Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):ax+by+cz-1=0$ đi qua $A(0;0;1)$ nên $c-1=0\Rightarrow c=1$; đi qua $B(1;0;0)$ nên $a-1=0\Rightarrow a=1$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}=(0;1;0)$. Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos 45^{\circ }=\frac{|b|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2+b^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $2b^2=2+b^2\Rightarrow b^2=2$, vì $b<0$ nên $b=-\sqrt{2}$. Vậy $a+b+2c=1-\sqrt{2}+2=3-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(2;1;1) vào (α): 2+2·1−3·1+2=3≠0 nên A không thuộc (α) → Sai. b) n_α=(1;2;−3), n_β=(1;0;2) không cùng tỉ số nên (α) không song song (β) → Sai. c) n_β·n_γ=1·4+0·(−3)+2·(−2)=0? Tính lại: 4+0−4=0... kiểm tra: n_β=(1;0;2), n_γ=(4;−3;−2), tích vô hướng 1·4+0·(−3)+2·(−2)=4−4=0, vậy (β) vuông góc (γ) → Đúng. d) (P) vuông góc với (α),(γ) nên n_P=[n_α,n_γ]=(2·(−2)−(−3)(−3); (−3)·4−1·(−2); 1·(−3)−2·4)=(−13;−10;−11) ∝ (13;10;11). Qua A(2;1;1): 13·2+10·1+11·1=47, nên (P): 13x+10y+11z−47=0 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(2;1;1): 2+2−3+2=3≠0, A không thuộc (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
n_α=(1;2;−3) và n_β=(1;0;2) không cùng tỉ lệ nên hai mặt phẳng không song song.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_β·n_γ=1·4+0·(−3)+2·(−2)=4−4=0 nên (β)⊥(γ).
d) (AI giải đề cho tôi)
n_P=[n_α,n_γ]=(−13;−10;−11)∝(13;10;11); qua A(2;1;1) có 13·2+10·1+11·1=47 nên (P): 13x+10y+11z−47=0.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình d có u=(2;1;6), từ (P) có n=(1;1;-5). b) Đúng: M(-1;-1;-5) là điểm trên d (thay vào d thỏa mãn), mà d⊂(Q) nên M∈(Q). c) Sai: pháp tuyến của (Q) là u×n_P = (2;1;6)×(1;1;-5) = (-11;16;1). Kiểm tra (1;-11;16): tích có hướng với u bằng (2·16-6·(-11); 6·1-2·16; 2·(-11)-1·1) = (98;-26;-23) ≠ 0 nên không vuông góc với u, không thể là pháp tuyến của (Q). d) Đúng: (Q): -11x+16y+z+10=0. Vectơ chỉ phương của d' = n_P×n_Q = (1;1;-5)×(-11;16;1) = (81;54;27) ∝ (3;2;1). Điểm (1;0;1) thỏa cả hai phương trình: (P): 1+0-5+4=0; (Q): -11+0+1+10=0. Vậy d': x=1+3t, y=2t, z=1+t đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình d: (x+1)/2=(y+1)/1=(z+5)/6 suy ra u=(2;1;6). Từ (P): x+y-5z+4=0 suy ra n=(1;1;-5).
b) (AI giải đề cho tôi)
M(-1;-1;-5) thỏa phương trình d nên M∈d⊂(Q), do đó M∈(Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (Q) là u×n_P=(2;1;6)×(1;1;-5)=(-11;16;1). Vectơ (1;-11;16) không vuông góc với u=(2;1;6) vì 2-11+96=87≠0, nên không phải pháp tuyến của (Q).
d) (AI giải đề cho tôi)
(Q): -11x+16y+z+10=0. Chỉ phương d' = n_P×n_Q ∝ (3;2;1). Điểm (1;0;1) thuộc cả (P) và (Q), nên d': x=1+3t, y=2t, z=1+t.

