Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+8x+6y-8z+5=0$ có tâm $I(-4;-3;4)$ và bán kính $R=\sqrt{16+9+16-5}=\sqrt{36}=6$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P):3x+y+z-8=0$ là $d=\frac{|3(-4)+(-3)+4-8|}{\sqrt{9+1+1}}=\frac{15}{\sqrt{11}}\approx 4,5227<6$ nên $(P)$ cắt $(S)$. Bán kính giao tuyến: $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{36-\frac{225}{11}}=\sqrt{\frac{171}{11}}\approx 3,9427\approx 3,94$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Tâm I là trung điểm AB: I(-1;3;3), bán kính R = AB/2 với AB = √(16+100+64) = √180 = 6√5, nên R² = 45. Phương trình mặt cầu phải là (x+1)² + (y-3)² + (z-3)² = 45, không phải = √45.
b) Đúng. Mặt phẳng (P): x + 3y - 4z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến (1;3;-4).
c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (2;-1;1), nên Δ song song với d phải có cùng vectơ chỉ phương (2;-1;1), ví dụ x = 2 + 2t, y = -3 - t, z = 5 + t. Phương trình đề cho có vectơ chỉ phương (1;3;4) không song song với (2;-1;1).
d) Đúng. (Oxz): y = 0 có pháp tuyến n₁ = (0;1;0); (P) có pháp tuyến n₂ = (1;-1;0). cos = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = 1/√2, suy ra góc bằng 45°.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(-1;3;3), R² = 45 nên phương trình đúng là (x+1)²+(y-3)²+(z-3)² = 45, không phải = √45.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (P): x+3y-4z+5=0 là (1;3;-4).
c) (AI giải đề cho tôi)
d có vectơ chỉ phương (2;-1;1), còn phương trình đưa ra có vectơ chỉ phương (1;3;4), không song song với d.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos góc = |0·1 + 1·(-1) + 0·0|/(1·√2) = 1/√2 nên góc bằng 45°.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua M(-2;2;3) vuông góc (P) có VTCP là VTPT của (P): n=(1;2;-3), nên phương trình đúng là (x+2)/1=(y-2)/2=(z-3)/(-3). Phương trình đề cho đi qua điểm (1;2;-3) khác M nên sai.
b) Bán kính R=d(M,(P))=|-2+4-9+6|/√14=1/√14. Mặt cầu (S'): (x+2)²+(y-2)²+(z-3)²=1/14 ⇔ x²+y²+z²+4x-4y-6z+17-1/14=0 ⇔ x²+y²+z²+4x-4y-6z+237/14=0. Hệ số tự do 237/14 ≠ 3 nên khẳng định sai.
c) Từ (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=25 suy ra tâm I(2;-1;3), bán kính 5. Đúng.
d) MI=(4;-3;0), n_P=(1;2;-3). VTPT của (Q) phải vuông góc cả MI và n_P: n=MI×n_P=(9;12;11). Mặt phẳng qua M: 9(x+2)+12(y-2)+11(z-3)=0 ⇔ 9x+12y+11z-39=0. Phương trình đề cho 9x+12y-11z+27=0 có VTPT (9;12;-11), kiểm tra (9;12;-11)·(1;2;-3)=9+24+33=66≠0 nên không vuông góc với (P) (dù đi qua M và I). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đúng là (x+2)/1=(y-2)/2=(z-3)/(-3); phương trình đề cho đi qua (1;2;-3)≠M(-2;2;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=d(M,(P))=1/√14, nên (S'): x²+y²+z²+4x-4y-6z+237/14=0, hệ số tự do khác 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=25 suy ra tâm I(2;-1;3), bán kính 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là 9x+12y+11z-39=0; phương trình đề cho có VTPT (9;12;-11) với (9;12;-11)·(1;2;-3)=66≠0 nên (Q) không vuông góc với (P).

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt cầu đi qua O nên d=0. Thay A(-3;0;0): 9+6a=0 ⇒ a=-3/2. Thay B(0;0;8): 64-16c=0 ⇒ c=4. Thay C(0;-9;0): 81+18b=0 ⇒ b=-9/2. Khi đó a²+b²+c²+d² = 9/4+81/4+16+0 = 90/4+16 = 22,5+16 = 38,5. Vậy T = 4·38,5 = 154.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(8;0;0)$ và bán kính $R=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đến tâm $I$ là $OI=8$.
Vì $OM$ tiếp xúc với mặt cầu tại $M$ nên $\Delta OMI$ vuông tại $M$.
Ta có $OM=\sqrt{O{I}^2-R^2}=\sqrt{64-32}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đoạn thẳng $OI$.
Ta có: $OH=\frac{O{M}^2}{OI}=\frac{32}{8}=4$.
Vì $I$ nằm trên trục $Ox$ nên hình chiếu $H$ trên $Ox$ có tọa độ $H(4;0;0)$.
Mặt phẳng chứa các điểm tiếp xúc $M$ vuông góc với trục $OI$ (trục $Ox$) tại $H(4;0;0)$, có phương trình $x-4=0$.

Đáy là tam giác đều cạnh $2a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là:
$R_{\text{đaˊy}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Chiều cao của lăng trụ là $h=2a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:
$R=\sqrt{R_{\text{đaˊy}}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+a^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{21}}{3}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{21\sqrt{21}{a}^3}{27}=\frac{28\sqrt{21}}{27}\pi a^3$.

Khối chóp có cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp được tính theo công thức:
$R=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{4a^2+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{17a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}$. Chọn B.

