Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

Tổng $S$ là tổng của $2019$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=3$. Theo công thức: $S=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=1\cdot \frac{3^{2019}-1}{3-1}=\frac{3^{2019}-1}{2}$.

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân.
Ta có $u_1+u_2+u_3=u_1(1+q+q^2)=168$ (1).
$u_4+u_5+u_6=u_1{q}^3(1+q+q^2)=21$ (2).
Lấy (2) chia cho (1), ta được $q^3=\frac{21}{168}=\frac{1}{8}\Rightarrow q=\frac{1}{2}$.
Thay $q=\frac{1}{2}$ vào (1):
$u_1\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=168\iff u_1\cdot \frac{7}{4}=168\Rightarrow u_1=\frac{168\cdot 4}{7}=96$.

Gọi $q>0$ là công bội của cấp số nhân.
Từ hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^4=4u_1{q}^2\\ u_{1}q+u_1{q}^5=102\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{q}^2=4⟹q=2\text{ (do }q>0)\\ u_1(2+2^5)=102⟹34u_1=102⟹u_1=3\end{array}$.
Tổng 15 số hạng đầu tiên là:
$S_{15}=u_1\frac{q^{15}-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^{15}-1}{2-1}=3\cdot (32768-1)=3\cdot 32767=98301$. Chọn A.

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Ta có $\{\begin{array}{l}{u}_1(1+q^2)=10\\ u_1{q}^3(1+q^2)=80\end{array}\Rightarrow q^3=8\iff q=2\Rightarrow u_1=2$. Vậy $u_3=u_1{q}^2=2\cdot 2^2=8$. Chọn đáp án A.

Số tiền người đó rút được sau 5 năm theo thể thức lãi kép là:
$T=A(1+r{)}^n=80000000\times (1+0,069{)}^5=80000000\times (1,069{)}^5\approx 111677660\text{ đoˆˋng}.$
Số tiền gần nhất với con số này là $111680000$ đồng.

Diện tích mặt sàn các tầng lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=200$ và công bội $q=0,8$.
Diện tích mặt sàn tầng 10 là:
$u_{10}=u_1\cdot q^9=200\cdot (0,8{)}^9\approx 26,8435{\text{ m}}^2$.
Chi phí mua gạch lát sàn tầng 10 là:
$T=26,8435\times 500,000\approx 13,421,773\text{ đoˆˋng}\approx 13,5\text{ triệu đoˆˋng}$. Chọn A.

Sau $5$ năm, trữ lượng gỗ của khu rừng là $4\cdot 10^5\cdot (1+0,04{)}^5=4\cdot 10^5\cdot (1,04{)}^5{\text{ (m}}^3\text{)}$.

Cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=4$. Do đó $S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4^n-1}{3}$. Chọn đáp án C.

Diện tích các tầng lập thành cấp số nhân với $u_1=1228{\text{ m}}^2,q=\frac{1}{2},n=11$. Tổng diện tích $11$ tầng là $S_{11}=1228\cdot \frac{1-(1/2{)}^{11}}{1-1/2}\approx 2454,8{\text{ m}}^2$. Diện tích một viên gạch là $0,3\times 0,3=0,09{\text{ m}}^2$. Số viên gạch cần dùng là $\frac{2454,8}{0,09}\approx 27276$ (viên), gần nhất với $27300$ viên. Chọn đáp án A.

6 năm gồm 3 giai đoạn, mỗi giai đoạn 2 năm (24 tháng):
- Giai đoạn 1 (2 năm đầu): Lương mỗi tháng là 8.000.000 đồng. Tổng nhận: $24\cdot \mathrm{8.000.000}=\mathrm{192.000.000}$ đồng.
- Giai đoạn 2 (2 năm tiếp theo): Lương mỗi tháng là $\mathrm{8.000.000}\cdot 1,1=\mathrm{8.800.000}$ đồng. Tổng nhận: $24\cdot \mathrm{8.800.000}=\mathrm{211.200.000}$ đồng.
- Giai đoạn 3 (2 năm cuối): Lương mỗi tháng là $\mathrm{8.800.000}\cdot 1,1=\mathrm{9.680.000}$ đồng. Tổng nhận: $24\cdot \mathrm{9.680.000}=\mathrm{232.320.000}$ đồng.
Tổng số tiền nhận được: $T=\mathrm{192.000.000}+\mathrm{211.200.000}+\mathrm{232.320.000}=\mathrm{635.520.000}$ đồng.

