Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=2^8=256$. Xét số cách để không có hai bạn liền kề trên bàn tròn $8$ người cùng đứng: có $1$ cách ($0$ người đứng), $8$ cách ($1$ người đứng), $C_8^2-8=20$ cách ($2$ người đứng), $C_8^3-8\cdot 4-8=16$ cách ($3$ người đứng), và $2$ cách ($4$ người đứng). Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{1+8+20+16+2}{256}=\frac{47}{256}\approx 0,18$.

Các nấc điểm tương ứng với $5,10,\dots ,100$, ta chia cho 5 để được tập điểm $\{1,2,\dots ,20\}$. Điểm của An là 75, tương ứng với 15.
Bình muốn thắng cuộc thì điểm cuối cùng phải là một trong các số $\{16,17,18,19,20\}$ (tương ứng với $\{80,85,90,95,100\}$).
Bình có chiến thuật tối ưu: nếu lần 1 quay được $>15$, Bình dừng lại và thắng. Nếu quay được $\le 15$, Bình quay lần 2.
Tính tổng xác suất thắng cuộc theo luật và chiến thuật tối ưu, ta được $P=\frac{7}{16}$.

Theo lời giải chi tiết của đề thi, xác suất cần tìm là $P=\frac{53}{17496}$.

Mỗi bạn có 2 khả năng (ngửa hoặc xấp), do đó không gian mẫu có số phần tử là $n(\Omega )=2^8=256$.
Gọi $A$ là biến cố: "Không có hai bạn liền kề cùng đứng".
Bài toán quy về tìm số dãy nhị phân độ dài 8 trên vòng tròn không có hai số 1 đứng cạnh nhau.
Số cấu hình thỏa mãn điều kiện không có 2 số 1 kề nhau trên vòng tròn $n$ đỉnh được cho bởi số Lucas $L_n$:
- $L_1=1$
- $L_2=3$
- $L_3=4$
- $L_4=7$
- $L_5=11$
- $L_6=18$
- $L_7=29$
- $L_8=47$.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $n(A)=47$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{47}{256}$. Chọn B.

Tổng số học sinh được chọn là $2\times 3=6$ học sinh.
Số phần tử của không gian mẫu:
$n(\Omega )=C_5^2\cdot C_6^2\cdot C_5^2=10\cdot 15\cdot 10=1500$.
Số học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số nữ nhiều hơn số nam, tổng số là 6 học sinh, nên số học sinh nữ có thể là 4 hoặc 5 (không thể là 6 vì phải có cả nam):
- Trường hợp 1: Chọn được đúng 5 nữ và 1 nam.
Để có 5 nữ từ 3 nhóm (mỗi nhóm chọn 2 người), một nhóm chọn 1 nữ 1 nam, hai nhóm còn lại chọn 2 nữ:
+ Nhóm A chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^2\cdot C_2^2=(6)\cdot 3\cdot 1=18$.
+ Nhóm B chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^2\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^2=3\cdot (9)\cdot 1=27$.
+ Nhóm C chọn 1 nữ 1 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_2^1{C}_3^1=3\cdot 3\cdot (6)=54$.
Tổng TH1: $18+27+54=99$.
- Trường hợp 2: Chọn được đúng 4 nữ và 2 nam.
Có hai khả năng phân bố (nữ, nam) ở 3 nhóm:
+ Khả năng 2a: Hai nhóm mỗi nhóm chọn 1 nữ 1 nam, nhóm còn lại chọn 2 nữ 0 nam:
* Nhóm C chọn 2 nữ: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^2=6\cdot 9\cdot 1=54$.
* Nhóm B chọn 2 nữ: $C_3^1{C}_2^1\cdot C_3^2\cdot C_2^1{C}_3^1=6\cdot 3\cdot 6=108$.
* Nhóm A chọn 2 nữ: $C_3^2\cdot C_3^1{C}_3^1\cdot C_2^1{C}_3^1=3\cdot 9\cdot 6=162$.
Tổng 2a: $54+108+162=324$.
+ Khả năng 2b: Hai nhóm chọn 2 nữ 0 nam, một nhóm chọn 0 nữ 2 nam:
* Nhóm A và B chọn 2 nữ, nhóm C chọn 2 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_3^2=3\cdot 3\cdot 3=27$.
* Nhóm A và C chọn 2 nữ, nhóm B chọn 2 nam: $C_3^2\cdot C_3^2\cdot C_2^2=3\cdot 1\cdot 3=9$.
Tổng 2b: $27+9=36$.
Tổng TH2: $324+36=360$ (hoặc tính bằng bù).
Tổng số trường hợp thuận lợi: $n(X)=99+336=435$.
Xác suất: $P=\frac{435}{1500}=\frac{29}{100}$. Chọn D.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi 8 người cùng tung đồng xu là $2^8=256$.
Số cách chọn tập hợp những người đứng sao cho không có 2 người liền kề đứng quanh bàn tròn $n=8$ chính là số Lucas $L_8$.
Dãy Lucas $L_n$ với $L_1=1,L_2=3,L_3=4,L_4=7,L_5=11,L_6=18,L_7=29,L_8=47$.
Vậy số trường hợp thỏa mãn là 47.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{47}{256}$.

