Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ACD)$ đi qua $A(1;1;1)$, có vectơ $\overrightarrow{AC}=(-2;1;0)$, $\overrightarrow{AD}=(1;-2;2)$. Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=(1\cdot 2-0\cdot (-2);0\cdot 1-(-2)\cdot 2;(-2)(-2)-1\cdot 1)=(2;4;3)$. Phương trình mặt phẳng: $2(x-1)+4(y-1)+3(z-1)=0\iff 2x+4y+3z-9=0$. Chiều cao của khối lỗi là khoảng cách từ $B(4;3;2)$ đến mặt phẳng này: $h=d(B,(ACD))=\frac{|2\cdot 4+4\cdot 3+3\cdot 2-9|}{\sqrt{2^2+4^2+3^2}}=\frac{|8+12+6-9|}{\sqrt{29}}=\frac{17}{\sqrt{29}}=\frac{17\sqrt{29}}{29}\approx 3,157$ mm. Vậy chiều cao khối lỗi xấp xỉ $3,16$ mm.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q)$ có dạng $2x-4y+4z+d=0$. Khoảng cách từ $A(2,-3,4)$ đến $(P)$: $\frac{|2\cdot 2-4(-3)+4\cdot 4+d|}{\sqrt{4+16+16}}=\frac{|32+d|}{6}=3$, suy ra $|32+d|=18$, tức $d=-14$ hoặc $d=-50$. Vậy $(P)$: $2x-4y+4z-14=0$ hoặc $2x-4y+4z-50=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm BC: $M(\frac{1}{2};1;\frac{5}{2})$. Khoảng cách đến $(Oxy)$ là $|z_M|=\frac{5}{2}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{BC}=C-B=(3;-2;-3)\ne (1;-2;-3)$ → sai.
c) Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ có pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=(3;-2;-3)$: $3(x-1)-2y-3(z+2)=0\iff 3x-2y-3z-9=0$ → đúng.
d) Mặt phẳng qua $A$, song song $BC$ và vuông góc $(Oxy)$ có pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \vec{k}=(-2;-3;0)$, phương trình $2x+3y-2=0$. Mặt phẳng $3x-y-3z-1=0$ có pháp tuyến $(3;-1;-3)$ với $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=9+2+9=20\ne 0$ nên không song song $BC$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $M(\frac{1}{2};1;\frac{5}{2})$, khoảng cách đến $(Oxy)$ là $|z_M|=\frac{5}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(3;-2;-3)$, không phải $(1;-2;-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(3;-2;-3)$, qua $A(1;0;-2)$: $3x-2y-3z-9=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng phải là $2x+3y-2=0$; mặt phẳng $3x-y-3z-1=0$ không song song với $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(25;0;0)$, $D(0;15;0)$, $C(25;18;0)$ trong mặt phẳng nằm ngang, với độ sâu (cm) là tọa độ $z$. Độ sâu: $B_1$ sâu 10, $D_1$ sâu 6, $C_1$ sâu $3a$.

Mặt phẳng đi qua $A$ có dạng $z=px+qy$. Vì $B_1(25;0;10)$: $25p=10\Rightarrow p=0,4$. Vì $D_1(0;15;6)$: $15q=6\Rightarrow q=0,4$.

