Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Vì $E$ là trung điểm $AD$ nên $AE=ED=a$. Tứ giác $ABCE$ là hình vuông cạnh $a$.
Tam giác $ECD$ vuông cân tại $C$ với $EC=a$, $CD=a\sqrt{2}$.
Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:
$R=\frac{a\sqrt{114}}{6}.$

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 34 chọn đáp án B.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến $(C)$, $d=d(O;(P))$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$.
Ta có $r=\sqrt{R^2-d^2}$. Chu vi đường tròn $(C)$ nhỏ nhất khi bán kính $r$ nhỏ nhất, tương đương với $d$ lớn nhất.
Vì $M\in (P)$ nên $d=d(O;(P))\le OM=4$.
Do đó $d$ đạt giá trị lớn nhất bằng $OM=4$ khi $OM\perp (P)$.
Khi đó, chu vi đường tròn nhỏ nhất là $2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$.
Khối nón có đỉnh $O$, đáy là đường tròn $(C)$ có chiều cao $h=OM=4$ và bán kính đáy $r=3$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 4=12\pi .$

Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 39 chọn đáp án A.



Thiết diện qua trục của hình nón $(N)$ là tam giác cân $ABC$ với $AB=AC=l=10$, $BC=2r=12$.
Khối cầu $(S)$ tiếp xúc với đáy và các đường sinh nên hình tròn lớn của mặt cầu là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Chiều cao của hình nón: $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48.$
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là:
$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+10+12}{2}=16.$
Bán kính mặt cầu là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$:
$R=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{48}{16}=3.$
Thể tích khối cầu $(S)$ bằng:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi .$

Chọn đáp án A.

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=SB=SC=a\sqrt{2}$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tức trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$. Khi đó tính khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SACD$ đến các đỉnh, ta tìm được bán kính $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì $A,B$ có tọa độ dương nên tâm mặt cầu $I(R;R;R)$ nằm trong góc phần tám thứ nhất. Đoạn thẳng $AB$ nằm trong $(S)$ khi và chỉ khi hai đầu mút $A,B$ nằm trong $(S)$, tức là $I{A}^2\le R^2$ và $I{B}^2\le R^2$. Xét điều kiện $I{B}^2\le R^2⟺(R-2{)}^2+(R-3{)}^2+(R-4{)}^2\le R^2⟺2R^2-18R+29\le 0⟺\frac{9-\sqrt{23}}{2}\le R\le \frac{9+\sqrt{23}}{2}\approx 6,89$. Giá trị nguyên lớn nhất của $R$ là 6.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R_1=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $△SAB$ đều là $R_2=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Do $(SAB)\perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AB=a$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\sqrt{R_1^2+R_2^2-\frac{A{B}^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{4}}=a\sqrt{\frac{7}{12}}$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=\frac{7\pi a^2}{3}$.

Trong $△ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC}=120^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}=30^{\circ }$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R_{\text{đaˊy}}=\frac{AC}{2\sin 30^{\circ }}=a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng là $R=\sqrt{R_{\text{đaˊy}}^2+{\left(\frac{A{A}^{\prime }}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=8\pi a^2$.

a) Sai: Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$ và bán kính $R=3$.
b) Đúng: $IA=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+4^2}=6>R=3$ nên $A$ nằm ngoài mặt cầu.
c) Đúng: $\overrightarrow{IT}=(-1;-2;2)$, mặt phẳng tiếp xúc tại $T(-2;0;3)$ có phương trình $x+2y-2z+8=0$.
d) Sai: $\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{IA}=R^2=9⟺2(x+1)-4(y-2)+4(z-1)=9⟺2x-4y+4z-3=0$.

Chọn A.
Tam giác $ACD$ vuông tại $D$, nội tiếp đường tròn đường kính $AC=a\sqrt{2}$, bán kính đáy $R_d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cạnh bên $SA\perp (ACD)$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ACD$ là:
$$R=\sqrt{R_d^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}}=a.$$

Chọn D.
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Vì các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau $60^{\circ }$ nên $SO\perp (ABCD)$.
Đáy có đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\Rightarrow OA=\frac{5}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOA$:
$$SO=OA\tan 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{2},SA=\frac{OA}{\cos 60^{\circ }}=5.$$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
$$R=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{25}{2\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$$

Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $I$, khi đó $CD$ là đường kính của mặt cầu nên tam giác $CBD$ vuông tại $B\Rightarrow BD\perp BC$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}$.
Mặt khác: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IC}$, và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}$.
Do đó: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IC})\cdot (\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC})=A{I}^2-I{C}^2=I{A}^2-R^2$.
Chọn A.

Xét tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$. Gọi $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$, ta có $SH\perp (ABC)$.
$AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều:
$R=\frac{S{A}^2}{2SH}=\frac{a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}}=\frac{3a}{2\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều là:
$S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^2=4\pi \cdot \frac{6a^2}{16}=\frac{3\pi a^2}{2}$.
Chọn A.

Chọn A.
Gọi $R_{day}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABC$.
Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$:
$2R_{day}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{2a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4a\Rightarrow R_{day}=2a$.
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
$R=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{4a^2+\frac{3a^2}{4}}=\sqrt{\frac{19a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{19}}{2}$.