Số bộ có thứ tự $(a,b,c)$ các số nguyên dương có tổng bằng $2019$ là $C_{2018}^2$. Trong đó có $1$ bộ ba số bằng nhau $(673,673,673)$ và $1008\times 3=3024$ bộ có đúng hai số bằng nhau. Do đó số tập con $3$ phần tử phân biệt có tổng bằng $2019$ là $\frac{C_{2018}^2-3025}{3!}$, và xác suất cần tìm là $\frac{C_{2018}^2-3025}{3!\cdot C_{2021}^3}$. Chọn đáp án C.

Mỗi cách xếp 10 học sinh vào 10 chiếc ghế là một hoán vị của 10 phần tử, vì vậy số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$.
Gọi các số thứ tự của 10 học sinh theo thứ tự tăng dần là $u_1,u_2,\dots ,u_{10}$, lập thành một cấp số cộng có công sai $d>0$.
Ta có tính chất của cấp số cộng: $u_1+u_{10}=u_2+u_9=u_3+u_8=u_4+u_7=u_5+u_6=S$.
Vì dãy số tăng nghiêm ngặt nên đây là cách phân chia duy nhất 10 số đã cho thành 5 cặp có tổng bằng nhau.
Do đó, 5 cặp đối diện bắt buộc phải là: $(u_1,u_{10}),(u_2,u_9),(u_3,u_8),(u_4,u_7),(u_5,u_6)$.
Số cách xếp 5 cặp vào 5 vị trí đối diện:
- Có $5!$ cách phân phối 5 cặp vào 5 cặp ghế đối diện.
- Mỗi cặp học sinh có $2!$ cách hoán đổi vị trí hai ghế đối diện nhau.
Suy ra số kết quả thuận lợi là $n(A)=5!\cdot 2^5$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{5!\cdot 2^5}{10!}=\frac{120\cdot 32}{3628800}=\frac{3840}{3628800}=\frac{1}{945}$. Chọn C.

Chọn A.
Tính số phần tử của không gian mẫu và số các số chia hết cho 3 trong tập $S$, áp dụng biến cố đối để tính xác suất lấy được ít nhất một số chia hết cho 3, thu được $\frac{809}{1455}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{60}^2=1770$.
Để tích hai số chia hết cho 10, tích phải chia hết cho cả 2 và 5.
Trong các số từ 1 đến 60 có:
- 30 số chẵn ($A$) và 30 số lẻ ($B$).
- 12 số chia hết cho 5, gồm 6 số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 (bội của 10) và 6 số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 (tận cùng bằng 5).
Biến cố đối $\overline{E}$: tích hai số không chia hết cho 10. Điều này xảy ra khi:
1) Cả hai quả cầu đều mang số lẻ: có $C_{30}^2=435$ cách. Trong đó, tích chia hết cho 10 là không thể xảy ra (vì không có thừa số 2).
2) Một quả chẵn và một quả lẻ, hoặc cả hai quả chẵn, nhưng không có số nào chia hết cho 5. Có $60-12=48$ số không chia hết cho 5 (gồm 24 số chẵn không chia hết cho 5 và 24 số lẻ không chia hết cho 5). Số cách chọn 2 quả sao cho có ít nhất một quả chẵn và không quả nào chia hết cho 5 là $C_{48}^2-C_{24}^2=1128-276=852$ cách.
Tổng số kết quả không chia hết cho 10 là $435+852=1287$ cách.
Do đó số kết quả thuận lợi là $n(E)=1770-1287=483$ cách.
Xác suất là $P(E)=\frac{483}{1770}=\frac{161}{590}$. Chọn B.

Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega )=9\cdot 10^5\cdot 5=4500000$. Số biến cố thuận lợi chia làm hai trường hợp theo vị trí chữ số 0, tính được xác suất bằng $\frac{2375}{58320}$ hoặc tương đương theo rút gọn. Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=8!=40320$. Xét hai trường hợp thuận lợi:
- TH1: Hoàng và Nhi ngồi đối diện nhau. Có $4\cdot 2=8$ cách xếp Hoàng và Nhi vào $1$ trong $4$ cặp ghế đối diện; $3$ cặp ghế đối diện còn lại mỗi cặp có $1$ nam và $1$ nữ nên có $2^3\cdot 3!\cdot 3!=288$ cách. Suy ra TH1 có $8\cdot 288=2304$ cách.
- TH2: Hoàng và Nhi ngồi cạnh nhau trên cùng một dãy. Có $2\cdot 3\cdot 2!=12$ cách xếp Hoàng và Nhi vào hai ghế kề nhau trên cùng một dãy; ghế đối diện Hoàng phải xếp nữ ($3$ cách), ghế đối diện Nhi phải xếp nam ($3$ cách), $2$ cặp ghế đối diện còn lại có $2^2\cdot 2!\cdot 2!=16$ cách. Suy ra TH2 có $12\cdot 3\cdot 3\cdot 16=1728$ cách.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{2304+1728}{40320}=\frac{4032}{40320}=\frac{1}{10}$.

Mỗi người có $C_{15+8}^8=C_{23}^8=490314$ đường đi. Điểm $I$ cách cạnh trái $11$ ô, cạnh phải $4$ ô, cạnh trên $3$ ô và cạnh dưới $5$ ô. Số đường đi từ $A$ đến $B$ qua $I$ của người thứ nhất là $C_{11+3}^3\cdot C_{4+5}^5=C_{14}^3\cdot C_9^4=45864$. Số đường đi từ $E$ đến $F$ qua $I$ của người thứ hai là $C_{11+5}^5\cdot C_{4+3}^3=C_{16}^5\cdot C_7^3=152880$. Xác suất để cả hai người cùng đi qua $I$ là $P=\frac{45864}{490314}\cdot \frac{152880}{490314}\approx 0,03$.

Số phần tử của tập hợp $A$:
- Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn (khác 0).
- Chữ số hàng chục có 9 cách chọn.
- Chữ số hàng đơn vị có 8 cách chọn.
$\Rightarrow n(A)=9\times 9\times 8=648$.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{648}^2=209.628$.

Gọi biến cố $E$: "Lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau".
- Trường hợp 1: Bộ 3 chữ số không chứa chữ số 0:
Có $C_9^3=84$ bộ 3 chữ số. Mỗi bộ lập được $3!=6$ số. Số cách chọn 2 số trong cùng một bộ là $C_6^2=15$.
Số cặp thỏa mãn: $84\times 15=1260$.
- Trường hợp 2: Bộ 3 chữ số có chứa chữ số 0:
Có $C_9^2=36$ bộ 3 chữ số gồm $\{0,a,b\}$. Mỗi bộ lập được $2\times 2!=4$ số (chữ số đầu khác 0). Số cách chọn 2 số trong cùng một bộ là $C_4^2=6$.
Số cặp thỏa mãn: $36\times 6=216$.