Vì $A,B_1,C_1,D_1$ đồng phẳng, điểm $C_1(25;18;3a)$ thuộc mặt phẳng này:
$$3a=0,4\cdot 25+0,4\cdot 18=10+7,2=17,2\Rightarrow a=\frac{17,2}{3}=\frac{86}{15}.$$

Phân số $\frac{86}{15}$ tối giản (ƯCLN$(86,15)=1$) nên $b=86$, $c=15$:
$$b-2c=86-30=56.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Vectơ pháp tuyến của (P) là n = u×v = (0·1−4·3; 4·2−2·1; 2·3−0·2) = (−12; 6; 6) ∝ (2; −1; −1), nên a đúng. Mặt phẳng qua A(0;2;1): 2x − y − z + c = 0, thay A: −2 −1 + c = 0 ⇒ c = 3, nên (P): 2x − y − z + 3 = 0, b đúng. Đường thẳng Δ qua A(0;3;2) vuông góc (P) có vectơ chỉ phương n = (2; −1; −1): x = 2t, y = 3 − t, z = 2 − t, khác phương trình đã cho, c sai. cos(Δ1, Δ2) = |u·v|/(|u||v|) = |4+0+4|/(√20·√14) = 8/√280 = 4/√70 = 2√70/35, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = [u, v] = (−12; 6; 6) cùng phương (2; −1; −1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(0;2;1) vào 2x − y − z + c = 0 được c = 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ phải có VTCP (2; −1; −1) và qua (0;3;2): x = 2t, y = 3 − t, z = 2 − t; phương trình đã cho sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos = 8/(√20·√14) = 4/√70 = 2√70/35.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(A,(P))=\frac{|2-2\cdot 1+2\cdot (-3)-6|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|-12|}{3}=4$ → đúng.
b) Vectơ pháp tuyến của $(P):x-2y+2z-6=0$ là $\vec{n}=(1;-2;2)$ → đúng.
c) $(Q)$ vuông góc $(P)$ nên ${\vec{n}}_Q=(2;b;c)\cdot (1;-2;2)=0\Rightarrow 2-2b+2c=0\Rightarrow b-c=1$. Qua $A(2;1;-3)$: $4+b-3c+d=0$; qua $N(0;2;-1)$: $2b-c+d=0$. Trừ hai phương trình: $2-b-2c=0\Rightarrow b+2c=2$. Kết hợp $b=c+1$ được $3c=1$, suy ra $c=\frac{1}{3}$, $b=\frac{4}{3}$, $d=c-2b=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}=-\frac{7}{3}$. Vậy $b+c+d=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}-\frac{7}{3}=-\frac{2}{3}\ne 1$ → sai.
d) Thay $M(2;0;2)$ vào $(P)$: $2-0+4-6=0$ → $M\in (P)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|2-2-6-6|}{3}=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(P)$, $\vec{n}=(1;-2;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được $b=\frac{4}{3},c=\frac{1}{3},d=-\frac{7}{3}$ nên $b+c+d=-\frac{2}{3}\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2-2\cdot 0+2\cdot 2-6=0$ nên $M\in (P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có S(0;0;6), B(4;0;0), D(0;8;0), A(0;0;0).

a) Mặt phẳng (SBD) cắt các trục tại B(4;0;0), D(0;8;0), S(0;0;6) nên phương trình dạng đoạn chắn là x/4 + y/8 + z/6 = 1, tức 6x + 3y + 4z = 24. Mệnh đề đưa z/5 là sai.

b) Mặt phẳng (ABS) chứa A(0;0;0), B(4;0;0), S(0;0;6) nên trùng với mặt phẳng Oxz, tức y = 0, vectơ pháp tuyến là (0;1;0) (hoặc (0;k;0) với k≠0). Vectơ (0;0;10) vuông góc với Oxz nên không phải pháp tuyến của (ABS): sai.

c) Khoảng cách từ A đến (SBD): d = |6·0+3·0+4·0−24|/√(36+9+16) = 24/√61 ≈ 3,07 ≈ 3: đúng.

