Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $(0;4)$ và $(4;+\infty )$ với mọi $m,n$. Chỉ cần xét tính liên tục tại $x=0$ và $x=4$.

Tại $x=0$: hàm liên tục phải có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=f(0)=m$. Ta có
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{4-(4-x)}{x\left(2+\sqrt{4-x}\right)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{1}{4}.$$
Vậy $m=\frac{1}{4}$.

Tại $x=4$: hàm liên tục phải có $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=f(4)$. Ta có
$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2},\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{n}{x}=\frac{n}{4},f(4)=\frac{n}{4}.$$
Do đó $\frac{n}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow n=2$.

Kết luận: $m=\frac{1}{4},n=2$. Khi đó hàm số liên tục trên nửa khoảng $[0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=a$.

Tính giới hạn (với $x\to 1$, $x\ne 1$):
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+1}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-(3x+1)}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-2x}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}\right)}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}}=\frac{-2}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Vậy để hàm số liên tục tại $x_0=1$ thì $a=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(1)=\frac{1}{16}$. Xét giới hạn tại $x_0=1$: với $x\to 1$, cả tử và mẫu đều tiến về 0 nên nhân với liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+15}-4}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+15)-16}{(x^2-1)(\sqrt{x+15}+4)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+15}+4)}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+15}+4)}=\frac{1}{2\cdot 8}=\frac{1}{16}.$$
Vì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{1}{16}=f(1)$, hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Với $x\ne 3$ và $x\ne -3$, mẫu $x^3+27\ne 0$ nên phân thức xác định. Tại $x=3$: $f(3)=\frac{9-9}{27+27}=0$ xác định. Tại $x=-3$: $f(-3)=a-\frac{11}{9}$ xác định. Vậy $f$ xác định trên $\mathbb{R}$.

b) Đúng. Theo định nghĩa của hàm số, nhánh thứ hai cho $f(-3)=a-\frac{11}{9}$.

c) Đúng. ${\lim }_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x^3+27}={\lim }_{x\to -3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}=\frac{-6}{27}=-\frac{2}{9}$, giới hạn tồn tại nên đẳng thức đúng.

d) Đúng. Hàm số liên tục tại $x=-3$ khi $f(-3)={\lim }_{x\to -3}f(x)$, tức $a-\frac{11}{9}=-\frac{2}{9}\iff a=1$. Vậy hàm gián đoạn tại $x=-3$ khi $a\ne 1$. Các giá trị nguyên $a\in (0;25)$ là $1,2,\dots ,24$ (24 giá trị); loại $a=1$ còn đúng 23 giá trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$: $f(3)=0$; tại $x=-3$: $f(-3)=a-\frac{11}{9}$; với $x\ne 3,-3$ phân thức xác định. Vậy $f$ xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, $f(-3)=a-\frac{11}{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}=\frac{-6}{27}=-\frac{2}{9}$, giới hạn tồn tại.
d) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục khi $a-\frac{11}{9}=-\frac{2}{9}\iff a=1$. Nguyên $a\in (0;25)$: $1,\dots ,24$; loại $a=1$ còn 23 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $T(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ nên liên tục tại $x=1$ và $x=25$.

Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}T(x)=a+0=20000$, suy ra $a=20000$.

Tại $x=25$: ${\lim }_{x\to 25^{-}}T(x)=a+24\cdot 14000=20000+336000=356000$, và ${\lim }_{x\to 25^{+}}T(x)=b$, suy ra $b=356000$.

Vậy $\frac{a+b}{1000}=\frac{20000+356000}{1000}=376$.

Hàm số $v(t)$ liên tục trên đoạn $[0;12]$ nên hàm số liên tục tại $t=6$. Suy ra $\underset{t\to 6^{+}}{\lim }v(t)=\underset{t\to 6^{-}}{\lim }v(t)=v(6)\iff \underset{t\to 6^{+}}{\lim }(at+41)=\underset{t\to 6^{-}}{\lim }\left(-t^2+10t+5\right)=29$ $\iff 6a+41=29\iff a=-2$.

Khi đó $v(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+10t+5& \text{khi }0\le t\le 6\\ -2t+41& \text{khi }6<t\le 12\end{array}$. Vật đạt vận tốc 21 (m/s) nên ta có $v(t)=21$

$$\iff \{\begin{array}{l}-t^2+10t+5=21\text{ khi }0\le t\le 6\\ -2t+41=21\text{ khi }6<t\le 12\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=2(TM)\\ t=8(L)\\ t=10(TM)\end{array}.$$

Như vậy ta có $t_1=2$ và $t_2=10$, $t_1+t_2=2+10=12$.

Hàm số $v(t)$ liên tục trên đoạn $[0;10]$ nên hàm số liên tục tại $t=5$.

