Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Lời giải
Chọn C
Đặt u = 2sin x -1 \implies du = 2cos xdx

x = 0 \implies u = -1

$\pi$

x=

\implies u =1
2
Khi đó
$\pi$
2

I = $\int$ f ( 2sin x - 1) cos xdx =
0

1

1

1
1
f ( u ) du = $\int$ f ( x ) dx
$\int$
2 -1
2 -1

0
1
) -1
1(
2
= ( $\int$ ( 3x - 2 x - 1) dx + $\int$ ( 2 x - 3) dx ) =
2 ( -1
0
) 2

Đường cong $y=a{x}^3+bx$ đi qua $A(1;1)$ nên $a+b=1$.
Diện tích $4$ cánh hoa là $S=4{\int }_0^1(x^2-a{x}^3-bx)dx=4\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{4}-\frac{b}{2}\right)=\frac{4}{3}-a-2b$.
Vì diện tích trang trí chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn ($4{\text{ m}}^2$) nên $\frac{4}{3}-a-2b=\frac{4}{3}\iff a+2b=0$.
Giải hệ $\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+2b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\Rightarrow a\cdot b=-2$.

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ liên tục tại $x=0$ và có đạo hàm tại $x=0$:
- Tính liên tục:
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=f(0)\iff a=5$$
- Đạo hàm tại $x=0$:
$$f_{+}^{\prime }(0)={(4x+3)|}_{x=0}=3,f_{-}^{\prime }(0)=b\Rightarrow b=3$$
Xét tích phân $I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(2\cos x+1)\sin xdx$:
Đặt $t=2\cos x+1\Rightarrow dt=-2\sin xdx\Rightarrow \sin xdx=-\frac{1}{2}dt$.
Đổi cận:
- $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1$
- $x=\pi \Rightarrow t=-1$
Khi đó:
$$I={\int }_1^{-1}f(t)\left(-\frac{1}{2}dt\right)=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(t)dt=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-1}^0(3t+5)dt+{\int }_0^1(2t^2+3t+5)dt\right]$$
$$=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{3t^2}{2}+5t\right)|}_{-1}^0+{\left(\frac{2t^3}{3}+\frac{3t^2}{2}+5t\right)|}_0^1\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{7}{2}+\frac{43}{6}\right]=\frac{16}{3}$$
Chọn đáp án A.

Chọn A.
Đặt $\{\begin{array}{rl}& u=\ln x\\ & \mathrm{d}v=x\mathrm{d}x\end{array}⟹\{\begin{array}{rl}& \mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ & v=\frac{x^2}{2}\end{array}$.
Khi đó:
${\int }_2^{5}x\ln x\mathrm{d}x={\frac{x^2}{2}\ln x|}_2^5-{\int }_2^5\frac{x}{2}\mathrm{d}x=\frac{25}{2}\ln 5-2\ln 2-{\frac{x^2}{4}|}_2^5=\frac{25}{2}\ln 5-2\ln 2-\frac{21}{4}.$
Suy ra $a=-2,b=-21,c=4$. Vậy $S=a+b+c=-2-21+4=-19$.

Chọn D.
Sử dụng công thức tích phân từng phần với $u=x,\mathrm{d}v=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$, ta có:
${\int }_0^{5}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x={xf(x)|}_0^5-{\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x⟺10=5f(5)-{\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x.$
Suy ra ${\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x=5\cdot 3-10=5$.

Chọn B.
Đặt $t=2\cos x+1\Rightarrow dt=-2\sin xdx\Rightarrow \sin xdx=-\frac{1}{2}dt$.
Đổi cận: với $x=0\Rightarrow t=3$; với $x=\pi \Rightarrow t=-1$.
Khi đó:
$I=-\frac{1}{2}{\int }_3^{-1}f(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{3}f(t)dt=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx\right]$
$=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-1}^1(3x-2)dx+{\int }_1^3(2x^2-1)dx\right]$
Ta có:
${\int }_{-1}^1(3x-2)dx={\left(\frac{3x^2}{2}-2x\right)|}_{-1}^1=\left(\frac{3}{2}-2\right)-\left(\frac{3}{2}+2\right)=-4$.
${\int }_1^3(2x^2-1)dx={\left(\frac{2x^3}{3}-x\right)|}_1^3=(18-3)-\left(\frac{2}{3}-1\right)=15-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{46}{3}$.
Vậy $I=\frac{1}{2}\left(-4+\frac{46}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{34}{3}=\frac{17}{3}$.

f ^\prime ( x ) = tan 4 x + tan 2 x = tan 2 x (1 + tan 2 x ) .