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Vì $SA=SB=SC$ nên $SH\perp (ABC)$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC$ là $R_d=\frac{BC}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{a}{2\cdot \frac{1}{2}}=a$.
Do đó $HA=R_d=a$.
Góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là $\widehat{SAH}=60^{\circ }$.
Suy ra $SH=HA\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$ và $SA=\frac{HA}{\cos 60^{\circ }}=2a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $R=\frac{S{A}^2}{2SH}=\frac{(2a{)}^2}{2\cdot a\sqrt{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi a^3$.

Vì mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-1;-1)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ nên bán kính mặt cầu là $R=d(I,(P))=\frac{|2-2(-1)-2(-1)+3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}}=3$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=9\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z-3=0$. Chọn đáp án A.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R_{\text{đaˊy}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{5}{2}$.
Đường cao của hình chóp là $h=SA=5$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
$R=\sqrt{R_{\text{đaˊy}}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Khoảng cách từ tâm $I(0;-2;1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d=d(I,(P))=\frac{|0+2(-2)-2(1)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-3|}{3}=1.$
Diện tích đường tròn giao tuyến là $S=\pi r^2=2\pi ⟹r^2=2$.
Bán kính mặt cầu thỏa mãn $R^2=d^2+r^2=1^2+2=3$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
$x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=3.$

Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $r_d=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
$R=\sqrt{r_d^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{6a^2}{4}}=\sqrt{\frac{8a^2}{4}}=a\sqrt{2}$
Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2=4\pi (a\sqrt{2}{)}^2=8\pi a^2$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d=d(I,(P))=\frac{|-1-2(2)+2(-1)-2|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|-9|}{3}=3$
Bán kính mặt cầu: $R=\sqrt{d^2+r^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$.
Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=34$.

Gọi $O$ là tâm đáy tam giác đều cạnh 6, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $r_d=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
Cạnh bên $SA=\sqrt{S{O}^2+O{A}^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\frac{S{A}^2}{2h}=\frac{13}{2\cdot 1}=\frac{13}{2}$ (hoặc theo công thức tương ứng, ở đây $S=9\pi$).

Ta có $w-2=(1+\sqrt{3}i)z\iff w-2-(1+\sqrt{3}i)=(1+\sqrt{3}i)(z-1)$.
Lấy môđun hai vế: $|w-(3+\sqrt{3}i)|=|1+\sqrt{3}i|\cdot |z-1|=\sqrt{1+3}\cdot 2=2\cdot 2=4$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $R=4$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2-(-3)}=\sqrt{1+4+1+3}=3$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$: $d(I,(P))=\frac{|2(1)-(-2)+2(-1)-14|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|-12|}{3}=4>R=3$.
Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ có phương trình: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}=t$.
Điểm $M\in (S)$ có khoảng cách đến $(P)$ lớn nhất nằm về phía ngược lại của véctơ pháp tuyến hướng tới $(P)$, ứng với $t=-1$ (hoặc tính theo $\vec{n}=(2;-1;2)$):
$M=I-R\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=(1;-2;-1)-3\frac{(2;-1;2)}{3}=(1-2;-2-(-1);-1-2)=(-1;-1;-3)$.
Khi đó $a=-1,b=-1,c=-3\Rightarrow K=a+b+c=-1-1-3=-5$.

Chọn C.
Đường tròn giao tuyến có chu vi $C=2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d=d(I,P)=\frac{|2(1)+(-1)-2(1)+2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1|}{3}=\frac{1}{3}$.
Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{r^2+d^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ (với $d=1$).

Gọi $O$ là tâm của hình vuông đáy $ABCD$. Vì $S.ABCD$ là chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$.
- Đáy là hình vuông cạnh $a⟹OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- Tam giác $SOA$ vuông tại $O$, có:
$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- Vì $SO=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên tam giác $SOA$ vuông cân tại $O$.
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều được tính theo công thức:
$R=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
(Đặc biệt, $O$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp vì $OA=OB=OC=OD=OS=\frac{a\sqrt{2}}{2}$).
Chọn A.

Vì tâm $I\in d$ nên tọa độ của $I$ có dạng $I(t;1+t;3t)$.
Mặt cầu $(S)$ đi qua $A(1;4;0)$ và có bán kính $R=5$ khi và chỉ khi:
$I{A}^2=R^2=25$
Ta có:
$(1-t{)}^2+(4-1-t{)}^2+(0-3t{)}^2=25⟺(1-t{)}^2+(3-t{)}^2+9t^2=25$
$⟺(t^2-2t+1)+(t^2-6t+9)+9t^2=25⟺11t^2-8t-15=0$
Phương trình bậc hai có hệ số $a=11,c=-15⟹ac=-165<0$, do đó phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt $t_1,t_2$.
Ứng với mỗi giá trị $t$ ta xác định được một tâm $I$ duy nhất, do đó có đúng 2 mặt cầu thỏa mãn bài toán. Chọn B.

Chọn A.
Đường thẳng $d$ đi qua $M(0;-1;2)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;-1)$.
Ta có $\overrightarrow{MI}=(1;4;3)$.
Tích có hướng $[\overrightarrow{MI},\vec{u}]=(4(-1)-3(-1);3(1)-1(-1);1(-1)-4(1))=(-1;4;-5)$.
Bán kính mặt cầu là $R=d(I,d)=\frac{|[\overrightarrow{MI},\vec{u}]|}{|\vec{u}|}=\frac{\sqrt{(-1{)}^2+4^2+(-5{)}^2}}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{3}}=\sqrt{14}$.