Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mọi hàm $y={\log }_{t}x$ đều đi qua $(1;0)$. b) Sai: từ đồ thị $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$. c) Đúng: $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a,b>1$; với $x>1$ đồ thị $y={\log }_{a}x$ nằm trên $y={\log }_{b}x$ nên $a<b$; $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$. d) Đúng: với $x=k>1$, $AM={\log }_{a}k>0$, $AN={\log }_{c}k<0$ nên $AM=2AN\iff {\log }_{a}k=-2{\log }_{c}k\iff \frac{\ln k}{\ln a}=\frac{-2\ln k}{\ln c}\iff \ln c=-2\ln a\iff c=a^{-2}\iff a\sqrt{c}=1$. Khớp đáp án mã đề 112: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_{t}1=0$ với mọi cơ số $t>0$, $t\ne 1$, nên cả ba đồ thị đều đi qua $I(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$; hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a,b>1$; với $x>1$, ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x$ nên $a<b$. Đường $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=k>1$: $AM={\log }_{a}k$, $AN={\log }_{c}k<0$. Điều kiện $AM=2AN$ (theo độ dài, $AM=2|AN|$) cho $\frac{\ln k}{\ln a}=-\frac{2\ln k}{\ln c}\Rightarrow \ln c=-2\ln a\Rightarrow c=a^{-2}\Rightarrow a\sqrt{c}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đặt $x={\log }_{a}b$. Ta có $\frac{1}{{\log }_{b}a}+\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{a}b+{\log }_{b}a=x+\frac{1}{x}=\sqrt{2026}$. Mặt khác $\frac{1}{{\log }_{ab}b}={\log }_b(ab)=1+\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{{\log }_{ab}a}={\log }_a(ab)=1+x$, nên hiệu hai giá trị này là $\frac{1}{x}-x$. Do đó ${\left|\frac{1}{x}-x\right|}^2={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-4=2026-4=2022$, suy ra biểu thức bằng $\sqrt{2022}$. Khẳng định Đúng.
b) ${\log }_{3}70=\frac{\log 70}{\log 3}=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$. Đúng.
c) ${\log }_a{b}^2\cdot {\log }_{\sqrt{b}}c\cdot {\log }_{c^2}{a}^3=2{\log }_{a}b\cdot 2{\log }_{b}c\cdot \frac{3}{2}{\log }_{c}a=6\ne \frac{1}{6}$. Sai.
d) $9^{3/2}=(3^2{)}^{3/2}=3^3=27$. Đúng.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1001: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{a}b$, ta có $x+1/x=\sqrt{2026}$ và biểu thức cần tính là $|1/x-x|=\sqrt{2026^2-4}$... chính xác là $\sqrt{2022}$ vì $(1/x-x{)}^2=(x+1/x{)}^2-4=2022$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}70=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích bằng $2\cdot 2\cdot \frac{3}{2}\cdot {\log }_{a}b{\log }_{b}c{\log }_{c}a=6\ne \frac{1}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$9^{3/2}=3^3=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{16}5=b$, ta có ${\log }_{2}5={\log }_{16}5/{\log }_{16}2=b/(1/4)=4b$ (vì ${\log }_{16}2=1/4$).
a) ${\log }_{3}5={\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}5=a\cdot 4b=4ab$ → Đúng.
b) ${\log }_{3}12={\log }_3(4\cdot 3)=2{\log }_{3}2+1=2a+1\ne 2+a$ → Sai.
c) ${\log }_{27}180=(1/3){\log }_{3}180=(1/3)(2{\log }_{3}2+2+{\log }_{3}5)=(1/3)(2a+2+4ab)$. Biểu thức này chứa số hạng $4ab$ (tức ${\log }_{3}5$) nên không thể viết dưới dạng $xa+yb+z$ với $x,y,z$ nguyên sao cho khẳng định $x+y+z=4$ đúng → Sai.
d) ${\log }_{2}5=4b$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}5={\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}5=a\cdot 4b=4ab$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}12=2{\log }_{3}2+1=2a+1$, không bằng $2+a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{27}180=(2a+2+4ab)/3$ chứa số hạng $4ab$ nên không viết được dưới dạng $xa+yb+z$ với $x,y,z$ nguyên thỏa $x+y+z=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}5={\log }_{16}5/{\log }_{16}2=b/(1/4)=4b$.