(AI giải đề cho tôi)
(P) có vectơ pháp tuyến n1=(1;2;-2), |n1|=3. (Q) có n2=(1;m;m-1), |n2|=√(1+m²+(m-1)²)=√(2m²-2m+2).
a) m=1: n2=(1;1;0), cos = |1+2-0|/(3√2)=1/√2 ⇒ góc bằng 45°, không phải 30° ⇒ Sai.
b) H là hình chiếu của O xuống (R) ⇒ n_R = OH = (2;2;1), (R) qua H: 2x+2y+z=9. cos((P),(R)) = |2+4-2|/(3·3) = 4/9 ⇒ Đúng.
c) cos60° = |1+2m-2(m-1)|/(3√(2m²-2m+2)) = 1/√(2m²-2m+2) = 1/2 ⇒ 2m²-2m+2=4 ⇔ m²-m-1=0 ⇒ m1+m2 = 1 ≠ -1 ⇒ Sai.
d) cos góc = 1/√(2m²-2m+2) lớn nhất khi 2m²-2m+2 nhỏ nhất, tức m=1/2 (không phải m=1). Tại m=1 góc bằng 45°, không phải nhỏ nhất ⇒ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
m=1: cos = 3/(3√2)=1/√2 ⇒ góc 45° ≠ 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
(R): 2x+2y+z-9=0, cos = |2+4-2|/9 = 4/9.
c) (AI giải đề cho tôi)
m²-m-1=0 ⇒ m1+m2 = 1 ≠ -1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhỏ nhất khi m = 1/2, không phải m = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba vị trí thả dây dọi trên mặt nước là A, B, C với độ sâu tương ứng 4; 4,4; 4,8 m. Vì ba vị trí đối nhau từng cặp một khoảng 2 m nên tam giác ABC đều cạnh 2 m. Chọn hệ trục: A(0;0;4), B(2;0;4,4), C(1;√3;4,8). Mặt phẳng đáy bể qua ba điểm này có dạng z = ax + by + c. Từ A và B: a = (4,4 − 4)/2 = 0,2. Từ A và C: a·1 + b·√3 = 0,8 ⇒ b = 0,6/√3 = √3/5 ≈ 0,3464. Góc α giữa đáy bể và mặt phẳng ngang thỏa tan α = √(a² + b²) = √(0,04 + 0,12) = √0,16 = 0,4. Vậy α = arctan(0,4) ≈ 21,8°. Kết quả khớp với đáp án nguồn 21,8.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q):5x+by+cz=0$ qua $A(2;-1;3)$ nên $10-b+3c=0$. Vuông góc với $(P)$ nên $(5;b;c)\cdot (2;-2;1)=0\Rightarrow 10-2b+c=0$. Giải hệ: $b=10+3c$, thay vào: $10-2(10+3c)+c=0\Rightarrow -10-5c=0\Rightarrow c=-2$, $b=4$. Vậy $bc=4\cdot (-2)=-8$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(B^{\prime }C{D}^{\prime })$ song song với nhau và vuông góc với đường chéo $A{C}^{\prime }$, chia đường chéo $A{C}^{\prime }$ thành ba đoạn bằng nhau.
Độ dài đường chéo hình lập phương: $A{C}^{\prime }=3\sqrt{3}$.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này là: $d=\frac{A{C}^{\prime }}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$. Vì $A,B\in (Q)$ nên ${\vec{n}}_Q\perp \overrightarrow{AB}\iff -1+2a+b=0\iff b=1-2a$.
Khi đó ${\vec{n}}_Q=(1;a;1-2a)$. VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(2;-1;-2)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$:
$\cos \alpha =\frac{|2(1)-a-2(1-2a)|}{3\sqrt{1+a^2+(1-2a{)}^2}}=\frac{|3a|}{3\sqrt{5a^2-4a+2}}=\frac{|a|}{\sqrt{5a^2-4a+2}}$.
Góc $\alpha$ nhỏ nhất khi $\cos \alpha$ lớn nhất. Khảo sát hàm số ta tìm được giá trị lớn nhất đạt được khi $a=1$, suy ra $b=1-2(1)=-1$.
Vậy $a+b=1+(-1)=0$.

Ta có $A(-3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;4)$, suy ra $(ABC):\frac{x}{-3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1\iff 4x-6y-3z+12=0$. Mặt phẳng song song với $(ABC)$ là $4x-6y-3z-12=0$.

Ta có $A(-1;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2)$, suy ra phương trình $(ABC):\frac{x}{-1}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1\iff 6x-2y-3z+6=0$. Mặt phẳng song song với $(ABC)$ là $6x-2y-3z+12=0$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A\equiv O(0;0;0)$, các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt chứa các cạnh $AB,AD,A{A}^{\prime }$ với độ dài cạnh hình lập phương bằng 1.
Khi đó: $D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(1;1;1)$.
Ta có $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0;-1;1)$, $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=(1;-1;1)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(1;0;1)$.
Vectơ pháp tuyến của $(D{A}^{\prime }{B}^{\prime })$ là ${\vec{n}}_1=[\overrightarrow{D{A}^{\prime }},\overrightarrow{D{B}^{\prime }}]=(0;1;1)$.
Vectơ pháp tuyến của $(D{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là ${\vec{n}}_2=[\overrightarrow{D{C}^{\prime }},\overrightarrow{D{B}^{\prime }}]=(1;0;-1)$.
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha$. Ta có:
$\cos \alpha =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|0\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot (-1)|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}⟹\alpha =60^{\circ }$. Chọn B.