d) Mặt phẳng qua A song song (SBD) có cùng pháp tuyến (6;3;4): 6x + 3y + 4z = 0, không phải 8x + 3y + 4z + 80 = 0 (mặt này không qua A vì 80 ≠ 0): sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBD) có phương trình đoạn chắn x/4 + y/8 + z/6 = 1 (6x+3y+4z=24), không phải z/5.
b) (AI giải đề cho tôi)
(ABS) trùng mặt phẳng Oxz: y = 0, pháp tuyến (0;1;0), không phải (0;0;10).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(SBD)) = 24/√61 ≈ 3,07 ≈ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A song song (SBD) là 6x + 3y + 4z = 0; phương trình 8x+3y+4z+80=0 không qua A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD với S(0;0;5), A(0;0;0), B(4;0;0), D(0;8;0), suy ra C(4;8;0).
a) Mặt phẳng (SBD) đi qua B(4;0;0), D(0;8;0), S(0;0;5) nên có phương trình theo đoạn chắn: x/4 + y/8 + z/5 = 1, tức 10x + 5y + 8z = 40. Kiểm tra: S(0;0;5): 8·5 = 40 ✓. Đúng.
b) (ABCD) là mặt phẳng Oxy (z = 0), vectơ pháp tuyến có dạng (0;0;k), ví dụ n = (0;0;10). Đúng.
c) C(4;8;0). Khoảng cách từ C đến (SBD): 10x+5y+8z−40=0 là d = |10·4 + 5·8 + 0 − 40| / √(100+25+64) = 40/√189 ≈ 2,91 ≈ 3. Đúng.
d) Mặt phẳng qua C(4;8;0) song song (SBD) có pháp tuyến (10;5;8): 10(x−4) + 5(y−8) + 8z = 0 ⇔ 10x + 5y + 8z − 80 = 0, khác 8x + 3y + 4z + 80 = 0. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBD) đi qua B(4;0;0), D(0;8;0), S(0;0;5) nên có phương trình x/4 + y/8 + z/5 = 1 ⇔ 10x + 5y + 8z = 40.
b) (AI giải đề cho tôi)
(ABCD) trùng với mặt phẳng Oxy (z = 0) nên một vectơ pháp tuyến là n = (0;0;10).
c) (AI giải đề cho tôi)
C(4;8;0); d(C,(SBD)) = |10·4 + 5·8 − 40|/√(10²+5²+8²) = 40/√189 ≈ 2,91 ≈ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua C(4;8;0) song song với (SBD) là 10x + 5y + 8z − 80 = 0, không phải 8x + 3y + 4z + 80 = 0.

a) Đúng. Tọa độ của điểm $D$ là $(0;3;12)$.
b) Sai. $A(0;0;12)$, $B(4;0;12)\Rightarrow M(2;0;12)$. $D(0;3;12)\Rightarrow \overrightarrow{MD}(-2;3;0)$, khác $(2;-3;0)$.
c) Đúng. $C^{\prime }(4;3;0)$. $(MD{C}^{\prime })$ có hai VTCP là $\overrightarrow{MD}(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}(2;3;-12)$, tích có hướng $(-36;-24;-12)$, suy ra $\vec{n}=-\frac{1}{12}\cdot (-36;-24;-12)=(3;2;1)$.
d) Sai. Mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $3x+2y+z-18=0$. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $$d(A^{\prime };(MD{C}^{\prime }))=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81<5$$
a) Đúng. Tọa độ của điểm $D$ là $(0;3;12)$.
b) Sai. $A(0;0;12)$, $B(4;0;12)\Rightarrow M(2;0;12)$. $D(0;3;12)\Rightarrow \overrightarrow{MD}(-2;3;0)$, khác $(2;-3;0)$.