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y={\log }_3\left(x^2-2mx+6m-5\right)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$
Hàm số xác định khi $x^2-2mx+6m-5>0$.
Để hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}$ thì $x^2-2mx+6m-5>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1>0\\ m^2-6m+5<0\end{array}\iff 1<m<5$.
Vậy $m\in (1;5)$.

b) $A=\mathrm{100.000.000},r=0,8\%,n=24$.
$m=\frac{\mathrm{100.000.000}\cdot 0,008\cdot (1,008{)}^{24}}{(1,008{)}^{24}-1}\approx \mathrm{4.596.000}$ đồng.
Đáp số: 4596 (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $a>b>1$ và $m>1$. Đường thẳng $y=m$ cắt trục tung tại $H(0;m)$, cắt đồ thị $y=a^x$ tại $M({\log }_{a}m;m)$ và $y=b^x$ tại $N({\log }_{b}m;m)$. Vì $a>b>1$ nên ${\log }_{a}m<{\log }_{b}m$, do đó $HM={\log }_{a}m$ và $MN={\log }_{b}m-{\log }_{a}m$. Điều kiện $HM=2MN$ cho ${\log }_{a}m=2({\log }_{b}m-{\log }_{a}m)\Rightarrow 3{\log }_{a}m=2{\log }_{b}m\Rightarrow \frac{3}{\ln a}=\frac{2}{\ln b}\Rightarrow 3\ln b=2\ln a$. Kết hợp $a=2b$: $3\ln b=2\ln (2b)=2\ln 2+2\ln b\Rightarrow \ln b=2\ln 2\Rightarrow b=4$, suy ra $a=8$. Vậy $S=a^2+b^2=64+16=80$, khớp với đáp án nguồn (80).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y={\log }_3\left(x^2-2mx+3m-2\right)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$
Hàm số xác định khi $x^2-2mx+3m-2>0$.
Để hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}$ thì $x^2-2mx+3m-2>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1>0\\ m^2-3m+2<0\end{array}\iff 1<m<2$.
Vậy $m\in (1;2)$.

b) Đặt $r=3,5\%$ là lãi suất hàng tháng.
Gọi số tiền bác Minh phải trả góp cho cửa hàng mỗi tháng là $m$ đồng.
Số tiền vay là $A=11500000$ đồng.
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 1: $T_1=A+Ar-m=A(1+r)-m$
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 2 là: $T_2=T_1+T_{1}r-m=T_1(1+r)-m=A(1+r{)}^2-m(1+r+1)$
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 3 là: $T_3=T_2+T_{2}r-m=T_2(1+r)-m=A(1+r{)}^3-m\left((1+r{)}^2+(1+r)+1\right)$
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 12: $T_{12}=T_{11}+T_{11}r-m=T_{11}(1+r)-m=A(1+r{)}^{12}-m\left((1+r{)}^{11}+(1+r{)}^{10}+...+(1+r)+1\right)$
$=A(1+r{)}^{12}-m\frac{(1+r{)}^{12}-1}{(1+r)-1}$
Bác Minh trả đúng 12 tháng thì hết nợ nên: $T_{12}=0\iff m=\frac{A(1+r{)}^{12}r}{(1+r{)}^{12}-1}\approx 1190065$ đồng $\approx 1190$ (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_5(3x^2-14x-5)$.
a) Điều kiện: $3x^2-14x-5>0$. Phương trình $3x^2-14x-5=0$ có nghiệm $x=\frac{14\pm \sqrt{196+60}}{6}=\frac{14\pm 16}{6}$, tức $x=-\frac{1}{3}$ hoặc $x=5$. Vì $a=3>0$ nên biểu thức dương khi $x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>5$. Vậy $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup (5;+\infty )$: ĐÚNG.
b) $f(-2)={\log }_5(12+28-5)={\log }_{5}35={\log }_5(5\cdot 7)=1+{\log }_{5}7$: ĐÚNG.
c) $f(x)=2\iff 3x^2-14x-5=25\iff 3x^2-14x-30=0$ (đều xác định vì hai nghiệm thuộc tập xác định). Theo Vi-ét: $x_1+x_2=\frac{14}{3}$: ĐÚNG.
d) $f(x)\le 2\iff 0<3x^2-14x-5\le 25$. Vế phải: $3x^2-14x-30\le 0$ với $x\in \left[\frac{14-\sqrt{556}}{6};\frac{14+\sqrt{556}}{6}\right]\approx [-1,597;6,263]$. Kết hợp điều kiện xác định $x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>5$ ta được tập nghiệm $\left(\frac{14-\sqrt{556}}{6};-\frac{1}{3}\right)\cup \left(5;\frac{14+\sqrt{556}}{6}\right]$. Các nghiệm nguyên: $x=-1$ và $x=6$ (lưu ý $x=5$ không thuộc tập xác định vì $3\cdot 25-70-5=0$ không dương). Nghiệm nguyên lớn nhất là $x=6$: ĐÚNG.
Khớp đáp án nguồn (đề 2, Phần II Câu 2: DDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$3x^2-14x-5>0$ với nghiệm $-\frac{1}{3}$ và $5$ nên $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup (5;+\infty )$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)={\log }_{5}35=1+{\log }_{5}7$: đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3x^2-14x-30=0$ nên theo Vi-ét $x_1+x_2=\frac{14}{3}$: đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm của $f(x)\le 2$ chứa các số nguyên $-1$ và $6$ ($x=5$ không thuộc tập xác định); nghiệm nguyên lớn nhất là $x=6$: đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_2(4x^2-15x-4)$.