Chọn D.
Gọi $C(0;c;0)\in Oy$ ($c\ne 0$).
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{c}+\frac{z}{1}=1⟺x+\frac{1}{c}y+z-1=0$.
Vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là ${\vec{n}}_1=\left(1;\frac{1}{c};1\right)$.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_2=(2;-2;-1)$.
Ta có $\cos 45^{\circ }=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|2-\frac{2}{c}-1|}{\sqrt{1+\frac{1}{c^2}+1}\cdot \sqrt{4+4+1}}=\frac{|1-\frac{2}{c}|}{3\sqrt{2+\frac{1}{c^2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$⟺2{\left(1-\frac{2}{c}\right)}^2=9\left(2+\frac{1}{c^2}\right)⟺2-\frac{8}{c}+\frac{8}{c^2}=18+\frac{9}{c^2}⟺\frac{1}{c^2}+\frac{8}{c}+16=0⟺{\left(\frac{1}{c}+4\right)}^2=0⟺c=-\frac{1}{4}$.
Vậy $C\left(0;-\frac{1}{4};0\right)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O(0;0;0)$, $B^{\prime }(2;0;0)$, $C^{\prime }(0;2;0)$ và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên. Khi đó $A(0;0;1,4)$, $B(2;0;1,5)$, $C(0;2;2,5)$, suy ra $\overrightarrow{AB}=(2;0;0,1)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;2;1,1)$. Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=-\frac{1}{0,2}[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;11;-20)$. Góc $\alpha$ giữa mặt phẳng $(ABC)$ và mặt sàn $(Oxy)$ có $\cos \alpha =\frac{|-20|}{\sqrt{1^2+11^2+(-20{)}^2}}=\frac{20}{\sqrt{522}}⟹\alpha \approx 28,9^{\circ }$.

Chọn B.
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;1;1)$, của $(\beta )$ là ${\vec{n}}_{\beta }=(1;-1;1)$.
Vectơ pháp tuyến của $(R)$ là $[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{n}}_{\beta }]=(2;0;-2)\parallel (1;0;-1)$.
Phương trình mặt phẳng $(R)$ có dạng $x-z+D=0$.
Khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến $(R)$ bằng $2$:
$\frac{|D|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}=2⟺\frac{|D|}{\sqrt{2}}=2⟺|D|=2\sqrt{2}⟺D=\pm 2\sqrt{2}.$
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là $x-z+2\sqrt{2}=0$ và $x-z-2\sqrt{2}=0$.

Nóc nhà nằm trên giao tuyến $\Delta =(P)\cap (Q)$. Trừ vế theo vế phương trình của $(P)$ và $(Q)$ ta được $-4y+4z-16=0⟺y-z+4=0$, suy ra mọi điểm $M(x;y;z)\in \Delta$ đều thỏa mãn $y-z=-4$ (tức $\Delta \parallel (\alpha )$). Chiều cao từ nóc nhà đến sàn nhà $(\alpha ):y-z-5=0$ là $h=\frac{|-4-5|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}\approx 6,36\text{ m}$.

Gọi $(P):4x-4y+2z-1=0$ và $(Q):2x-2y+z+1=0\iff 4x-4y+2z+2=0$.
Vì $(P)\parallel (Q)$ nên độ dài cạnh hình lập phương bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
$a=d((P),(Q))=\frac{|-1-2|}{\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$
Thể tích khối lập phương là $V=a^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$.
Chọn B.

Hai mặt phẳng $(P):x+y-2z+7,5=0$ và $(R):x+y-2z=0$ song song với nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng $(Q)$. Do đó độ rộng của bức tường thuộc mặt phẳng $(Q)$ bằng khoảng cách giữa $(P)$ và $(R)$: $d((P),(R))=\frac{7,5}{\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{7,5}{\sqrt{6}}\approx 3,1\text{ m}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

Gọi $d=(\alpha )\cap (\beta )$.
Các vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ là ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;2;1)$ và ${\vec{n}}_{\beta }=(1;-1;-1)$.
Vectơ chỉ phương của giao tuyến $d$ là:
${\vec{u}}_d=[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{n}}_{\beta }]=(2(-1)-1(-1);1(1)-1(-1);1(-1)-2(1))=(-1;2;-3)$, cùng phương với $(1;-2;3)$.

Tìm một điểm thuộc giao tuyến: cho $z=0$, ta có hệ:
$\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ x-y=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3y=3\\ x=y-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$
Vậy điểm $M(-1;1;0)\in d$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $M(-1;1;0)$ với VTCP $(1;-2;3)$ là:
$\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1-2t\\ z=3t\end{array}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 3 (Phần 3, câu 19) có đáp số là $3,9$.

Hai mặt phẳng $(P):2x+2y-4z+2=0$ và $(R):2x+2y-4z+21=0$ song song với nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng $(Q):x+y+z-5=0$. Do đó độ rộng của bức tường thuộc mặt phẳng $(Q)$ bằng khoảng cách giữa $(P)$ và $(R)$: $d((P),(R))=\frac{|21-2|}{\sqrt{2^2+2^2+(-4{)}^2}}=\frac{19}{2\sqrt{6}}\approx 3,9\text{ (m)}$.