tan 3 x
$\int$ f ^\prime ( x ) dx = $\int$ tan x (1 + tan x ) dx = $\int$ tan x d ( tan x ) = +C
2 2 2

3
tan 3 x
\implies f ( x) = +C .
3
tan 3 x
f ( 0) = 0 \implies C = 0 \implies f ( x ) =
3
$\pi$
$\pi$ 4 $\pi$
[ $\pi$ 4 $\pi$
[
3
1 | 1 |
dx = $\int$ tan x ( tan x + 1) dx - $\int$ tan xdx | = $\int$ tan xd ( tan x ) - $\int$ tan xdx |
4 4 4
tan x
I = $\int$ 2

3 3 0 3 0
0
0
|] 0
|]

1 tan 2 x $\pi$ 4 $\pi$
[ 1 1 2 [ 1 - ln 2
= |0 + ln cos x |04 | = + ln |= .
3 2 ] 3 2 2 ] 6

Chọn C.
Đặt $u=e^x$ trong tích phân thứ nhất: $du=e^{x}dx$, cận từ $1$ đến $e$.
${\int }_0^{1}f(e^x)e^{x}dx={\int }_1^{e}f(u)du={\int }_1^e(4-u)du=\left(4u-\frac{u^2}{2}\right){|}_1^e=\left(4e-\frac{e^2}{2}\right)-\frac{7}{2}$.
Đặt $t=\ln x$ trong tích phân thứ hai: $dt=\frac{dx}{x}$, cận từ $0$ đến $1$.
${\int }_1^e\frac{f(\ln x)}{x}dx={\int }_0^{1}f(t)dt={\int }_0^{1}3t^{2}dt=t^3{|}_0^1=1$.
Tổng hai tích phân là: $\left(4e-\frac{e^2}{2}-\frac{7}{2}\right)+1=4e-\frac{e^2}{2}-\frac{5}{2}$.

Chọn D.
Xét giao điểm của các đường:
- $y=2^x$ và $y=1\Rightarrow 2^x=1\Rightarrow x=0$.
- $y=-x+3$ và $y=1\Rightarrow -x+3=1\Rightarrow x=2$.
- $y=2^x$ và $y=-x+3\Rightarrow x=1$ (vì $2^1=-1+3=2$).
Diện tích hình phẳng là:
$S={\int }_0^1(2^x-1)dx+{\int }_1^2(-x+3-1)dx=\left(\frac{2^x}{\ln 2}-x\right){|}_0^1+\left(-\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_1^2$
$=\left(\frac{2}{\ln 2}-1-\frac{1}{\ln 2}\right)+\left((-2+4)-\left(-\frac{1}{2}+2\right)\right)=\left(\frac{1}{\ln 2}-1\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{2}$.

Ta có:
$S_1={\int }_0^k\sqrt{x}dx={\frac{2}{3}x\sqrt{x}|}_0^k=\frac{2}{3}k\sqrt{k},$
$S_2={\int }_k^4\sqrt{x}dx={\frac{2}{3}x\sqrt{x}|}_k^4=\frac{2}{3}(8-k\sqrt{k}).$
Để $S_1=4S_2$:
$\frac{2}{3}k\sqrt{k}=4\cdot \frac{2}{3}(8-k\sqrt{k})⟺k\sqrt{k}=32-4k\sqrt{k}⟺5k\sqrt{k}=32⟺k^{\frac{3}{2}}=6,4.$
Suy ra $k=(6,4{)}^{\frac{2}{3}}\approx 3,447\in (3,3;3,5)$.

Từ hệ phương trình ta có: ${\int }_0^{1}f(x)dx=5$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=3$.
- Đổi biến $t=2022-x⟹{\int }_{2021}^{2022}f(2022-x)dx={\int }_0^{1}f(t)dt=5$.
- Đổi biến $u=3x⟹5{\int }_0^{\frac{1}{3}}g(3x)dx=\frac{5}{3}{\int }_0^{1}g(u)du=\frac{5}{3}\cdot 3=5$.
Tổng giá trị là $5+5=10$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+(1-m)x-4=0$.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ với mọi $m$.
Ta có: $x_2-x_1=\sqrt{(m-1{)}^2+16}\ge 4$.
Diện tích hình phẳng:
$S=\frac{(x_2-x_1{)}^3}{6}\ge \frac{4^3}{6}=\frac{32}{3}.$
Dấu bằng xảy ra khi $m=1$. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{32}{3}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ trùng với các trục đối xứng của elip, phương trình elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, tiêu cự $2c=2\sqrt{25-16}=6\Rightarrow c=3$. Diện tích phần lát gạch $C$ là $S_C=2{\int }_3^{5}4\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\pi \cdot 1^2\approx 7,38{\text{ m}}^2$.