Số tiền trả lương sau $n$ năm là $T_n=1\cdot (1+0,15{)}^n=1,15^n$ (tỷ đồng).
Để $T_n>2⟺1,15^n>2⟺n>{\log }_{1,15}2=\frac{\ln 2}{\ln 1,15}\approx 4,959$.
Vì $n$ nguyên nên $n=5$. Năm đó là năm $2016+5=2021$. Chọn B.

Chọn A.
Vì cứ 3 năm được tăng lương 1 lần nên sau 20 năm làm việc, số lần anh B được tăng lương là $[\frac{20}{3}]=6$ lần.
Lương hiện nay của anh B là:
$L=\mathrm{4.000.000}\cdot (1+7\%{)}^6=\mathrm{4.000.000}\cdot (1,07{)}^6\approx \mathrm{4.000.000}\cdot 1,50073=\mathrm{6.002.920}$ đồng/tháng.
Mức lương này gần với mức $6$ triệu đồng/tháng nhất.

Ta có $S=\frac{1-i^{2021}}{1-i}=\frac{1-i}{1-i}=1$ (vì $2021=4\cdot 505+1$).

Sau $4$ năm (từ $2021$ đến $2025$), diện tích rừng tự nhiên xấp xỉ bằng $10171757\cdot (1+0,007{)}^4\approx 10459571\text{ ha}$.

Chọn D.
Số sản phẩm bán được ở các ngày $1,2,3,\dots$ lập thành một cấp số nhân với $u_1=5$ và công bội $q=2$.
Tổng số sản phẩm bán được sau $n$ ngày là:
$S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=5\cdot \frac{2^n-1}{2-1}=5(2^n-1).$
Theo giả thiết ta có:
$S_n\ge 1200⟺5(2^n-1)\ge 1200⟺2^n-1\ge 240⟺2^n\ge 241⟺n\ge {\log }_{2}241\approx 7,91.$
Vì $n$ là số nguyên nên số ngày ít nhất là $n=8$ ngày.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 46 chọn đáp án C.

Chu kỳ tăng lương là 3 năm một lần:
- Giai đoạn 1 (năm 1 - năm 3): lương 6 triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 2 (năm 4 - năm 6): lương $6\cdot 1,1$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 3 (năm 7 - năm 9): lương $6\cdot 1,1^2$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 4 (năm 10 - năm 12): lương $6\cdot 1,1^3$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 5 (năm 13 - năm 15): lương $6\cdot 1,1^4$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 6 (năm 16 - năm 18): người đó đã trải qua đúng 5 lần tăng lương, do đó mức lương mỗi tháng là $6\cdot 1,1^5$ triệu đồng.

Chọn đáp án C.

Với $r=0,1$, tổng doanh thu $6$ tháng cuối năm (từ tháng $7$ đến tháng $12$) là $6(1+r)+6(1+r{)}^2+\cdots +6(1+r{)}^6=6(1+0,1)\frac{(1+0,1{)}^6-1}{0,1}\approx 50,9$ (tỷ đồng). Vậy doanh thu cả năm đạt khoảng $20+50,9=70,9$ tỷ đồng.

Chọn A.
Số tiền thu được sau 10 năm gồm:
- Khoản gửi đầu tiên được tính lãi trong 10 năm: $T_1=60(1+0,08{)}^{10}$.
- Khoản gửi thứ hai được tính lãi trong 5 năm: $T_2=60(1+0,08{)}^5$.
Tổng số tiền nhận được là:
$$T=60(1,08{)}^{10}+60(1,08{)}^5\approx 129,5355+88,1597=217,695\text{ triệu đoˆˋng}.$$

Chọn B.
Ta có $1200\cdot (1,06{)}^n>1600\iff (1,06{)}^n>\frac{4}{3}\iff n>{\log }_{1,06}\left(\frac{4}{3}\right)\approx 4,94$.
Số năm nguyên nhỏ nhất là $n=5$, tương ứng năm $2020+5=2025$.

Chọn D.
Khoảng thời gian từ năm 2000 đến năm 2020 là $n=20$ năm.
Theo công thức lãi kép tăng trưởng: $A=P(1+r{)}^n\iff 15000=5000(1+r{)}^{20}\iff (1+r{)}^{20}=3$.
Suy ra $1+r=3^{1/20}\approx 1,05646\Rightarrow r\approx 5,64\%$.