Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Cho phương trình $2^{x^2}\cdot 3^{x+1}=2$. Tổng các nghiệm của phương trình bằng

Bất phương trình x3 − 9 x ln ( x + 5 ) > 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $2^x=3x-1$ bằng

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4.9  13.6  9.4  0
13 1

Tích các nghiệm của phương trình 2 x  4  3x  2 là

Phương trình log 2 ( 5 - 2 x ) = 2 - x có hai nghiệm thực x1 , x2 . Giá trị của P = x1 + x2 + x1.x2 bằng

Biết phương trình 2 log 3 x  2 log x 3  5 có ai nghiệm thực phân biệt x1  x2 . Tính
giá trị của biểu thức T  6 x12  x2  1 .

Trong âm nhạc, một *quãng tám* (octave) là khoảng cách âm thanh từ nốt Đô tới nốt Đô tiếp theo, theo thứ tự từ thấp đến cao là:
Đô – Đô# – Rê – Rê# – **Mi (E4)** – Pha – Pha# – Sol – Sol# – **La (A4)** – La# – Si – Đô
trong đó khoảng cách giữa hai nốt liên tiếp gọi là một *nửa cung* (semitone). Hai nốt cách nhau $n$ nửa cung thì tỷ lệ tần số nốt cao $f_{nc}$ và tần số nốt thấp $f_{nt}$ là $\frac{f_{nc}}{f_{nt}}=2^{\frac{n}{12}}$; cho biết tần số chuẩn của nốt La (A4) là $440\text{ Hz}$. Trên đàn guitar, dây số $1$ là nốt Mi (E4) đang bị chùng do thời tiết, tần số đo được hiện tại đang là $300\text{ Hz}$. Để căng lại dây đàn cho chuẩn, ta dùng núm xoay, và cứ vặn núm xoay $90^{\circ }$ thì nốt nhạc được tăng lên một nửa cung. Hỏi phải xoay núm của dây số $1$ một góc bao nhiêu độ để dây số $1$ trở về âm chuẩn *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)*?

Cho ba số $a,b,c$ khác 0 thoả mãn $4^a=3^b=6^c$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{c}{a}+\frac{2c}{b}$.

Dung lượng pin lithium-ion của một chiếc xe máy điện do hãng X sản xuất sau $t$ năm sử dụng được ước tính theo công thức $S(t)=S_0\cdot (0,95{)}^t$, trong đó $S_0$ là dung lượng pin khi mới mua. Nhà sản xuất khuyến cáo nên thay pin khi dung lượng còn dưới $70\%$.

Một kỹ sư cơ khí nghiên cứu quá trình làm nguội một chi tiết máy sau khi đúc. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu số nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức là: $y^{\prime }(t)=k\cdot y(t)$ ($t\ge 0,k<0$). Người ta đo được nhiệt độ chênh lệch tại thời điểm $t=10$ phút là $40^{\circ }\text{C}$. Đến thời điểm $t=20$ phút, nhiệt độ chênh lệch giảm xuống còn $10^{\circ }\text{C}$. Cho biết $y(t)=e^{g(t)}$.

Một mẫu đồng vị phóng xạ (ví dụ: Iodine-131 được sử dụng trong y tế) có khối lượng ban đầu là $800\text{ mg}$. Sau $5$ ngày, khối lượng của mẫu chất này phân rã và chỉ còn lại $400\text{ mg}$. Gọi $m(t)$ là khối lượng của mẫu chất phóng xạ tại thời điểm $t$ (ngày). Biết rằng tốc độ phân rã của mẫu chất tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó, tức là $m^{\prime }(t)=k\cdot m(t)$, với $k$ là hằng số khác $0$ và $m(t)>0$ với $t\ge 0$.

Câu 4: Để bảo tồn loài chim Sếu đầu đỏ, các nhà khoa học đã thả một số cá thể vào khu sinh thái và theo dõi sự phát triển của chúng. Gọi $y(t)$ (đơn vị: trăm cá thể) là số lượng chim tại thời điểm $t$ năm ($t\ge 0$). Tốc độ tăng trưởng của quần thể chim tỉ lệ thuận với số lượng cá thể hiện có, thỏa mãn phương trình $y^{\prime }(t)=k\cdot y(t)$ ($t\ge 0$, $k$ là hằng số dương). Qua theo dõi, các nhà khoa học ghi nhận:
Tại thời điểm $t=5$ (năm), số lượng chim là 400 cá thể.
Tại thời điểm $t=10$ (năm), số lượng chim là 800 cá thể.
Giả sử $y(t)=e^{g(t)}$ với $t\ge 0$.

Gọi $A$ và $B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y={\log }_3(5x-3)$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn $OB$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ có dạng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ (với $\frac{\sqrt{a}}{b}$ tối giản). Tính giá trị $ab$.

Câu 1. Một công ty công nghệ phát hành một video quảng cáo trên mạng xã hội. Số lượng người xem tích lũy $P(t)$ (đơn vị: người) sau thời gian $t$ (đơn vị: ngày) được mô hình hóa bởi hàm số: $P(t)=\frac{100000}{1+999\cdot e^{-0,5t}}$. Số lượng người xem tối đa dự kiến trong tệp khách hàng tiềm năng là 100000 người. Tốc độ lan truyền video tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $P^{\prime }(t)$.

Câu 3. Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $2000$ con. Sau $2\text{ giờ}$, số lượng vi khuẩn tăng lên $32000$ con. Gọi $f(t)$ là số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết rằng tốc độ tăng trưởng của quần thể tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, nghĩa là $f^{\prime }(t)=kf(t)$, với $k$ là hằng số và $f(t)>0$ với mọi $t\ge 0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm $2024$ được ước tính bởi công thức $N(t)=100e^{0,012t}$ ($N(t)$ được tính bằng triệu người, $0\le t\le 50$). Đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là $1,6$ triệu người/năm?

Nhiệt độ $T{}^{\circ }\text{C}$ của nước trong ấm được mô tả bởi hàm số theo thời gian như sau:
• Giai đoạn 1 (bật bếp): Kể từ lúc bắt đầu bật bếp ($t_1=0$), nhiệt độ nước tuân theo công thức $T_1(t_1)=95-75e^{-t_1}$, trong đó $t_1$ là thời gian được tính từ lúc bật bếp (đơn vị là phút).
• Giai đoạn 2 (tắt bếp): Khi nước trong ấm đạt $85^{\circ }\text{C}$, bếp được tắt ngay lập tức. Kể từ thời điểm tắt bếp này, nhiệt độ nước tuân theo công thức $T_2(t_2)=15+A{e}^{-\frac{t_2}{20}}$, trong đó $A$ là hằng số thực và $t_2$ là thời gian được tính từ lúc tắt bếp (đơn vị là phút).

Hỏi phương trình $49^x-2\cdot 7^{x+3}+685=0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Đồ thị các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ được cho như hình dưới.

Diện tích tam giác $ABC$ gần nhất với giá trị nào sau đây?