Suy ra ${\lim }_{t\to 5^{+}}v(t)={\lim }_{t\to 5^{-}}v(t)=v(5)\iff {\lim }_{t\to 5^{+}}(at-3)={\lim }_{t\to 5^{-}}\left(-t^2+4t+12\right)=7$

$\iff 5a-3=-5^2+4.5+12\iff a=2$.

Khi đó $v(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+4t+12& \text{khi }0\le t\le 5\\ 2t-3& \text{khi }5<t\le 10\end{array}$.

Vật đạt vận tốc 10 (m/s) nên ta có $v(t)=10$

$$\iff [<table><tbody><tr><td>-t^2+4t+12=10(0\le t\le 5)</td></tr><tr><td>2t-3=10(5<t<10)</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>t=2+\sqrt{6}</td></tr><tr><td>t=\frac{13}{2}</td></tr></tbody></table>$$

Như vậy ta có $t_1=2+\sqrt{6}$ và $t_2=\frac{13}{2}$, $t_1+t_2=2+\sqrt{6}+\frac{13}{2}\approx 10,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$.

Tính giới hạn: tại $x=2$, tử số $\sqrt[3]{2-29}+\sqrt{4\cdot 2+1}=\sqrt[3]{-27}+\sqrt{9}=-3+3=0$, mẫu có nhân tử $(x-2)$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Áp dụng định nghĩa đạo hàm cho $g(x)=\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}$:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=g^{\prime }(2).$$
Với $g_1(x)=\sqrt[3]{x-29}$: $g_1^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x-29{)}^{-2/3}$, nên $g_1^{\prime }(2)=\frac{1}{3}\cdot 27^{-2/3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{27}$.
Với $g_2(x)=\sqrt{4x+1}$: $g_2^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$, nên $g_2^{\prime }(2)=\frac{2}{3}$.
Vậy $g^{\prime }(2)=\frac{1}{27}+\frac{2}{3}=\frac{19}{27}$.

Mẫu số: $(x-2)(x^2+3x+9)$ với $x^2+3x+9\to 19$ khi $x\to 2$. Do đó:
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{19/27}{19}=\frac{1}{27}.$$

Điều kiện liên tục: $f(2)=4m+m^2+\frac{1}{27}=\frac{1}{27}\iff m^2+4m=0\iff m=0$ hoặc $m=-4$.

