Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$, nên $2x-\frac{\pi }{3}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi$.
- Trường hợp $+$: $2x=\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$.
- Trường hợp $-$: $2x=\frac{\pi }{3}-\frac{5\pi }{6}+k2\pi =-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.
Vậy $x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$ với điều kiện $t\in [-1;1]$, phương trình trở thành $2t^2-5t+2=0$. Phân tích: $2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2)=0$, nên $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=2$. Vì $t=2\notin [-1;1]$ nên loại, chỉ còn $\sin x=\frac{1}{2}$. Suy ra $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
a) Đúng: đặt $t=\sin x$ thì được $2t^2-5t+2=0$.
b) Đúng: với $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\sin x=\frac{1}{2}$, thay vào: $2\cdot \frac{1}{4}-5\cdot \frac{1}{2}+2=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}+2=0$, vậy $x=\frac{\pi }{6}$ là nghiệm.
c) Sai: họ $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ cho $\sin x=-\frac{1}{2}$ (không thỏa), và họ đúng bị thiếu là $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.
d) Sai: các nghiệm thuộc $(-2\pi ;2\pi )$ là $-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ — chỉ có 4 nghiệm, không phải 5.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$ thì phương trình trở thành $2t^2-5t+2=0$ (với $t\in [-1;1]$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=\frac{\pi }{6}$: $2{\sin }^2\frac{\pi }{6}-5\sin \frac{\pi }{6}+2=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}+2=0$, nên $x=\frac{\pi }{6}$ là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin x=\frac{1}{2}$, tập nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Họ $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ cho $\sin x=-\frac{1}{2}$, không thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong $(-2\pi ;2\pi )$: $-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ — chỉ có 4 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos (-2x)=\cos (2x)$, phương trình trở thành $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{6}$. Suy ra $2x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{12}-k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}-k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\left\{-\frac{1}{12}\pi -k\pi ,\frac{1}{12}\pi -k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

Có $2\cos x+1=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}$

Với $\frac{3\pi }{2}\le \frac{2\pi }{3}+k2\pi \le 4\pi \Rightarrow 0,4\le k\le 1,6\Rightarrow k=1$

Với $\frac{3\pi }{2}\le -\frac{2\pi }{3}+k2\pi \le 4\pi \Rightarrow 1,1\le k\le 2,3\Rightarrow k=2$

Kết quả: 2

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$. Đặt $\alpha =\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$. Do đó $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cot x=-1$ có nghiệm tổng quát $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì $\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ và chu kỳ của cot là $\pi$. Vậy đáp án A đúng. Các phương án B, C sai vì chu kỳ $2\pi$ không đúng với hàm cot; phương án D sai vì $\cot \left(\pm \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}\ne -1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0$ (điều kiện $\cos x\ne 0$) suy ra $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Do đó $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án đề 1106 (câu 11 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) $x=\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ nên là một nghiệm → Đúng.
b) Tập $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi$ là nghiệm của $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, không phải của phương trình đã cho → Sai (nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$).
c) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$ → Sai.
d) $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ thỏa $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên là nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đó thỏa $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, có họ nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$ → Sai.
b) $x=\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ là nghiệm → Đúng.
c) Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, không phải $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi$ → Sai.
d) $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ phương trình chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, nên tổng các nghiệm bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin \frac{9\pi }{4}=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, thỏa mãn phương trình.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, khác với khẳng định đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$. Vì $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ và $\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$, nên:
- Trường hợp 1: $x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$.
- Trường hợp 2: $x+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.
Vậy nghiệm là $\{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$, tương ứng với phương án C. Kiểm tra: với $x=-\frac{\pi }{2}$, $\sin \left(-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng; với $x=\frac{5\pi }{6}$, $\sin \left(\frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng.

Ta có: $\sin 2x-\sin x=0\iff 2\sin x.\cos x-\sin x=0\iff \sin x.\left(2\cos x-1\right)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}k\in \mathbb{Z}$$

Điều kiện $-2\pi \le x\le 2\pi$. Nghiệm: $\{\begin{array}{l}4{\pi }^2-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2\pi \\ \sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$. Kết hợp điều kiện: $x\in \left\{-2\pi ,-\frac{3\pi }{2},-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \right\}$ nên có 9 nghiệm.

1) Giải phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (0,5 điểm):
$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)
$\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{2\pi }{3}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ (0,25 điểm).

2) a) Tính $L_1=\underset{x\to 1}{\lim }(1-3x)$ (0,5 điểm):
$L_1=1-3.1$ (0,25 điểm)
$=-2$ (0,25 điểm).

b) Tính $L_2=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{3-x}$ (0,5 điểm):
$L_2=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)}{3-x}$ (0,25 điểm)
$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)}$
$=\underset{x\to 3}{\lim }\left[-(x+3)\right]$ (0,25 điểm)
$=-(3+3)=-6$.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos 2x=-\frac{1}{2}$. Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên phương trình tương đương $\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}$, suy ra $2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Các nghiệm âm của phương trình: với $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ ta có $-\frac{2\pi }{3},-\frac{5\pi }{3},\dots$; với $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$ ta có $-\frac{\pi }{3},-\frac{4\pi }{3},\dots$. Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{3}$. Đúng.

b) Bộ nghiệm đúng phải là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ (chu kỳ $\pi$, không phải $2\pi$). Ví dụ $x=\frac{4\pi }{3}$ là nghiệm vì $\cos \frac{8\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nhưng không thuộc bộ nghiệm với $+k2\pi$. Sai.

c) Trên $(0;2\pi )$, các nghiệm là $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$ — có 4 nghiệm, không phải 3. Sai.

d) Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình giống hệt nhau, tương đương. Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, Câu 1: Đ S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$; nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{3}$ (k = 0 ở nhánh âm).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ (chu kỳ $\pi$); với $+k2\pi$ bị thiếu nghiệm như $x=\frac{4\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2\pi )$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình tương đương.

a. Ta có $A=\frac{\sin 2\alpha +\cos \alpha }{1-\cos 2\alpha +\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha (2\sin \alpha +1)}{2{\sin }^2\alpha +\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha (2\sin \alpha +1)}{\sin \alpha (2\sin \alpha +1)}=\cot \alpha$

b. $$\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff 3x+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$$