Chọn C.
Ta phân tích:
$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.$
Khi đó:
$I={\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx=[\ln |x+1|-\ln |x+2|{]}_0^1$
$=(\ln 2-\ln 3)-(\ln 1-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3.$
Suy ra $a=2,b=-1$.
Vậy $2a+3b=2(2)+3(-1)=4-3=1$.

Ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Phân tích phân thức:
$\frac{4x-7}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}⟹4x-7=A(x-2)+B(x-1)$.
- Cho $x=1⟹-3=-A⟹A=3$.
- Cho $x=2⟹1=B⟹B=1$.
Do đó:
$I={\int }_3^5\left(\frac{3}{x-1}+\frac{1}{x-2}\right)dx={[3\ln |x-1|+\ln |x-2|]|}_3^5$
$=(3\ln 4+\ln 3)-(3\ln 2+\ln 1)=3\ln (2^2)+\ln 3-3\ln 2=6\ln 2-3\ln 2+\ln 3=3\ln 2+\ln 3$.
So sánh với $I=a\ln b+\ln c$ với $a,b,c$ nguyên dương và $a>1$, ta có:
$a=3$, $b=2$, $c=3$.
Giá trị của biểu thức $P=a^2+2b-c=3^2+2(2)-3=9+4-3=10$.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ tại tâm hình tròn.
Bán kính hình tròn là $R=2\text{ m}$. Diện tích hình tròn là $S_{tron}=\pi R^2=4\pi \approx 12,566{\text{ m}}^2$.
Phần không tô màu bao gồm diện tích giới hạn bởi parabol và các cung tròn.
Tính toán diện tích các phần bằng tích phân:
Diện tích phần không tô màu xấp xỉ $S_{trang}\approx 6,612{\text{ m}}^2$.
Diện tích phần tô màu xấp xỉ $S_{mau}=S_{tron}-S_{trang}\approx 12,566-6,612=5,954{\text{ m}}^2$.
Tổng chi phí sơn là:
$T=300.000\times S_{mau}+250.000\times S_{trang}\approx 300.000\times 5,954+250.000\times 6,612\approx \mathrm{3.439.200}\text{ đoˆˋng}$.
Số tiền này gần nhất với $\mathrm{3.439.000}\text{ đoˆˋng}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Dxy$ với $D(0;0),C(8;0),A(0;8),M(2;8)$. Parabol có đỉnh $M(2;8)$ và đi qua $C(8;0)$ có phương trình $y=-\frac{2}{9}(x-2{)}^2+8=-\frac{2}{9}{x}^2+\frac{8}{9}x+\frac{64}{9}$, cắt $AD$ tại $N\left(0;\frac{64}{9}\right)$. Đường thẳng $NC$ có phương trình $y=-\frac{8}{9}x+\frac{64}{9}$. Diện tích bể bơi là $S={\int }_0^8\left(-\frac{2}{9}{x}^2+\frac{16}{9}x\right)\mathrm{d}x=\frac{512}{27}{\text{ m}}^2$. Chi phí xây bể bơi là $5\cdot \frac{512}{27}\approx 95$ (triệu đồng).

Đặt $u=\log x,dv=\frac{1}{(x+1{)}^2}dx\Rightarrow du=\frac{1}{x\ln 10}dx,v=-\frac{1}{x+1}$.
Áp dụng tích phân từng phần:
$I={-\frac{\log x}{x+1}|}_1^{10}+\frac{1}{\ln 10}{\int }_1^{10}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx=-\frac{1}{11}+1-\log 11+\log 2=\frac{10}{11}+\log 2-\log 11$.
Suy ra $a=\frac{10}{11},b=1,c=-1$.
Khi đó $S=11a+2b+3c=11\left(\frac{10}{11}\right)+2(1)+3(-1)=9$.

Chọn C.
Đặt $t=2\cos x⟹dt=-2\sin xdx⟹\sin xdx=-\frac{1}{2}dt$.
Đổi cận: $x=0⟹t=2$; $x=\frac{\pi }{2}⟹t=0$.
Khi đó $I=\frac{1}{2}{\int }_0^{2}f(t)dt=\frac{\pi }{2}$.

Chọn C.
Với $m>1$, diện tích hình phẳng $D$ là $S={\int }_1^m\ln xdx={(x\ln x-x)|}_1^m=m\ln m-m+1$.
Theo giả thiết $S=1⟺m\ln m-m+1=1⟺m(\ln m-1)=0⟹\ln m=1⟺m=e\approx 2,718\in \left(\frac{5}{2};3\right]$.