a) Điều kiện xác định: $4x^2-15x-4>0$. Phương trình $4x^2-15x-4=0$ có nghiệm $x=4$ và $x=-\frac{1}{4}$, nên $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;+\infty )$. Mệnh đề Đúng.

b) $f(-2)={\log }_2(4\cdot 4+30-4)={\log }_{2}42={\log }_{2}2+{\log }_{2}21=1+{\log }_{2}21$. Mệnh đề Đúng.

c) $f(x)=2\iff 4x^2-15x-4=4\iff 4x^2-15x-8=0$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=\frac{15}{4}\ne \frac{15}{8}$. Mệnh đề Sai.

d) $f(x)\le 2\iff 0<4x^2-15x-4\le 4$, tức $4x^2-15x-8\le 0$ kết hợp điều kiện xác định. Nghiệm của $4x^2-15x-8\le 0$ là $x\in \left[\frac{15-\sqrt{353}}{8};\frac{15+\sqrt{353}}{8}\right]\approx [-0,474;4,224]$. Kết hợp tập xác định được tập nghiệm $\left[-0,474;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;4,224]$, không chứa số nguyên nào. Do đó bất phương trình không có nghiệm nguyên, khẳng định nghiệm nguyên lớn nhất là $x=5$ là Sai. (Đáp án đúng-sai theo nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai — khớp với kết quả giải.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$4x^2-15x-4>0\iff x<-\frac{1}{4}$ hoặc $x>4$, nên $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)={\log }_{2}42=1+{\log }_{2}21$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2\iff 4x^2-15x-8=0\Rightarrow x_1+x_2=\frac{15}{4}\ne \frac{15}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm của $f(x)\le 2$ là $\left[-0,474;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;4,224]$, không chứa số nguyên nào nên không có nghiệm nguyên lớn nhất $x=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Điều kiện xác định là $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$, nên $D=\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ (khoảng mở, không phải nửa khoảng đóng).
b) Đúng: Hàm số $y={\log }_2(2x-5)$ xác định và đồng biến trên $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ vì $y^{\prime }=\frac{2}{(2x-5)\ln 2}>0$; do đó đồng biến trên khoảng con $(5;+\infty )$.
c) Đúng: $A$ là trung điểm của $OB$ với $O(0;0)$, $x_A=a$ nên $x_B=2a$; vì $A$ thuộc đồ thị nên $y_A={\log }_2(2a-5)$, suy ra $y_B=2y_A=2{\log }_2(2a-5)$. Vậy $B\left(2a;2{\log }_2(2a-5)\right)$.
d) Đúng: $B$ thuộc đồ thị nên $2{\log }_2(2a-5)={\log }_2(4a-5)\iff (2a-5{)}^2=4a-5\iff 2a^2-12a+15=0\iff a=3\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Vì $a>\frac{5}{2}$ nên $a=3+\frac{\sqrt{6}}{2}$, khi đó $x_B=2a=6+\sqrt{6}\approx 8,45$ không nguyên. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a S, 1b D, 1c D, 1d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$, không phải $\left[\frac{5}{2};+\infty \right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2}{(2x-5)\ln 2}>0$ trên $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $(5;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A$ trung điểm $OB$, $x_A=a$ nên $x_B=2a$; $y_A={\log }_2(2a-5)$ nên $y_B=2{\log }_2(2a-5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $(2a-5{)}^2=4a-5$ được $a=3+\frac{\sqrt{6}}{2}$ (vì $a>\frac{5}{2}$), nên $x_B=6+\sqrt{6}\approx 8,45$ không nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm số $y={\log }_3(5x-3)$ có TXĐ $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$, cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến trên toàn miền xác định, do đó đồng biến trên $(2;+\infty )$ — Đúng.
b) Giao trục hoành: ${\log }_3(5x-3)=0\iff 5x-3=1\iff x=\frac{4}{5}$, không phải $\frac{6}{5}$ — Sai.
c) Gọi $A(a;{\log }_3(5a-3))$ với $a>\frac{3}{5}$. Vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $B(2a;2{\log }_3(5a-3))$. Để $B$ thuộc đồ thị: $2{\log }_3(5a-3)={\log }_3(10a-3)\iff (5a-3{)}^2=10a-3\iff 25a^2-40a+12=0\iff a=\frac{6}{5}$ hoặc $a=\frac{2}{5}$. Vì $a>\frac{3}{5}$ nên $a=\frac{6}{5}$, khi đó $x_B=2a=\frac{12}{5}$ không phải số nguyên — Sai.
d) Theo lập luận ở c), với $x_A=a>\frac{3}{5}$ thì $B(2a;2{\log }_3(5a-3))$ — Đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên toàn TXĐ $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$ vì cơ số $3>1$, nên đồng biến trên $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao trục hoành tại $x=\frac{4}{5}$ (vì $5x-3=1$), không phải $\frac{6}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $B$ thuộc đồ thị cho $(5a-3{)}^2=10a-3$, tức $25a^2-40a+12=0$, với $a>\frac{3}{5}$ lấy $a=\frac{6}{5}$, suy ra $x_B=\frac{12}{5}$ không nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $x_B=2x_A=2a$ và $y_B=2y_A=2{\log }_3(5a-3)$.

a) (0,75 điểm) Tính giá trị của biểu thức $A={\log }_{5}15-{\log }_{\sqrt{5}}\sqrt{3}$.

$A={\log }_{5}15-{\log }_{5}3$ (0,25 điểm)

$={\log }_5\frac{15}{3}$ (0,25 điểm)

$={\log }_{5}5=1$ (0,25 điểm)

b) (0,75 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\log \left(x^2-2(m+1)x+5-m\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Hàm số $y=\log \left(x^2-2(m+1)x+5-m\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ (0,25 điểm)

$\iff x^2-2(m+1)x+5-m>0\forall x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff m^2+3m-4<0$ (0,25 điểm)

$\iff -4<m<1$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $p(h)=100e^{-h/7}$. a) $p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ với mọi $h$, nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng → Sai. b) $p(0)=100e^0=100$ kPa → Đúng. c) Đỉnh Everest $h=8,85$ km: $p(8,85)=100e^{-8,85/7}\approx 100\cdot 0,2822\approx 28,2$ kPa → Đúng. d) Yêu cầu $100e^{-h/7}\ge 60\iff -\frac{h}{7}\ge \ln 0,6\iff h\le -7\ln 0,6\approx 7\cdot 0,5108\approx 3,5759$ km $\approx 3576$ m → Đúng. Khớp đáp án chính thức SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p(0)=100e^0=100$ kPa.
c) (AI giải đề cho tôi)
$p(8,85)=100e^{-8,85/7}\approx 28,2$ kPa.
d) (AI giải đề cho tôi)
$100e^{-h/7}\ge 60\iff h\le -7\ln 0,6\approx 3,576$ km $=3576$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_{\frac{1}{5}}(-x^2+26x)$.

a) Điều kiện xác định: $-x^2+26x>0\iff x(26-x)>0\iff 0<x<26$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(0;26)$, không phải $(-\infty ;0)\cup (26;+\infty )$. → Sai.

b) Với $u=-x^2+26x$, có $u^{\prime }=-2x+26$ và ${\log }_{\frac{1}{5}}u=\frac{\ln u}{\ln \frac{1}{5}}=\frac{\ln u}{-\ln 5}$. Do đó
$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }}{u\cdot (-\ln 5)}=\frac{-2x+26}{-(-x^2+26x)\ln 5}.$$ → Đúng.

c) $f(x)<-2\iff {\log }_{\frac{1}{5}}(-x^2+26x)<-2$. Vì cơ số $\frac{1}{5}<1$ nên $-x^2+26x>{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=25\iff x^2-26x+25<0\iff 1<x<25$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{2,3,\dots ,24\}$, gồm $24-2+1=23$ nghiệm, không phải 22. → Sai.

d) $f(x)=-2\iff -x^2+26x=25\iff x^2-26x+25=0$. Hai nghiệm $x=1$ và $x=25$ (đều thuộc tập xác định), tổng theo Vi-ét bằng $26$. → Đúng.

