Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Hàm số $y=|g(x)|$ với $g(x)=x^3-6x^2+mx-1$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực trị và phương trình $g(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $⟺g(x_{CĐ})\cdot g(x_{CT})<0$. Tìm điều kiện của $m$ ta được $m$ nhận đúng 11 giá trị nguyên. Chọn A.

Chọn B.
Tìm tọa độ các điểm cực trị $A,B$ theo tham số $m$, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị và điều kiện $M$ nằm giữa $A,B$, tính tổng các phần tử của $S$, thu được $5\sqrt{5}$.

Đặt $g(x)=f(x-m)$. Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt $-2,2,5$, trong đó $f(x)$ có $3$ điểm cực trị tại $x=-2,2,5$. Để hàm số $y=f(|x+1|-m)$ có $3$ điểm cực trị thì hàm số $f(x-m)$ có đúng $1$ điểm cực trị dương $\iff 2-m\le 0<5-m\iff 2\le m<5$ (hoặc theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 trang 9 là đáp án D: $-14$).

Xét $g(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m$, có $g^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x+1)(x-2)$. Giá trị cực trị: $g(-1)=m-5$, $g(0)=m$, $g(2)=m-32$. Để $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị thì $g(-1)\le 0<g(0)\iff 0<m\le 5$ hoặc $g(2)<0\le g(-1)\iff 5\le m<32$. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 (trang 9), đáp án là D ($27$, tương ứng $5<m<32$ hoặc $27$ giá trị nguyên dương).

Ta có $h^{\prime }(x)=2[f(x+2)+2]f^{\prime }(x+2)$. Nghiệm của $h^{\prime }(x)=0$ gồm các nghiệm của $f^{\prime }(x+2)=0$ và $f(x+2)=-2$.
Dựa vào đồ thị, hàm số $f(t)$ có 3 điểm cực trị tại $t=-1,t=1,t=3$. Để $h(x)$ có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình $f(x+2)=-2$ không sinh thêm nghiệm bội lẻ nào.
Kết hợp với điều kiện tham số $m\in [-100;100]$ nguyên, tính tổng các giá trị nguyên của $S$ ta được tổng bằng $5049$. Chọn B.

Số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x-2019)+m|$ bằng số điểm cực trị của $y=|f(x)+m|$. Hàm số $f(x)$ có $3$ điểm cực trị nên $|f(x)+m|$ có $5$ điểm cực trị khi đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $2$ điểm phân biệt (không tính điểm tiếp xúc), tức là $-6<-m\le -3$ hoặc $-m\ge 2\iff 3\le m<6$ hoặc $m\le -2$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{3;4;5\}$, tổng các phần tử của $S$ bằng $3+4+5=12$.

$g^{\prime }(x)=2(x-1)f^{\prime }(x^2-2x+m)$. $g^{\prime }(x)=0⟺x=1$ hoặc $x^2-2x+m=u_i$ với $u_i$ là các nghiệm bội lẻ của $f^{\prime }(x)$. Để hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình bậc hai có đúng 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1, tìm được 4 giá trị nguyên của $m$. Chọn D.

Ta có $g^{\prime }(x)=(e^x-x-1)f^{\prime }\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)$.

Xét $g^{\prime }(x)=0\iff (e^x-x-1)f^{\prime }\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)=0\iff [<table><tbody><tr><td>e^x-x-1=0(1)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=-2(2)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=1(3)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=4(4)</td></tr></tbody></table>$.

Ta xét $u(x)=e^x-x-1;v(x)=e^x-\frac{x^2+2x}{2}$.

Ta có $u^{\prime }(x)=e^x-1;u^{\prime }(x)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên của $u(x)$:

[IMAGE_1]

Vậy $u(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (không đổi dấu qua $x=0$).

Xét hàm số $v(x)=e^x-\frac{x^2+2x}{2}$.

Ta có $v^{\prime }(x)=e^x-x-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bảng biến thiên của $v(x)$:

[IMAGE_2]

Khi đó các phương trình $(2),(3),(4)$ có nghiệm duy nhất và $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số $g(x)$ có $3$ điểm cực trị.

Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm dương phân biệt, do đó $f(x)$ có 3 điểm cực trị dương. Hàm số $g(x)=f(|x|+m)$ có đúng 7 điểm cực trị khi phương trình có 3 nghiệm dương lớn hơn $-m$, dẫn đến đúng 1 giá trị nguyên của $m$.

