Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Ta có $V={\int }_0^{2}S(x)\mathrm{d}x={\int }_0^2(x+1{)}^2{e}^{2x}\mathrm{d}x$.
Giả sử $\int (x+1{)}^2{e}^{2x}\mathrm{d}x=(a{x}^2+bx+c)e^{2x}+C$
$\Rightarrow (x^2+2x+1)e^{2x}=(2ax+b)e^{2x}+2(a{x}^2+bx+c)e^{2x}\iff \{<table><tbody><tr><td>2a=1</td></tr><tr><td>2a+2b=2</td></tr><tr><td>b+2c=1</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>a=\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>b=\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>c=\frac{1}{4}</td></tr></tbody></table>$.
Khi đó $V={\int }_0^{2}S(x)\mathrm{d}x={\frac{1}{4}(2x^2+2x+1)e^{2x}|}_0^2=\frac{13e^4-1}{4}$.
Vậy $a=13,b=1\Rightarrow P=a+b=14$.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 333; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án đúng là D theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn C.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn B
Bán kính ngoài $R=\frac{60}{2}=30\text{ mm}=0,03\text{ m}$.
Bán kính trong $r=30-3=27\text{ mm}=0,027\text{ m}$.
Chiều dài mỗi ống thép $h=6\text{ m}$.
Thể tích thép của 1000 ống thép là:
$V=1000\cdot \pi (R^2-r^2)h=1000\cdot \pi \cdot (0,03^2-0,027^2)\cdot 6=1024\pi \cdot 10^{-3}\approx 3,223274{\text{ m}}^3$.
Khối lượng của 1000 ống thép: $m=V\cdot D=3,223274\cdot 7850\approx 25302,70\text{ kg}$.
Số tiền cần trả: $T=25302,70\cdot 24700\approx 624976700\text{ đoˆˋng}\approx 624977000\text{ đoˆˋng}$.

Trong đường tròn đáy của nón, góc nội tiếp $\widehat{AIB}=60^{\circ }$ chắn cung $AB=20\sqrt{3}\text{ cm}$, nên bán kính đáy $R=\frac{AB}{2\sin 60^{\circ }}=20\text{ cm}$. Cung nhỏ $AB$ có số đo $120^{\circ }$ bằng $\frac{1}{3}$ đường tròn đáy, suy ra diện tích phần mặt nón được sơn trên mỗi chiếc nón là $\frac{1}{3}\pi Rl=\frac{1}{3}\pi \cdot 20\cdot 30=200\pi {\text{ cm}}^2=0,02\pi {\text{ m}}^2$. Tổng số tiền cho $1000$ chiếc nón là $1000\cdot 0,02\pi \cdot 50000=1000000\pi \approx \mathrm{3.142.000}$ đồng.

Chọn hệ trục $Oxy$ với $A\equiv O$, tia $AB\equiv Ox$, tia $AD\equiv Oy$. Khi đó $A(0;0),D(0;2),B(3;0),E(1;1)$, cung tròn $ED$ thuộc đường tròn tâm $I(0;1)$ bán kính $R=1$ có phương trình $y=1+\sqrt{1-x^2}$ với $x\in [0;1]$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_0^1{\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)}^{2}dx+\pi {\int }_1^3{1}^{2}dx\approx 16,5{\text{ cm}}^3$. Chọn B.

Chọn A
[x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm x 2 = 2 x $\iff$ x 2 - 2 x = 0 $\iff$  .
[x = 2
2
4 x5  64$\pi$
2 2
V = $\pi$  ( 2 x ) - ( x )  dx = $\pi$  ( 4 x 2 - x 4 ) dx = $\pi$  x3 -  =
[ 2 2]
2
.
0
[ ] 0 3 5  0 15

Hoành độ giao điểm của $y=-\sqrt{x}$ và $y=-x+2$ là $-\sqrt{x}=-x+2\iff x-\sqrt{x}-2=0$ (với $x\ge 2$) $\iff \sqrt{x}=2\iff x=4$. Theo công thức quay miền phẳng $(H)$ (đáp án chính thức Mã đề 101 là C: $V=\frac{46\pi }{3}$).

Diện tích thiết diện tại điểm có hoành độ $x$ là $S(x)=\frac{1}{4}\pi {\left(\sqrt{2}{x}^2\right)}^2=\frac{1}{2}\pi x^4$.

Vậy thể tích vật thể cần tìm là $V={\int }_0^{2}S(x)\mathrm{d}x={\int }_0^2\frac{1}{2}\pi x^4\mathrm{d}x={\frac{\pi x^5}{10}|}_0^2=\frac{16\pi }{5}$.

Khi quay lục giác xung quanh đường chéo $AD$ ta được $2$ khối nón có chiều cao $h=AH=1$, bán kính đáy $r=BH=\sqrt{3}$ và $1$ khối trụ có đường sinh $l=BC=2$, bán kính đáy $R=BH=\sqrt{3}$.
Thể tích của khối tròn xoay đó là $V=2\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h+\pi R^{2}l=\frac{2}{3}\pi (\sqrt{3}{)}^2\cdot 1+\pi (\sqrt{3}{)}^2\cdot 2=8\pi$.
Chọn B.

Cắt khối giao nhau bởi mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa hai trục và cách mặt phẳng đó một khoảng $x\in [-a;a]$, thiết diện là hình vuông cạnh $2\sqrt{a^2-x^2}$ có diện tích $S(x)=4(a^2-x^2)$. Thể tích khối giao nhau là $V={\int }_{-a}^{a}4(a^2-x^2)dx=\frac{16a^3}{3}$. Chọn D.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Cổng chào tiếp xúc với mặt đất theo hình tròn đường kính $2\text{m}$ nên bán kính mặt cắt ngang là $r=1\text{m}$. Chiều cao cao nhất của cổng là $8\text{m}$ nên tâm của đường tròn mặt cắt tại vị trí cao nhất có tọa độ $(0;7)$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ trên mặt đường, trục đối xứng của cổng là $Oy$. Cổng phao được sinh ra khi cho hình tròn $(C):x^2+(y-7{)}^2=1$ quay quanh trục $Ox$, sau đó lấy một nửa thể tích của khối xuyến (torus). Thể tích của toàn bộ khối xuyến sinh ra khi quay hình tròn bán kính $r=1$ có tâm cách trục quay khoảng $R=7$ là $V_{\text{xuyeˆˊn}}=2{\pi }^{2}R{r}^2=2{\pi }^2\cdot 7\cdot 1^2=14{\pi }^2{\text{ (m}}^3\text{)}$. Do cổng chào chỉ là một nửa cái săm nên thể tích không khí chứa bên trong bằng $V=\frac{1}{2}{V}_{\text{xuyeˆˊn}}=\frac{1}{2}\cdot 14{\pi }^2=7{\pi }^2{\text{ (m}}^3\text{)}$. Chọn B.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 25, mã đề 111; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)