Chọn C.
Đường tròn $(C)$ có tâm $O$ và bán kính $r=\frac{AB}{2}=2$.
$H$ đối xứng với $O$ qua $A$ nên $A$ là trung điểm $OH$, suy ra $OH=2OA=2\cdot 2=4$.
Mặt cầu $(S_0)$ đi qua đường tròn $(C)$ nên tâm $I$ của mặt cầu phải nằm trên trục của đường tròn $(C)$ (đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$).
Do đó $OI\perp (P)$.
Mặt khác theo giả thiết $SH\perp (P)$ nên $OI\parallel SH$.
Trong mặt phẳng $(SH,OI)$ chứa $H,O,S,I$:
Kẻ $IK\perp SH$ tại $K$, ta có tứ giác $OIKH$ là hình chữ nhật (vì $\widehat{IOH}=\widehat{IKH}=\widehat{SHO}=90^{\circ }$).
Đặt $OI=x$ ($x>0$), ta có $HK=OI=x$ và $IK=OH=4$.
Vì $SH=4$ nên $SK=|SH-HK|=|4-x|$.
Bán kính mặt cầu $R$ thỏa mãn:
- Với điểm thuộc $(C)$: $R^2=I{A}^2=O{I}^2+O{A}^2=x^2+2^2=x^2+4$.
- Với điểm $S$: $R^2=I{S}^2=I{K}^2+S{K}^2=4^2+(4-x{)}^2=16+(x-4{)}^2$.
Do đó ta có phương trình:
$x^2+4=16+x^2-8x+16\iff 8x=28\iff x=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}$.
Bán kính mặt cầu là:
$R^2={\left(\frac{7}{2}\right)}^2+4=\frac{49}{4}+4=\frac{65}{4}$.
Diện tích mặt cầu là:
$S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{65}{4}=65\pi$.

Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp qua trục đường tròn ngoại tiếp đáy và mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Cách giải: Tính $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 120^{\circ }}=a\sqrt{7}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{đ\acute{a}y}=\frac{BC}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R=\sqrt{R_{đ\acute{a}y}^2+{\left(\frac{A{A}^{\prime }}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{30}a}{3}$.
Chọn A.

Tâm $H$ của đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $I(3;-2;1)$ lên mặt phẳng $(\alpha )$, nên $H$ thuộc đường thẳng đi qua $I(3;-2;1)$ và vuông góc với $(\alpha )$ (có véctơ chỉ phương ${\vec{n}}_{\alpha }=(2;-2;-1)$), có phương trình chính tắc là $\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}$.

Chọn D.
Gọi $R_d$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Theo định lý sin trong tam giác $ABC$: $2R_d=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{3a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{3a}{\sqrt{3}/2}=2\sqrt{3}a\Rightarrow R_d=\sqrt{3}a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:
$R=\sqrt{R_d^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}a{)}^2+a^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $S=4\pi R^2=4\pi (2a{)}^2=16\pi a^2$.

a) Đúng: $AB=\sqrt{(2+1{)}^2+0^2+(-4{)}^2}=5\text{ km}$.
b) Đúng: Mặt cầu tâm $I(1;2;4)$, bán kính $R=4$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-4{)}^2=16$.
c) Sai: $IA=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{6}\approx 4,9\text{ km}>4\text{ km}$.
d) Đúng: Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $AB$ là $d(I,AB)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI}]|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{\sqrt{500}}{5}=2\sqrt{5}\approx 4,47\text{ km}>4\text{ km}$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R=3$.
Ta có $OM=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}>R=3$, hoặc nếu điểm $M$ nằm trong hay ngoài mặt cầu:
Chu vi đường tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ lớn nhất, tức là $OH=OM\Rightarrow (P)\perp OM$ tại $M$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ nhận $\overrightarrow{OM}=(1;2;3)$ làm véctơ pháp tuyến có phương trình:
$1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0\iff x+2y+3z-14=0.$
Chọn A.

Chọn B.
Tính độ dài đoạn thẳng $MI$:
$$MI=\sqrt{(2-0{)}^2+(-3-1{)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.$$
Đặt độ dài các đoạn tiếp tuyến $MA=MB=MC=l$.
Xét hình chóp đỉnh $M$ với ba cạnh bên bằng nhau $MA=MB=MC=l$ và các góc ở đỉnh:
- $\widehat{AMB}=60^{\circ }⟹AB=l$.
- $\widehat{BMC}=90^{\circ }⟹BC=l\sqrt{2}$.
- $\widehat{CMA}=120^{\circ }⟹AC=2l\sin 60^{\circ }=l\sqrt{3}$.
Nhận thấy $A{B}^2+B{C}^2=l^2+2l^2=3l^2=A{C}^2$, nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC$ là $r_{ABC}=\frac{AC}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}$.
Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là $d=\sqrt{l^2-r_{ABC}^2}=\sqrt{l^2-\frac{3l^2}{4}}=\frac{l}{2}$.
Theo tính chất hình học tiếp tuyến mặt cầu, góc giữa đường sinh tiếp tuyến và trục là $\alpha$ với $\sin \alpha =\frac{R}{MI}$ và $\cos \alpha =\frac{l}{MI}$.
Đồng thời bán kính mặt cầu tính được là $R=3\sqrt{3}$.