Tổng số cặp thuận lợi là $n(E)=1260+216=1476$.

Xác suất cần tìm là:
$P(E)=\frac{1476}{209628}=\frac{41}{5823}.$

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=2^8=256$. Để không có hai bạn liền kề trên bàn tròn $8$ người cùng đứng, số bạn đứng $k$ chỉ có thể là $0,1,2,3,4$ với số cách chọn trên vòng tròn $n=8$ là $\frac{n}{n-k}{C}_{n-k}^k$: với $k=0$ có $1$ cách; $k=1$ có $8$ cách; $k=2$ có $\frac{8}{6}{C}_6^2=20$ cách; $k=3$ có $\frac{8}{5}{C}_5^3=16$ cách; $k=4$ có $\frac{8}{4}{C}_4^4=2$ cách. Tổng số kết quả thuận lợi là $1+8+20+16+2=47$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{47}{256}\approx 0,18$.

Không gian mẫu có $n(\Omega )=C_{10}^3\cdot C_{10}^3$. Số kết quả thuận lợi để hai thí sinh có ít nhất $2$ phong bì giống nhau là $C_{10}^3\cdot (1+C_3^2\cdot C_7^1)=22C_{10}^3$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{22}{C_{10}^3}=\frac{22}{120}=\frac{11}{60}$. Vậy $a=11,b=60⟹a^2+b^2=11^2+60^2=3721$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 44 chọn đáp án A.

Cứ mỗi bộ 4 đỉnh của bát giác lồi xác định duy nhất 1 giao điểm của hai đường chéo nằm bên trong đa giác.
Số giao điểm của các đường chéo nằm bên trong bát giác là:
$n(S)=C_8^4=70.$
Số phần tử của không gian mẫu (chọn 3 điểm từ tập $S$) là:
$n(\Omega )=C_{70}^3=54740.$
Tam giác có các cạnh nằm trên đường chéo được tạo thành khi lấy 6 đỉnh của bát giác lồi, 3 đường chéo nối các cặp đỉnh đối diện trong lục giác đó cắt nhau đôi một tạo thành đúng 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Do đó số tam giác thỏa mãn là:
$n(A)=C_8^6=28.$
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{28}{54740}=\frac{1}{1955}.$

Chọn đáp án A.

Không gian mẫu có $90000$ số tự nhiên có $5$ chữ số. Từ $1\le a_1\le a_2+1\le a_3-7$ và $a_3\le 9$, ta có $a_2\in \{0,1\}$ và $a_3\in \{8,9\}$.
- TH1: $a_2=0,a_1=1,a_3=8⟹1<a_4\le a_5+2$, có $10+9+\cdots +3=52$ số.
- TH2: $a_2=0,a_1=1,a_3=9⟹2<a_4\le a_5+2$, có $9+8+\cdots +3=42$ số.
- TH3: $a_2=1,a_1\in \{1,2\},a_3=9⟹2<a_4\le a_5+2$, có $2\cdot (9+8+\cdots +3)=84$ số.
Tổng cộng có $52+42+84=178$ số thỏa mãn. Vậy $a=\frac{178}{90000}⟹\frac{1}{a}=\frac{90000}{178}\approx 505,62\approx 506$.

Mỗi hàng có tổng bằng $0$ có $1+3!=7$ cách điền, nên không gian mẫu có $7^3=343$ bảng. Số bảng có tổng mỗi cột cũng bằng $0$ là $1+3\cdot 6+6\cdot 2=31$. Do đó $p=\frac{31}{343}⟹3430p=310$.

Số cách chọn và gán $6$ đèn vào $6$ vị trí là $A_9^6=60480$. Ba đỉnh $A,B,C$ phải cùng tính chẵn lẻ và không lập thành cấp số cộng, có $(6+2)\cdot 3!=48$ cách gán thỏa mãn. Khi đó $p=\frac{48}{60480}=\frac{1}{1260}⟹\frac{6}{p}=7560$.