Đồ thị có 3 điểm cực trị khi $m>0$. Tọa độ điểm cực trị trên trục tung là $A(0;16m^2-m+1)$.
Để $H(0;1)$ là trực tâm của tam giác $ABC$, ta sử dụng điều kiện $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0$.
Giải phương trình tìm được $m_0\approx 0,5\in (0;1)$.

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x)=0\iff x=\pm 1$ hoặc $x^3-3x\in \{u_1;u_2;u_3\}$, trong đó $u_1<-2$, $u_2\in (-2;0)$, $u_3\in (0;2)$ là $3$ điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$. Xét hàm $u(x)=x^3-3x$ có $u(-1)=2$ (cực đại) và $u(1)=-2$ (cực tiểu): phương trình $x^3-3x=u_1<-2$ có $1$ nghiệm đơn; các phương trình $x^3-3x=u_2\in (-2;2)$ và $x^3-3x=u_3\in (-2;2)$ mỗi phương trình có $3$ nghiệm đơn phân biệt khác $\pm 1$. Vậy $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $2+1+3+3=9$ điểm, nên hàm số $g(x)$ có $9$ điểm cực trị.

Xét hàm số $g(x)=f(x^3-3x)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x)=3(x^2-1)f^{\prime }(x^3-3x)$.
$f^{\prime }(u)=(u-1)(u+2)\sqrt[3]{u-3}=0⟺u\in \{-2;1;3\}$.
Tại mỗi nghiệm $u=-2,u=1,u=3$ thì $f^{\prime }(u)$ đều đổi dấu (các nhân tử đều có bậc lẻ).
Xét hàm số $u(x)=x^3-3x$:
- $u^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$.
- Bảng biến thiên của $u(x)$:
- $u(x)$ tăng từ $-\infty$ đến cực đại $u(-1)=2$.
- $u(x)$ giảm từ 2 xuống cực tiểu $u(1)=-2$.
- $u(x)$ tăng từ $-2$ đến $+\infty$.
Số nghiệm của phương trình $f^{\prime }(u(x))=0$:
- $u(x)=3>2$: có 1 nghiệm đơn $x_1>1$.
- $u(x)=1\in (-2;2)$: có 3 nghiệm đơn phân biệt $x_2<-1<x_3<1<x_4$.
- $u(x)=-2$: có 1 nghiệm đơn $x_5=-2$ và 1 nghiệm kép tại $x=1$.
Tại điểm $x=1$: nhân tử $x^2-1$ có nghiệm đơn $x=1$, trong khi $(u(x)+2)$ có nghiệm bội chẵn tại $x=1$, do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=1$.
Tại điểm $x=-1$: nhân tử $x^2-1$ có nghiệm đơn $x=-1$, còn $u(-1)=2\notin \{-2;1;3\}$, do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=-1$.
Như vậy, $g^{\prime }(x)=0$ có 7 nghiệm phân biệt làm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu.
Xét dấu của $g^{\prime }(x)$ khi $x\to -\infty$:
- $x^2-1>0$.
- $u(x)\to -\infty ⟹(u-1)<0,(u+2)<0,\sqrt[3]{u-3}<0⟹f^{\prime }(u)<0$.
Vậy $g^{\prime }(x)<0$ khi $x\to -\infty$ và $g^{\prime }(x)>0$ khi $x\to +\infty$.
Qua 7 điểm cực trị đổi dấu liên tiếp:
$g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại đúng 4 điểm cực đại.
Vậy hàm số có 4 điểm cực đại.

Đặt $u=3x^2+6x-m\ge -3-m$, ta có $g^{\prime }(x)=12(x+1)[2f^{\prime }(u)-(u+m)]$. Đường thẳng $y=\frac{1}{2}(u+m)$ luôn cắt đồ thị $y=f^{\prime }(u)$ tại điểm có hoành độ $u_0=-\frac{1}{2}$ (tiếp xúc tại $u=-1,u=\frac{1}{2}$ khi $m=\frac{1}{2}\dots$). Để $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $3x^2+6x-m=-\frac{1}{2}$ phải có $2$ nghiệm phân biệt khác $-1$, tức là $-3-m<-\frac{1}{2}\iff m>-\frac{7}{2}$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3[x^2-2mx+m^2-1]=0⟺x=m\pm 1$.
Hai điểm cực trị là $A(m-1;y_1)$ và $B(m+1;y_2)$.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $d:y=-2x-m^3+m^3-m+2m=-2x+m$.
Sử dụng điều kiện bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{AB\cdot IA\cdot IB}{4S}=\sqrt{5}$, giải phương trình tìm $m$ thu được tổng các nghiệm bằng $\frac{20}{17}$.

Điều kiện xác định $x\le 2$. Đặt $g(x)=f(\sqrt{2-x})$, ta có $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}{f}^{\prime }(\sqrt{2-x})$. Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(t)$, $f^{\prime }(t)=0⟺t=-1,t=1,t=4$. Do $\sqrt{2-x}\ge 0$, phương trình có nghiệm $\sqrt{2-x}=1⟺x=1$ và $\sqrt{2-x}=4⟺x=-14$. Lập bảng xét dấu $g^{\prime }(x)$ trên $(-\infty ;2)$, ta thấy hàm số có đúng 3 điểm cực trị trong đó có 3 điểm cực tiểu khi xét tính liên tục tại biên hoặc đổi dấu đạo hàm.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 40 chọn đáp án C.

Ta có $y^{\prime }=3(x-m{)}^2-3=0⟺(x-m{)}^2=1⟺x=m\pm 1$.
- Điểm cực đại ứng với $m$: $x_1=m-1⟹y_1=m^2-3m+2$.
- Điểm cực tiểu ứng với $m^{\prime }$: $x_2=m^{\prime }+1⟹y_2=m^{\prime 2}-3m^{\prime }-2$.
Để hai điểm trùng nhau:
$\{\begin{array}{l}m-1=m^{\prime }+1\\ m^2-3m+2=m^{\prime 2}-3m^{\prime }-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m-m^{\prime }=2\\ (m-m^{\prime })(m+m^{\prime })-3(m-m^{\prime })=-4\end{array}$
Thay $m-m^{\prime }=2$ vào phương trình thứ hai:
$2(m+m^{\prime })-6=-4⟺m+m^{\prime }=1$.
Từ đó tìm được duy nhất một cặp $(m,m^{\prime })=\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.
Vậy chỉ có đúng 1 điểm $M\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right)$ thỏa mãn.

Chọn đáp án C.

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Ta có $x^2\ge 0,\forall x$, do đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn và không làm đổi dấu của $f^{\prime }(x)$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm là $x=-1$ và nghiệm của tam thức $g(x)=x^2+2mx+5$.
Để hàm số $f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị thì đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua đúng một nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
- Trường hợp 1: $g(x)=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép:
$${\Delta }^{\prime }=m^2-5\le 0⟺-\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}.$$
Vì $m\in \mathbb{Z}⟹m\in \{-2,-1,0,1,2\}$.
Khi đó $x=-1$ là nghiệm đơn duy nhất làm đổi dấu $f^{\prime }(x)$, thỏa mãn.
- Trường hợp 2: $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng $-1$:
$$g(-1)=0⟺(-1{)}^2+2m(-1)+5=0⟺6-2m=0⟺m=3.$$
Với $m=3$, $g(x)=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$.
Khi đó $f^{\prime }(x)=x^2(x+1{)}^2(x+5)$, đạo hàm chỉ đổi dấu qua nghiệm đơn $x=-5$, thỏa mãn.
Kết hợp hai trường hợp: $m\in \{-2,-1,0,1,2,3\}$.
Vậy tập $S$ có tất cả 6 phần tử.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=0$ và $x=2$. Hàm số $g(x)=f(x^2-8x+m)$ có đúng $3$ điểm cực trị khi $0\le m-16<2\iff 16\le m<18$, với $x_3=4$ và $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2-8x+m-2=0$. Khi đó $x_1^2+x_2^2+x_3^2=64-2(m-2)+16=84-2m=50\iff m=17\in [16;18)$. Vậy $S=\{17\}$.

Chọn B.
Xét hàm số $g(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m^2$.
$g^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=0\iff x=0,x=-1,x=2$.
Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị với các giá trị cực trị là $g(0)=m^2,g(-1)=m^2-5,g(2)=m^2-32$.
Hàm số $y=|g(x)|$ có đúng 5 điểm cực trị khi phương trình $g(x)=0$ có 2 nghiệm đơn phân biệt, tức là đồ thị $g(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm, dẫn đến số giá trị nguyên của $m$ là 10.

Chọn B.
Hàm số $y=f(|x|)$ có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị và có đúng 1 điểm cực trị dương (tức là $x_1\le 0<x_2$).
Điều kiện đưa đến phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
Giải các điều kiện ta tìm được 5 giá trị nguyên của tham số $m$.