Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $t=60$ nên ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=20+4\cdot 60=260$ và ${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=m-2\cdot 60=m-120$. Liên tục yêu cầu $m-120=260\Rightarrow m=380$. Khớp với đáp án nguồn 380.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $t=60$ nên giới hạn trái và giới hạn phải phải bằng nhau: ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=20+4\cdot 60=260$ và ${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=m-2\cdot 60=m-120$. Suy ra $m-120=260\Rightarrow m=380$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $380$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2+2x-8}{x-2}=\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}=x+4$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=6$. Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $f(2)=a^2\cdot 2+4=6\iff a^2=1\iff a=\pm 1$. Giá trị nhỏ nhất của $a$ là $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^2+x-4}{x-1}& \text{khi }x>1\\ m+2& \text{khi }x\le 1\end{array}$ liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=m+2$.

Tính giới hạn phải: với $x>1$, phân tích tử số $3x^2+x-4=(x-1)(3x+4)$ (kiểm tra: $(x-1)(3x+4)=3x^2+4x-3x-4=3x^2+x-4$ đúng).

Do đó:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(3x+4)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(3x+4)=7.$$

Giá trị tại $x=1$: $f(1)=m+2$ (trên $(-\infty ,1]$ hàm hằng nên giới hạn trái cũng bằng $m+2$).

Điều kiện liên tục: $m+2=7\Rightarrow m=5$.

Vậy $m=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(2)$.

**Giới hạn trái:** với $x<2$, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, do đó
$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}=\frac{1}{2-3}=-1.$$

**Giới hạn phải và giá trị tại điểm:**
$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=m\sqrt{2^2+5}=3m.$$

**Điều kiện liên tục:** $3m=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{3}$.

Vậy $m=-\frac{1}{3}$ thì hàm số liên tục tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=3$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=m$.

Tính giới hạn (với $x\ne 3$, nhân liên hợp):
$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(3-x)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{(\sqrt{x+1}-2)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(3-x)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x+1-4}$$
$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }-\left(\sqrt{x+1}+2\right)=-\left(\sqrt{4}+2\right)=-4.$$

Vậy để hàm số liên tục tại $x_0=3$ thì $m=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{5x-10}$ khi $x\ne 2$ và $y=m$ khi $x=2$.

Với $x\ne 2$: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ và $5x-10=5(x-2)$, nên $y=\frac{(x-1)(x-2)}{5(x-2)}=\frac{x-1}{5}$.

Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }y=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{5}=\frac{2-1}{5}=\frac{1}{5}$.

Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi $y(2)=\underset{x\to 2}{\lim }y$, tức $m=\frac{1}{5}$.

Vậy $m=\frac{1}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-x-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+1=3$. Vậy $m=3$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: $f(x)=x^2+1$ nên $f(1)=2$ (A đúng).
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x^2+1)=1$$
(B đúng).
Tại $x=-1\le 0$, $f(x)=x$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=-1$ (C đúng).
Tại $x=0$: $f(0)=0$,
$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1,$$
hai giới hạn một bên khác nhau nên $f$ không liên tục tại $x=0$ (D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}T(x)=a=10000$, suy ra $a=10000$. Hàm liên tục tại $x=30$: $b+(30-30)\cdot 11000=a+(30-1)\cdot 13000$, suy ra $b=10000+29\cdot 13000=10000+377000=387000$. Vậy $\frac{b}{a}=\frac{387000}{10000}=38,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)$.

Ta có:
- $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2+x)=1^2+1=2$.
- $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(m^{2}x+2)=m^2+2$.
- $f(1)=2$.

Để hàm liên tục tại $x=1$ thì $m^2+2=2\iff m^2=0\iff m=0$.

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{x}{x+1}$ có mẫu số bằng 0 tại $x=-1$, nên không xác định (không liên tục) tại $x=-1\in \mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x}{x^2+x+2}$ có $x^2+x+2>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =1-8=-7<0$) nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=x^2+6x+20$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên (0;200) và (200;+∞) vì là hàm đa thức. Chỉ cần xét tính liên tục tại x=200. Điều kiện liên tục: lim_{x→200⁻} P(x) = lim_{x→200⁺} P(x) = P(200). Ta có lim_{x→200⁻} P(x) = 4,5·200 = 900 và lim_{x→200⁺} P(x) = 3·200 + a = 600 + a. Suy ra 600 + a = 900, tức a = 300. Kiểm tra: với a = 300, P(200) = 900 khớp cả hai giới hạn, hàm liên tục trên (0;+∞). Kết quả trùng với đáp án nguồn (300).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $P(x)$ liên tục trên $(0;200]$ và $(200;+\infty )$. Chỉ cần liên tục tại $x=200$: ${\lim }_{x\to 200^{-}}P(x)=4,5\cdot 200=900$ và ${\lim }_{x\to 200^{+}}P(x)=3\cdot 200+a=600+a$. Liên tục tại $x=200$ đòi hỏi $600+a=900\Rightarrow a=300$. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 3 = 300).

(AI giải đề cho tôi)
Tại $t=70$: $T(70)=20+4\cdot 70=300^{\circ }C$ nên a đúng. $\underset{t\to 70^{+}}{\lim }T(t)=440-2\cdot 70=300$, không phải 440 nên b sai. $\underset{t\to 70^{-}}{\lim }T(t)=20+4\cdot 70=300$ nên c đúng. Vì lim trái = lim phải = $T(70)=300$ nên hàm liên tục tại $t=70$, do đó $T(t)$ liên tục trên $[0,120]$, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(70)=20+4\cdot 70=300^{\circ }C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 70^{+}}{\lim }T(t)=440-2\cdot 70=300\ne 440$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 70^{-}}{\lim }T(t)=20+4\cdot 70=300$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $t=70$ vì hai giới hạn một phía bằng $T(70)=300$, nên liên tục trên $[0,120]$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-\infty ;2)$ hàm số liên tục (đường cong parabol đi qua điểm $(-1;0)$, có điểm rời ở $(0;3)$ nhưng vẫn liên tục tại $x=0$ vì đường cong đi qua đó). Tại $x=2$, giới hạn trái ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=3$ (đường cong đi tới điểm có tung độ 3), còn với $x>2$ đồ thị là đường ngang ở mức thấp hơn, nên ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)\ne 3$. Giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=2$ không bằng nhau nên hàm số không liên tục tại $x=2$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Với x≠5, f(x)=(x²−25)/(x−5)=x+5 là hàm đa thức nên liên tục trên (−∞;5) và (5;+∞) → a đúng. lim(x→5) f(x)=lim(x→5)(x+5)=10≠0 → b sai. Hàm liên tục trên R ⟺ f(5)=2m+4=10 ⟺ m=3, không phải m=4 → c sai. Tại x=2≠5, f(x)=x+5 liên tục với mọi m → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với x≠5, f(x)=x+5 là hàm đa thức, liên tục trên (−∞;5) và (5;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
lim(x→5) f(x)=lim(x→5)(x+5)=10≠0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục trên R khi 2m+4=10 ⟺ m=3, không phải m=4.
d) (AI giải đề cho tôi)
x=2≠5 nên f(x)=x+5 liên tục tại x=2 với mọi m.

Ta có: Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$

${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$ và $f(1)=2$.

Suy ra hàm số đã cho liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$. Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=1-2=-1$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $f(1)=m+1=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-1$, suy ra $m=-2$.