Cả hai giá trị đều nguyên, nên có $2$ giá trị nguyên của $m$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, Phần III câu 3: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$: $\sqrt[3]{2-29}=\sqrt[3]{-27}=-3$, $\sqrt{4\cdot 2+1}=3$ nên tử số bằng $0$, mẫu số cũng bằng $0$ (vì $(x-2)(x^2+3x+9)=x^3-27$). Đặt $a=\sqrt[3]{x-29}$, $b=\sqrt{4x+1}$. Ta có $a^3+27=x-2=(a+3)(a^2-3a+9)$ và $b^2-9=4(x-2)=(b-3)(b+3)$. Suy ra $a+3=\frac{x-2}{a^2-3a+9}$, $b-3=\frac{4(x-2)}{b+3}$, do đó $$\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}=(x-2)\left[\frac{1}{a^2-3a+9}+\frac{4}{b+3}\right].$$ Khi $x\to 2$: $a\to -3$ nên $a^2-3a+9\to 27$; $b\to 3$ nên $b+3\to 6$. Mẫu số $(x-2)(x^2+3x+9)$, với $x^2+3x+9\to 19$. Vậy $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{\frac{1}{27}+\frac{4}{6}}{19}=\frac{\frac{1}{27}+\frac{2}{3}}{19}=\frac{19/27}{19}=\frac{1}{27}.$$ Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $f(2)=2m+3m^2+\frac{1}{27}=\frac{1}{27}$, tức $3m^2+2m=0\iff m(3m+2)=0\iff m=0$ hoặc $m=-\frac{2}{3}$. Trong hai giá trị này chỉ có $m=0$ là nguyên. Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x=-1\le 1$ nên $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$: đúng. b) Với $x\to 1^{-}$ thì $f(x)=-x^2+m\to -1+m$: đúng. c) Với $x\to 1^{+}$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$: sai. d) Nhánh $x>1$: $x+3>4>0$ luôn xác định; nhánh $x\le 1$ là đa thức luôn xác định; hai nhánh phủ kín $\mathbb{R}$ nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le 1$ nên dùng nhánh $f(x)=-x^2+m$, suy ra $f(-1)=-1+m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1^{-}$, $f(x)=-x^2+m\to -1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{1}{4}$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m$. Liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh $x>1$ yêu cầu $x+3\ge 0$, luôn thỏa; nhánh $x\le 1$ là đa thức. Hai nhánh phủ kín $\mathbb{R}$ nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=5$. Để giới hạn hữu hạn, tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$, tức $x^2-ax+b=(x-2)(x-k)$ với $a=2+k$, $b=2k$. Khi đó ${\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-k)}{x-2}=2-k=5\Rightarrow k=-3$. Suy ra $a=2+(-3)=-1$, $b=2(-3)=-6$. Vậy $a-2b=-1-2(-6)=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[0;2]$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x=1$ (với $x\ne 1$, $f(x)$ là hàm phân thức liên tục trên các khoảng $[0;1)$ và $(1;2]$). Ta có: với $x\ne 1$, $\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=(\sqrt{x}+1)(x+1)$. Do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}(\sqrt{x}+1)(x+1)=(1+1)(1+1)=4$. Để hàm liên tục tại $x=1$ cần $f(1)={\lim }_{x\to 1}f(x)$, tức $m=4$. Vậy $m=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$ (nhân liên hợp). Với $x\le 1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m=f(1)$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, nên mệnh đề a) với $m=-\frac{3}{4}$ là SAI. b) $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$ đúng. c) ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m$ đúng. d) Nhánh $x>1$: $\sqrt{x+3}$ xác định với mọi $x>1$ (và mẫu $x-1\ne 0$); nhánh $x\le 1$ là đa thức; vậy hàm xác định trên toàn $\mathbb{R}$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\frac{1}{4}$, tức $m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le 1$ nên $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 1$, $f(x)=-x^2+m$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh $x>1$ xác định (căn thức $x+3>0$, mẫu khác 0), nhánh $x\le 1$ là đa thức, nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=5$. Vì mẫu số tiến về $0$ khi $x\to 2$, để giới hạn tồn tại (hữu hạn) thì tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$. Khi đó $x^2-ax+b=(x-2)(x+c)$ với hằng số $c$, và giới hạn bằng ${\lim }_{x\to 2}(x+c)=2+c=5$, suy ra $c=3$. Vậy $x^2-ax+b=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$, tức $a=-1$, $b=-6$. Kiểm tra: $4-2(-1)+(-6)=0$ đúng. Do đó $a-2b=-1-2(-6)=-1+12=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$, ta có $x^2-1=(x-1)(x+1)$ và $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$, do đó $$\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=(x+1)(\sqrt{x}+1).$$ Khi đó $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)(\sqrt{x}+1)=2\cdot 2=4.$$ Hàm số liên tục trên $[0;2]$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x=1$ (vì trên các khoảng $[0;1)$ và $(1;2]$ hàm số là hàm phân thức với mẫu khác 0 nên liên tục). Điều kiện liên tục tại $x=1$: $f(1)={\lim }_{x\to 1}f(x)$, tức $m=4$. Vậy $m=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, nên ý a) sai (không phải $m=-\frac{3}{4}$). Ý b) đúng vì $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$. Ý c) đúng vì với $x>1$ hàm $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ xác định ($x+3>0$, $x-1\ne 0$) và với $x\le 1$ hàm $-x^2+m$ xác định, nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Ý d) đúng vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(-x^2+m)=-1+m$.

a) Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m=\frac{1}{4}$, tức $m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$.

b) Với $x=-1\le 1$: $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$.

c) Cả hai nhánh đều xác định trên miền của chúng nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$.

d) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(-x^2+m)=-1+m$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục tại $x=2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-ax+b}{x-2}=f(2)=5$. Để giới hạn tồn tại (hữu hạn), tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$, tức $b=2a-4$. Khi đó $x^2-ax+b=(x-2)(x-(a-2))$, nên giới hạn bằng $2-(a-2)=4-a=5$, suy ra $a=-1$, $b=2(-1)-4=-6$. Vậy $a-2b=-1-2(-6)=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục của $f(x)$. Với $x>0$, $f(x)=|x^2-3x+2|$ là hàm liên tục trên toàn trục số (hàm đa thức lấy giá trị tuyệt đối), nên liên tục tại mọi $x>0$. Với $x<0$, $f(x)=x+1$ là hàm bậc nhất nên liên tục. Chỉ cần xét điểm nối $x=0$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+1)=1$; còn $f(0)=|0^2-3\cdot 0+2|=2$. Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=1\ne 2=f(0)$, hàm số gián đoạn tại $x=0$. Vậy $f(x)$ gián đoạn tại đúng $1$ điểm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2103, câu 17: 1).

TXD: $D=\mathbb{R}$

$f(0)=1$; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x^2+1)=1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{m^{2}x+4}-2}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{m^{2}x}{x\left(\sqrt{m^{2}x+4}+2\right)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{m^2}{\sqrt{m^{2}x+4}+2}=\frac{m^2}{4}$

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$ thì $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=f(0)$

$\Rightarrow \frac{m^2}{4}=1$. Vậy $m=\pm 2$.