Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x>y>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_{\frac{x}{y}}(x^3)+27{\log }_y\frac{x}{y}$.

Đồ thị hàm số $y=f(x)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ ($0<a\ne 1$) qua điểm $I(2;-1)$. Giá trị của biểu thức $f(4-a^{2021})$ bằng:

Hàm số $y={\log }_2(4^x-2^x+m)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ thì

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm số $y=a^x$ ($a>0,a\ne 1$) qua điểm $I(3;2)$. Giá trị của $f\left(6+{\log }_a\frac{1}{2021}\right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)=2^x-2^{-x}$.

Cho $a,b$ là các số thực dương khác 1, đường thẳng $(d)$ song song trục hoành cắt trục tung, đồ thị hàm số $y=a^x$, đồ thị hàm số $y=b^x$ lần lượt tại $H,M,N$ (như hình bên). Biết $HM=3MN$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn $2022$ của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^2-3x+5}{{\log }_{2022}(x^2-2x+m^2-4m+5)}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$?

Cho hai số thực a , b đều lớn hơn 1 . iá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + bằng
log ab a log 4 ab b
9 4 1 9

Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y=a^x$ ($a>0,a\ne 1$) qua điểm $I(1;1)$. Giá trị của biểu thức $f\left(2+{\log }_a\frac{1}{2022}\right)$ bằng

Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số f ( x)  ln x3  3m2 x  32m xác định trên khoảng
 0;  ?

Cho hàm số $f(x)=92-20\ln (x+1)$.

Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc $y(t)$ (đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm $t$ ngày kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn $y(t)=e^{g(t)}$ và $y^{\prime }(t)=k\cdot y(t)$ với $t\ge 0$, trong đó $k$ là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm $t=6$ ngày, $t=12$ ngày nhận được kết quả lần lượt là $2\text{ mg/lıˊt}$, $1\text{ mg/lıˊt}$. Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm $30$ ngày bằng bao nhiêu mg/lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $1000$ con. Sau $2$ giờ, số lượng vi khuẩn tăng lên thành $4000$ con. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết rằng tốc độ tăng trưởng của quần thể tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, tức là $P^{\prime }(t)=k\cdot P(t)$, với $k$ là hằng số khác $0$ và $P(t)>0$ với $t\ge 0$.

Hai cột điện $AC,BD$ có cùng chiều cao được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $100$ mét ($AB=CD=100$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia (tham khảo hình vẽ) với $AC=BD$. Chọn hệ tọa độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục là $1$ mét. Khi đó, người ta thấy rằng dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y=223,5\left(e^{\frac{x}{447}}+e^{-\frac{x}{447}}\right)-430$, với $-50\le x\le 50$.

Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong một môi trường nuôi cấy thí nghiệm, số lượng vi khuẩn $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, tức là thỏa mãn phương trình đạo hàm $N^{\prime }(t)=k\cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng). Biết rằng ban đầu ($t=0$) có 500 con vi khuẩn và sau 3 giờ thì số lượng vi khuẩn tăng lên thành 4000 con.

Để kỷ niệm 70 năm ngày thành lập trường THPT Việt Đức, các cựu học sinh tổ chức phát hành áo kỷ niệm gây quỹ học bổng. Giả sử doanh số (tính bằng số áo bán được) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=\frac{7000}{1+69e^{-t}},t\ge 0$, trong đó thời gian $t$ được tính theo đơn vị ngày, kể từ thời điểm ngày phát hành đầu tiên (ngày 11/8/2025).

Cho hàm số $y=2^{\frac{x+1}{x^2+x+m}}$. Số giá trị nguyên của tham số $m\in [-20;20]$ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ là

Câu 1. Một khu rừng có trữ lượng gỗ ban đầu là $5\cdot 10^5{\text{ (m}}^3\text{)}$. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong khu rừng đó là $3\%$ mỗi năm và được mô hình hóa theo công thức tăng trưởng liên tục $T=A{e}^{rn}$.
Sau $4$ năm, người ta khai thác $12\%$ lượng gỗ đang có trong rừng. Từ đó trở đi, khu rừng vẫn tiếp tục sinh trưởng với cùng tốc độ $3\%$ mỗi năm.
Biết sau $10$ năm kể từ thời điểm ban đầu, trữ lượng gỗ của khu rừng bằng $a\cdot 10^5{\text{ (m}}^3\text{)}$. Tính $a$ và làm tròn đến hàng phần chục.

Cho $a,b,c$ là ba số dương khác $1$. Các hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Giả sử $a,b$ là các số thực dương khác $1$, đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ như hình bên. Đường thẳng $x=3$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ lần lượt tại $H,A$ và $B$. Biết $HA=2HB$, mệnh đề nào dưới đây đúng?