Kết quả khớp với bảng đáp án SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $-x^2+26x>0\iff 0<x<26$, nên $\mathcal{D}=(0;26)$, không phải $(-\infty ;0)\cup (26;+\infty )$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }}{u\ln \frac{1}{5}}=\frac{-2x+26}{(-x^2+26x)(-\ln 5)}=\frac{-2x+26}{-(-x^2+26x)\ln 5}$. → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)<-2\iff -x^2+26x>25\iff 1<x<25$, có 23 nghiệm nguyên ($x=2$ đến $24$), không phải 22. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-2\iff x^2-26x+25=0\iff x=1$ hoặc $x=25$; tổng bằng $26$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$, khi $x\in (0;+\infty )$ thì $t\in \mathbb{R}$. Hàm số xác định trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi phương trình $m{t}^2-4t+m+3=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$. Với $m=0$: $-4t+3=0$ có nghiệm $t=3/4$, loại. Với $m\ne 0$: cần $\Delta =16-4m(m+3)<0\iff m^2+3m-4>0\iff (m+4)(m-1)>0\iff m<-4$ hoặc $m>1$. Các giá trị nguyên $m\in (-2026;2026)$ thỏa mãn: $m\in \{-2025,\dots ,-5\}$ có $2021$ giá trị và $m\in \{2,\dots ,2025\}$ có $2024$ giá trị, tổng cộng $2021+2024=4045$ giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$, khi $x\in (0;+\infty )$ thì $t$ chạy khắp $\mathbb{R}$. Hàm số xác định trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $m{t}^2-4t+m+3>0$ với mọi $t\in \mathbb{R}$. Với $m=0$ biểu thức trở thành $-4t+3$ không dương với mọi $t$, loại. Với $m\ne 0$ cần $m>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =16-4m(m+3)<0\iff m^2+3m-4>0\iff m>1$ hoặc $m<-4$. Kết hợp $m>0$ được $m>1$ hoặc $m<-4$. Số giá trị nguyên $m\in (-2026;2026)$: với $m<-4$: từ $-2025$ đến $-5$ có $2021$ giá trị; với $m>1$: từ $2$ đến $2025$ có $2024$ giá trị. Tổng $2021+2024=4045$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$ nên a) Sai. Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, b) Đúng. Tại $x=\frac{1}{4}$: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$, c) Đúng. Phương trình ${\log }_{4}x={\log }_2(x-2)$ với điều kiện $x>2$. Đổi cơ số: $\frac{1}{2}{\log }_{2}x={\log }_2(x-2)\Rightarrow {\log }_{2}x=2{\log }_2(x-2)\Rightarrow x=(x-2{)}^2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại vì $x\le 2$) hoặc $x=4$ (thỏa mãn). Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=4$, d) Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$ nên tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $4>1$ nên $y={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>2$, phương trình tương đương $x=(x-2{)}^2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại) hoặc $x=4$ (nhận). Chỉ có một nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_3)$ đồng biến nên $c>1$; $(C_1),(C_2)$ nghịch biến nên $0<a,b<1$. Với $x>1$, $\ln x>0$ và ${\log }_{k}x=\frac{\ln x}{\ln k}$ với $\ln k<0$: cơ số càng gần 1 thì $\ln k$ càng gần 0, giá trị ${\log }_{k}x$ càng gần 0 (đồ thị càng cao). Trên hình, tại $x>1$, $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$ nên $a$ gần 1 hơn $b$, tức $b<a<1$. Kết luận: a) Đúng ($c>1$ nên đồng biến). b) Sai ($0<a<1$). c) Đúng (mọi ${\log }_{k}x$ đi qua $(1;0)$). d) Đúng ($b<a<1<c$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ là đồ thị hàm đồng biến nên $c>1$, do đó $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(C_1)$ nghịch biến nên $0<a<1$, không thỏa $a>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mọi hàm $y={\log }_{k}x$ đều đi qua điểm $(1;0)$ vì ${\log }_{k}1=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ đồng biến nên $c>1$; $(C_1),(C_2)$ nghịch biến nên $0<a,b<1$. Với $x>1$ ta có $\ln x>0$ và ${\log }_{k}x=\frac{\ln x}{\ln k}$ với $\ln k<0$. Khi cơ số càng gần 1 (từ dưới), $\ln k$ càng gần 0 nên $\frac{\ln x}{\ln k}$ càng gần 0, tức đồ thị càng cao. Trên hình, tại $x>1$, $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$, do đó $a$ gần 1 hơn $b$, tức $b<a<1$. Vậy $b<a<1<c$.