c) Đúng. $C^{\prime }(4;3;0)$. $(MD{C}^{\prime })$ có hai VTCP là $\overrightarrow{MD}(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}(2;3;-12)$. $$\left[\overrightarrow{MD},\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& -12\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ -12& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 2& 3\end{array}\right|\right)=(-36;-24;-12).$$ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$ là $$\vec{n}=-\frac{1}{12}\cdot \left[\overrightarrow{MD},\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\right]=-\frac{1}{12}\cdot (-36;-24;-12)=(3;2;1).$$
d) Sai. Mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$ đi qua điểm $C^{\prime }(4;3;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;2;1)$ $\Rightarrow$ có phương trình: $3(x-4)+2(y-3)+1(z-0)=0\iff 3x+2y+z-18=0$. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $$d(A^{\prime };(MD{C}^{\prime }))=\frac{\left|3\cdot 0+2\cdot 0+0-18\right|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81<5$$

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(R)$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P=(1;-1;-1)$ và ${\vec{n}}_Q=(2;-1;1)$, nên ${\vec{n}}_R={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(-2;-3;1)$. Mặt phẳng $(R)$: $-2x-3y+z+d=0$. Đi qua $A(1;0;-2)$: $-2(1)+0+(-2)+d=0\Rightarrow d=4$. Vậy $(R)$: $-2x-3y+z+4=0$, tức $a=-2$, $b=-3$, $c=1$. Do đó $a+b+c=-2-3+1=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(1+t;2-t;3+2t)$ thuộc $d$. Khoảng cách từ $M$ đến $(P):2x+2y+z=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2(1+t)+2(2-t)+(3+2t)|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|9+2t|}{3}=3\Rightarrow |9+2t|=9\Rightarrow t=0$ hoặc $t=-9$. Với $t=0$: $M(1;2;3)$, thỏa $a>0$, khi đó $abc=1\cdot 2\cdot 3=6$. Với $t=-9$: $M(-8;11;-15)$ có $a<0$, loại. Vậy $abc=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(2;1;5) đến (P): 2x−y−2z+13=0 là d = |2·2−1−2·5+13|/√(4+1+4) = |6|/3 = 2. Vùng quan sát trên (P) là hình tròn tạo bởi mặt nón với đỉnh A, góc ở đỉnh 116° nên nửa góc 58°. Bán kính hình tròn: r = d·tan58° = 2·tan58° ≈ 2·1,60033 ≈ 3,2006. Đường kính: 2r ≈ 6,401 ≈ 6,4 (làm tròn đến hàng chục phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x,y,z)=3x+4y-12z+5$, mặt phẳng $(P):f=0$ có pháp tuyến $\vec{n}=(3;4;-12)$ với $|\vec{n}|=\sqrt{9+16+144}=13$. Ta có $f(A)=3\cdot 2+4\cdot 4-12\cdot (-1)+5=6+16+12+5=39$, nên khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là $\frac{39}{13}=3$. Vì $M\in (P)$ nên $f(M)=0$. Điểm $B$ thỏa $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}$ tức $B=A+3(M-A)$. Do $f$ tuyến tính: $f(B)=f(A)+3(f(M)-f(A))=39+3(0-39)=-39$. Vậy $d(B,(P))=\frac{|f(B)|}{13}=\frac{39}{13}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi mặt phẳng cắt các trục tại A(p;0;0), B(0;q;0), C(0;0;r) với p,q,r≠0, tức ax+by+cz=14 với a=14/p, b=14/q, c=14/r. Vì M(1;2;3) là trực tâm tam giác ABC: AM⊥BC nên (1−p;2;3)·(0;−q;r)=0 ⇒ −2q+3r=0 ⇒ 2q=3r. BM⊥AC: (1;2−q;3)·(−p;0;r)=0 ⇒ −p+3r=0 ⇒ p=3r. CM⊥AB: (1;2;3−r)·(−p;q;0)=0 ⇒ −p+2q=0, thỏa mãn với p=2q=3r. M thuộc (α): 14/p+28/q+42/r=14. Thay q=3r/2, p=3r: 14/(3r)+56/(3r)+126/(3r)=196/(3r)=14 ⇒ r=14/3, p=14, q=7. Suy ra a=14/14=1, b=14/7=2, c=14/(14/3)=3. Kiểm tra: a+2b+3c=1+4+9=14 đúng. Vậy T=a+b+c=1+2+3=6.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Mặt phẳng qua M(1;1;1) vuông góc với Ox có dạng x=1, tức x-1=0, không phải x+1=0.
b) Đúng. Trung điểm I của MN là I(2;1;3), bán kính R = MN/2 với MN = √(4+0+16) = 2√5 nên R² = 5. Mặt cầu: (x-2)²+(y-1)²+(z-3)²=5.
c) Sai. d(M,(P)) = |1-2+2-1|/√(1+4+4) = 0/3 = 0 (M nằm trên (P)), không phải 2/3.
d) Đúng. Hình chiếu của N(3;1;5) lên (P): x-2y+2z-1=0. Nghiệm thức tại N: 3-2+10-1 = 10, mẫu 1+4+4 = 9, t = 10/9. H = N - t(1;-2;2) = (17/9; 29/9; 25/9). T = a+b-c = (17+29-25)/9 = 21/9 = 7/3. Khớp đáp án mã đề 1204: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua M(1;1;1) vuông góc với Ox có dạng x=1, tức x-1=0, không phải x+1=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm I(2;1;3), R² = MN²/4 = 20/4 = 5, nên (x-2)²+(y-1)²+(z-3)²=5.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P)) = |1-2+2-1|/3 = 0 vì M thuộc (P), không phải 2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
t = (3-2+10-1)/9 = 10/9, H = (17/9; 29/9; 25/9), T = 21/9 = 7/3.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$. Mặt phẳng cần tìm đi qua $M(2;1;0)$ và chứa $d$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{u}$ và $\overrightarrow{AM}=(1;1;-2)$. Tính $\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{AM}=(1\cdot (-2)-2\cdot 1;2\cdot 1-2\cdot (-2);2\cdot 1-1\cdot 1)=(-4;6;1)$. Phương trình mặt phẳng: $-4(x-2)+6(y-1)+(z-0)=0\iff 4x-6y-z-2=0$. Kiểm tra: điểm $A(1;0;2)$ thuộc mặt phẳng vì $4-0-2-2=0$; điểm $M(2;1;0)$: $8-6-0-2=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng $(P):2x+2y+3z-6=0$ có VTPT $(2;2;3)$, nên $\vec{n}=(-2;-2;-3)$ cũng là VTPT (cùng phương, khác hệ số tỉ lệ $-1/2$... thực tế $\vec{n}=-(2;2;3)$). b) Thay $A(3;2;0)$: $2.3+2.2+3.0-6=4\ne 0$ nên $A$ không thuộc $(P)$ → Đúng. c) Mặt phẳng qua $A$ song song $(P)$ dạng $2x+2y+3z+d=0$ với $d=-(2.3+2.2+3.0)=-10$, tức $2x+2y+3z-10=0$; phương trình $2x+2y+3z-12=0$ cho giá trị tại $A$ bằng $-2\ne 0$ → Sai. d) Gọi $OM=a$ ($M$ trên tia $Ox$), thì $ON=2a$, $OP=4a$. Mặt phẳng $(R)$ qua các điểm $(a;0;0),(0;2a;0),(0;0;4a)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{4a}=1$. Vì $(R)$ chứa $B(1;3;-2)$: $\frac{1}{a}+\frac{3}{2a}-\frac{2}{4a}=1⟺\frac{1+1,5-0,5}{a}=1⟺a=2$. Thể tích tứ diện $OMNP$: $V=\frac{1}{6}.OM.ON.OP=\frac{1}{6}.2.4.8=\frac{32}{3}\ne 64$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(P):2x+2y+3z-6=0$ có VTPT $(2;2;3)$, nên $\vec{n}=(-2;-2;-3)=-(2;2;3)$ cũng là một VTPT của $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(3;2;0)$ vào $(P)$: $2.3+2.2+3.0-6=4\ne 0$, nên $A$ không thuộc $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A(3;2;0)$ song song $(P)$: $2x+2y+3z+d=0$ với $d=-(6+4)=-10$, tức $2x+2y+3z-10=0$, không phải $2x+2y+3z-12=0$ (vì $2.3+2.2-12=-2\ne 0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$OM=a$, $ON=2a$, $OP=4a$; $(R):\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{4a}=1$. Chứa $B(1;3;-2)$: $\frac{1+1,5-0,5}{a}=1\Rightarrow a=2$. $V=\frac{1}{6}.2.4.8=\frac{32}{3}\ne 64$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay B(0;1;-6) vào (P): 4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0, nên B thuộc (P): đúng.
b) AB = (-1;-1;-9), v = (-2;-2;-18) = 2·AB nên cùng hướng AB. Độ dài AB = √(1+1+81) = √83 ≈ 9,11 km. Trong 1 phút với vận tốc 800 m/s viên đạn đi được 800·60 = 48000 m = 48 km ≠ √83 km, nên sau một phút viên đạn đã đi qua B từ lâu (không 'đi qua điểm B' tại thời điểm đó): sai.
c) n(P) = (4;-1;2), |n| = √21, |AB| = √83. sinθ = |AB·n|/(|AB||n|) = |-4+1-18|/(√83·√21) = 21/√1743 ≈ 0,5030 → θ ≈ 30° (không phải 60°): sai.
d) Hình chiếu vuông góc của A(1;2;3) trên (Oxy) là H(1;2;0), không phải (0;2;3): sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0 nên B thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
v cùng hướng AB, |AB| = √83 ≈ 9,11 km; sau 1 phút viên đạn đi được 48 km ≠ √83 km nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = 21/(√83·√21) ≈ 0,503 → θ ≈ 30°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A trên (Oxy) là (1;2;0).

(AI giải đề cho tôi)
Δ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$, Δ' có ${\vec{u}}^{\prime }=(3;2;-2)$. Vecto pháp tuyến của (P): $\vec{n}=\vec{u}\times {\vec{u}}^{\prime }=(1\cdot (-2)-3\cdot 2;3\cdot 3-2\cdot (-2);2\cdot 2-1\cdot 3)=(-8;13;1)$. Chọn $\vec{n}=(8;-13;-1)$, (P): $8x-13y-z+d=0$. (P) qua điểm $(3;-2;1)$ trên Δ: $24+26-1+d=0\Rightarrow d=-49$. Vậy $b=-13,c=-1,d=-49$, $b+c+d=-63$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng (P): 2x+2y+3z-6=0 có VTCP (2;2;3), nên n=(-2;-2;-3) cũng là vecto pháp tuyến (cùng phương). b) Đúng: thay A(3;2;0): 2·3+2·2+3·0-6=4≠0 nên A không thuộc (P). c) Sai: (Q) song song (P) có dạng 2x+2y+3z+d=0; qua A(3;2;0): 6+4+d=0 ⇒ d=-10, vậy (Q): 2x+2y+3z-10=0, không phải -12. d) Sai: OM=t, ON=2t, OP=4t; mặt phẳng qua M(t;0;0), N(0;2t;0), P(0;0;4t) có dạng x/t + y/(2t) + z/(4t) = 1. B(1;3;-2) thuộc (R): 1/t + 3/(2t) - 1/(2t) = 1 ⇒ 2/t = 1 ⇒ t=2. Thể tích tứ diện OMNP = (1/6)·OM·ON·OP = (1/6)·2·4·8 = 32/3 ≠ 64.
a) (AI giải đề cho tôi)
n=(-2;-2;-3) cùng phương với (2;2;3) nên là vecto pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(3;2;0) vào (P): 6+4-6=4≠0 nên A không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x+2y+3z+d=0 qua A(3;2;0) ⇒ d=-10, phương trình đúng là 2x+2y+3z-10=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với OM=t, ON=2t, OP=4t và B(1;3;-2) thuộc (R) ta được t=2, V = (1/6)·2·4·8 = 32/3 ≠ 64.