Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }\left(\frac{x}{2}+1\right)-\frac{2}{x+4}$. Đặt $t=\frac{x}{2}+1$, với $x\in [-3;4]$ thì $t\in \left[-\frac{1}{2};3\right]$ và $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(t)=\frac{2}{t+1}$. Đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ và đường cong $y=\frac{2}{t+1}$ cắt nhau tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $t=0,t=1,t=a\in (1;3)$ (đều là nghiệm đơn), nên hàm số $g(x)$ có $3$ điểm cực trị trên đoạn $[-3;4]$.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3m{x}^2-2(m^2+1)x+2$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ suy ra:
$$y^{\prime }(1)=0⟺3m-2(m^2+1)+2=0⟺-2m^2+3m=0⟺[\begin{array}{rl}m& =0\\ m& =\frac{3}{2}\end{array}$$
- Với $m=0$, $y=-x^2+2x-3$ có $y^{\prime }=-2x+2$, qua $x=1$ đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên đạt cực đại tại $x=1$ (loại).
- Với $m=\frac{3}{2}$, ta có $y^{\prime \prime }=6mx-2(m^2+1)=9x-2\left(\frac{9}{4}+1\right)=9x-\frac{13}{2}$.
Tại $x=1$: $y^{\prime \prime }(1)=9-\frac{13}{2}=\frac{5}{2}>0$, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\frac{3}{2}$.

Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$, hàm số $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-1$ (điểm cực đại) và không đổi dấu qua $x=2$, nên hàm số $y=f(x)$ không có điểm cực tiểu.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Ta có đạo hàm:
$$g^{\prime }(x)=(-2x+3)f^{\prime }(-x^2+3x).$$
Phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>-2x+3=0⟺x=\frac{3}{2}</td></tr><tr><td>-x^2+3x=x_0</td></tr></tbody></table>$

Dựa vào đồ thị hàm số và bảng biến thiên của $g(x)$, đạo hàm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại đúng 3 điểm.
Vậy hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực đại.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$.
Vì điểm $M(0;4)$ thuộc đồ thị hàm số nên $f(0)=a^2=4\iff a=\pm 2$.
Vì $M(0;4)$ là điểm cực trị của hàm số nên $f^{\prime }(0)=b=0$.
Để $x=0$ là điểm cực đại thì $f^{\prime \prime }(0)<0$:
Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=2a<0\iff a<0$.
Do đó ta chọn $a=-2$.
Hàm số là $f(x)=x^3-2x^2+4$.
Tính giá trị tại $x=3$:
$f(3)=3^3-2(3^2)+4=27-18+4=13$.
Chọn D.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Với $a\ge b>1$, đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $1<b\le a$ nên $0<t\le 1$.
Ta biến đổi biểu thức $P$:
$${\log }_{ab}a=\frac{1}{{\log }_a(ab)}=\frac{1}{1+{\log }_{a}b}=\frac{1}{1+t}⟹\frac{1}{{\log }_{ab}a}=1+t.$$
Và:
$${\log }_a\frac{a}{b}={\log }_{a}a-{\log }_{a}b=1-t.$$
Khi đó:
$$P=1+t+\sqrt{1-t},t\in (0;1].$$
Xét hàm số $f(t)=1+t+\sqrt{1-t}$ trên $(0;1]$:
$$f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-t}}.$$
$$f^{\prime }(t)=0⟺2\sqrt{1-t}=1⟺1-t=\frac{1}{4}⟺t=\frac{3}{4}\in (0;1].$$
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{3}{4}$.
Khi đó $b=a^t=a^{3/4}⟹k=\frac{3}{4}$.
Vì $\frac{3}{4}\in (0;1)$, ta chọn đáp án A.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-m-1=0$ có ${\Delta }^{\prime }=m+1>0\iff m>-1$. Theo hệ thức Vi-ét, $x_1+x_2=2m$ và $x_1{x}_2=m^2-m-1$. Bất phương trình trở thành $(x_1+x_2{)}^2-x_1{x}_2-3m^2+m-5\le 0\iff 4m^2-(m^2-m-1)-3m^2+m-5\le 0\iff 2m-4\le 0\iff m\le 2$. Kết hợp $m>-1,m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1;2\}$, có $3$ giá trị.

Chọn A.
Ta có $g^{\prime }(x)=(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x)=2(x-1)f^{\prime }(x^2-2x)$.
Giải phương trình $g^{\prime }(x)=0$ và xét dấu, hàm số $g(x)$ có tất cả 7 điểm cực trị.

Chọn D.
Ta có $g(x)=2f(x+2)+x^2+4x+3$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x+2)+2x+4=2[f^{\prime }(x+2)+(x+2)]$.
Phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x+2)=-(x+2)$.
Từ đồ thị hàm số, đường thẳng $y=-u$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(u)$ tại các điểm xác định.
Lập bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$, suy ra hàm số có đúng một điểm cực tiểu.

- Trường hợp 1: $m=0\Rightarrow y=-3x^2-5$. Đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới, chỉ có điểm cực đại, không có cực tiểu (loại).
- Trường hợp 2: $m\ne 0$. Hàm số trùng phương chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi hệ số $a>0$ và $b\ge 0$:
$\{\begin{array}{l}m>0\\ m-3\ge 0\end{array}\iff m\ge 3$.
Vậy $m\ge 3$.
Chọn D.

Chọn C.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x^{2021}(x-1{)}^{2020}(x+1)=0$ có 3 nghiệm:
- $x=0$: nghiệm bội lẻ (bội 2021), do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=0$.
- $x=1$: nghiệm bội chẵn (bội 2020), do đó $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=1$.
- $x=-1$: nghiệm bội lẻ (bội 1), do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-1$.
Vậy hàm số đã cho có đúng 2 điểm cực trị.

