Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $AB=\sqrt{3}$, $BC=1$ và $[S,BC,A]=60^{\circ }$. Tan của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $AB=2a,BC=2a\sqrt{3}$, mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình vuông $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được treo vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^{\circ }$ như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng và các lực căng ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3,{\vec{F}}_4$ đều có cường độ bằng nhau. Biết rằng nếu giảm độ dài các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ sao cho góc hợp bởi các dây cáp đó và mặt phẳng $(ABCD)$ đều giảm $15^{\circ }$ thì lực căng mỗi sợi cáp đều tăng thêm $725\text{ N}$. Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô biết trọng lượng của khung sắt là $1650\text{ N}$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
[IMAGE:img_p3_q6]

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt trung điểm của cạnh $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc hợp giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Tính giá trị của $\sin \alpha$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $BC$ và hợp với mặt phẳng $(ABC)$ góc $\alpha$ ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$). Gọi $\beta ,\gamma$ lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng $AB,AC$ và $(P)$. Tính giá trị biểu thức $T={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma$.

Một chiếc Container được buộc vào móc $S$ của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn $SA,SB,SC,SD$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $45^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiếc cần cẩu kéo chiếc Container lên theo phương thẳng đứng. Tính độ lớn lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp, biết rằng các lực căng ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3,{\vec{F}}_4$ trên mỗi sợi dây cáp có độ lớn bằng nhau và trọng lượng của chiếc Container bằng $80\text{ kN}$. (Kết quả làm tròn đến $1$ chữ số sau dấu phẩy).
[IMAGE:img_p3_q5]

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$, tam giác $ABD$ đều cạnh $a\sqrt{2}$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$. Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $BC=3a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $B{B}^{\prime }=a\sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Côsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2a$. Tính góc giữa $C{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=4\sqrt{2}\text{ cm},AD=4\text{ cm},A{A}^{\prime }=4\text{ cm}$. Góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$, tam giác $ABD$ đều cạnh bằng $a\sqrt{2}$, $SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a,SA=2a$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh $AB,A^{\prime }{D}^{\prime }$ sao cho $MN=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$ (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$, gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$. Tính $\sin \alpha$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC=a$ (tham khảo hình vẽ).



Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm của cạnh $BC$. Biết $SB=a$, khi đó số đo góc giữa $SA$ và $(ABC)$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$. Biết $AB=a\sqrt{15}$, $AC=a$, $A{A}^{\prime }=2a$ (tham khảo hình bên dưới).

Góc giữa đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\tan \alpha$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$, tam giác $ABD$ đều có cạnh bằng $a\sqrt{2}$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$ (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình chóp tam giác S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình thang tại A , B biết
cạnh bên AB = BC = a , SA = a 2 . Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng.