{2}{2+\frac{3}{x}}=1$. Mệnh đề ĐÚNG.
d) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(f(x)-g(x)\right)=-1-1=-2$. Mệnh đề ĐÚNG.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng — khớp đáp án SSDD của mã đề 2103.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x<0$ nên $\sqrt{4x^2+1}=-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$, suy ra $f(x)\to \frac{-2}{2}=-1\ne 1$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=1$ nên tỉ số bằng $1\ne -1$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\frac{2}{2+\frac{3}{x}}\to 1$ khi $x\to -\infty$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ và ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=1$ nên hiệu bằng $-2$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình mỗi sản phẩm là $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=5+\frac{12}{x}$ (với $x>0$). Khi $x$ tăng thì $\frac{12}{x}$ giảm nên $\overline{C}(x)$ giảm dần và tiến tới giới hạn ${\lim }_{x\to +\infty }\left(5+\frac{12}{x}\right)=5$. Vậy chi phí trung bình luôn lớn hơn $5$ nhưng không bao giờ vượt quá (tiệm cận) giá trị $5$ triệu đồng, tức giá trị nhỏ nhất của $a$ là $5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, câu 17: 5).

a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng

(AI giải đề cho tôi)
Nhân tử liên hợp: $\sqrt{x^2+bx+1}+x=\frac{bx+1}{\sqrt{x^2+bx+1}-x}$. Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2}=|x|=-x$): $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{b+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}=\frac{b}{-1-1}=-\frac{b}{2}$. Theo đề $-\frac{b}{2}=5\Rightarrow b=-10$. Khớp với đáp án nguồn (-10).

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+ax-3}+x=\frac{ax-3}{\sqrt{x^2+ax-3}-x}$. Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2+ax-3}\sim -x$ nên mẫu số $\sim -x-x=-2x\to +\infty$. Do đó giới hạn bằng $\frac{a}{-2}$. Theo đề, $\frac{a}{-2}=3\Rightarrow a=-6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-6).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\lim u_n=\lim \frac{2n^2+1}{n^2+n-2025}=2$, nên $a=2$. Còn $\lim v_n=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$, nên $b=0$.
- a) Với $x\to -\infty$: $\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+1/x^2}=-x\sqrt{4+1/x^2}$ (vì $x<0$), nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-1}=\lim \frac{-x\sqrt{4+1/x^2}}{x-1}=-2\ne a=2$. Mệnh đề Sai.
- b) $a=2$: Đúng.
- c) $b=0<2=a$: Đúng.
- d) Tại $x=b=0$: mẫu $x^2-5x+6=6\ne 0$, hàm $f(x)=\frac{3x+2}{x^2-5x+6}$ là hàm phân thức xác định và liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0, nên liên tục tại $x=0$. Đúng.
Khớp đáp án mã đề 1101: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to -\infty$ nên $\sqrt{4x^2+1}=-x\sqrt{4+1/x^2}$, giới hạn bằng $-2\ne a=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{2n^2+1}{n^2+n-2025}=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$b=0<2=a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=b=0$, mẫu số $x^2-5x+6=6\ne 0$ nên hàm phân thức liên tục tại đó.

Chọn B
Nếu $a\le 0$ thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-3x+1}-(ax+b)\right)=+\infty$.
Xét $a>0$, ta có
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-3x+1}-(ax+b)\right)=0\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\left(\sqrt{4x^2-3x+1}-ax\right)-b\right)=0$$
$$\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{4x^2-3x+1-a^2{x}^2}{\sqrt{4x^2-3x+1}+ax}-b\right)=0\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\left(4-a^2\right)x^2-3x+1}{\sqrt{4x^2-3x+1}+ax}-b\right)=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}4-a^2=0\\ a>0\\ \frac{-3}{2+a}-b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-\frac{3}{4}.\end{array}$$
Vậy $a-4b=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Để giới hạn tồn tại (dạng 0/0), tử số tại $x=1$ phải bằng 0: $\sqrt{1+a}+\sqrt{2-b}=3$. Đặt $u=\sqrt{1+a},v=\sqrt{2-b}$ thì $u+v=3$. Áp dụng quy tắc L'Hôpital (hoặc đạo hàm): $L=\frac{1}{2u}+\frac{2}{2v}=\frac{1}{2u}+\frac{1}{v}=\frac{5}{4}$. Suy ra $\frac{v+2u}{2uv}=\frac{5}{4}\Rightarrow 4(v+2u)=10uv$. Thay $v=3-u$: $4(3+u)=10u(3-u)\Rightarrow 10u^2-26u+12=0\Rightarrow 5u^2-13u+6=0\Rightarrow u=2$ hoặc $u=\frac{3}{5}$. Với $u=\frac{3}{5}$ thì $a=u^2-1=-\frac{16}{25}$ không nguyên, loại. Với $u=2,v=1$: $a=4-1=3$, $b=2-1=1$ (đều nguyên). Vậy $S=a+b=4$. Đáp án B.

Đáp án theo bảng đáp án mã 112: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (SDSS). Nguồn không kèm lời giải chi tiết cho phần này.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khi x→-∞, √(x²+2) = -x√(1+2/x²), nên f(x) = (3x + x√(1+2/x²))/(x+4) = (3+√(1+2/x²))/(1+4/x) → 4. Đúng.
b) g(x) = (x+2)(x+3)/(x+2) = x+3 với x≠-2, nên lim_{x→2} g(x) = 5 ≠ -5. Sai.
c) Cần h(2) = lim_{x→2} g(x) = 5, tức m + f(2) = 5 với f(2) = (6-√6)/6. Suy ra m = 5 - (6-√6)/6 = (24+√6)/6. Đúng.
d) Với x→-∞: √(x²+ax+5) + x = (ax+5)/(√(x²+ax+5) - x) → a/(-1-1) = -a/2. Để -a/2 = -6 thì a = 12. Phương trình x²+11x-12=0 có nghiệm x = 1 hoặc x = -12, không có nghiệm 12. Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án DSDS của mã đề 111.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với x→-∞, √(x²+2) = -x√(1+2/x²), do đó f(x) = (3+√(1+2/x²))/(1+4/x) → 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x) = (x+2)(x+3)/(x+2) = x+3 với x≠-2, nên lim_{x→2} g(x) = 5 ≠ -5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=2 yêu cầu m + f(2) = 5, với f(2) = (6-√6)/6, suy ra m = (24+√6)/6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bằng -a/2 = -6 nên a = 12; nghiệm của x²+11x-12=0 là 1 và -12, không phải 12.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-27}{x-3}=9$ và $f$ là đa thức suy ra $f(3)=27$, $f^{\prime }(3)=9$. Đặt $g(x)=2f(x)-19x+3$ thì $g(3)=54-57+3=0$ và $g^{\prime }(3)=2f^{\prime }(3)-19=18-19=-1$, nên $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{g(x)}{x-3}=-1$. Mặt khác $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x(x-3)}=\frac{x-1}{x(x-3)}$. Do đó $L=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{g(x)}{x-3}\cdot \frac{x-1}{x}=(-1)\cdot \frac{3-1}{3}=-\frac{2}{3}$. Vậy chọn đáp án C.