Chọn C.
Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x+m$.
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt:
${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-3m=9-3m>0\iff m<3$.
Theo định lý Vi-ét:
$\{<table><tbody><tr><td>x_1+x_2=2</td></tr><tr><td>x_1{x}_2=\frac{m}{3}</td></tr></tbody></table>$
Theo giả thiết:
$x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=10\iff (x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2=10\iff 2^2-3\cdot \frac{m}{3}=10\iff 4-m=10\iff m=-6$.
Giá trị $m=-6$ thỏa mãn điều kiện $m<3$.
Do đó $m_0=-6\in (-7;-1)$.

Ta có $y=x-3+\frac{1}{x+1}\Rightarrow y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Hai điểm cực trị là $A(0;-2)$ và $B(-2;-6)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$, $\overrightarrow{AM}=(1;-1)\Rightarrow S_{△MAB}=\frac{1}{2}|(-2)(-1)-(-4)(1)|=3$.

c) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$.
Từ $f(1)=0$ và $f^{\prime }(1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}b+c=-3\\ 2b+c=-3\end{array}\iff b=0,c=-3\Rightarrow f(x)=x^3-3x+2$.
a) Đúng: $f(2)=8-6+2=4$ nên đồ thị đi qua $I(2;4)$.
b) Sai: Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;0)$ và $(-1;4)$ là $2x+y-2=0\Rightarrow d(O,d)=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
d) Sai: Hai điểm cực trị là $A(1;0),B(-1;4)\Rightarrow AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

Chọn D.
Ta có $F^{\prime }(x)=f(x)=2021^x(x-3)(x+3)(x-1)(x-3)=2021^x(x-3{)}^2(x+3)(x-1)$.
Phương trình $F^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm thực là $x=3,x=-3,x=1$.
Vì $x=3$ là nghiệm bội chẵn (bội 2) nên $F^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=3$.
Tại $x=-3$ và $x=1$, $F^{\prime }(x)$ là các nghiệm đơn nên đổi dấu.
Vậy hàm số $F(x)$ có đúng 2 điểm cực trị.

Chọn B.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-2020)-4$.
Cho $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x-2020)=4$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(t)$, đường thẳng $y=4$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ $t=-1$ và cắt đồ thị tại một điểm $t=t_0>1$.
- Tại điểm tiếp xúc $t=-1$, $f^{\prime }(t)\le 4$ ở cả hai phía lân cận nên $g^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
- Tại điểm cắt $t=t_0$, $f^{\prime }(t)$ tăng và cắt qua đường thẳng $y=4$, làm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương.
Do đó hàm số $g(x)$ chỉ có đúng 1 điểm cực tiểu (tại $x=2020+t_0$).

Ta có $u(x)=|2x-1|+2\ge 2$. Tại $x=\frac{1}{2}$ thì $u\left(\frac{1}{2}\right)=2$, mà hàm số $f(u)$ không xác định tại $u=2$ nên $g(x)$ không xác định tại $x=\frac{1}{2}$. Với $x\ne \frac{1}{2}$ thì $u(x)>2$; trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm số $f(u)$ chỉ có duy nhất $1$ điểm cực trị tại $u=4$. Phương trình $|2x-1|+2=4⟺|2x-1|=2$ có $2$ nghiệm phân biệt $x=\frac{3}{2}$ và $x=-\frac{1}{2}$, tại đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu. Vậy hàm số $g(x)$ có đúng $2$ điểm cực trị.

Chọn C.
Ta có:
$$y^{\prime }=\frac{13(x^2+1)-2x(13x-9)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-13x^2+18x+13}{(x^2+1{)}^2}.$$
Giả sử hai điểm cực trị là $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$, khi đó $x_1,x_2$ là nghiệm của $-13x^2+18x+13=0$.
Tại điểm cực trị ta có $y=\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}=\frac{13}{2x}$.
Ta có:
$$y_1=\frac{13}{2x_1}=\frac{13x_1^2}{2x_1^3}=\frac{13}{2}{x}_1-9.$$
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình:
$$y=\frac{13}{2}x-9\iff 13x-2y-18=0.$$
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $AB$ là:
$$d(O,AB)=\frac{|-18|}{\sqrt{13^2+(-2{)}^2}}=\frac{18}{\sqrt{173}}.$$

Chọn C.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{3}{x}^2$, $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^2$.
Số nghiệm của $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^2$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và đồ thị parabol $y=\frac{1}{3}{x}^2$.
Theo đồ thị, hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $a<b<c$.
Qua các điểm đó, $g^{\prime }(x)$ đổi dấu lần lượt là: âm sang dương tại $a$, dương sang âm tại $b$, và âm sang dương tại $c$.
Do đó hàm số có 2 điểm cực tiểu (tại $x=a$ và $x=c$).


Chọn D.
Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=f(|x|-1)$ bằng $2k+1$, trong đó $k$ là số điểm cực trị dương của hàm số $h(x)=f(x-1)$.
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị là $x_1<x_2<x_3$ với $x_1\in (-1;0)$, $x_2\in (0;1)$, $x_3>1$.
Khi đó hàm số $h(x)=f(x-1)$ có các điểm cực trị là $x_i+1$.
Vì $x_1>-1$ nên $x_1+1>0$, $x_2+1>0$, $x_3+1>0$. Cả 3 điểm cực trị đều dương, suy ra $k=3$.
Vậy số điểm cực trị của hàm số $y=f(|x|-1)$ là $2\cdot 3+1=7$.