Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử của không gian mẫu là số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau:
$n(\Omega )=9\cdot A_9^4=9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=27216.$
Xét số $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ thỏa mãn $a_1<a_2<a_3$ và $a_3>a_4>a_5$.
Chọn 5 chữ số phân biệt từ $\{0,1,2,\dots ,9\}$. Trong 5 chữ số này, chữ số lớn nhất bắt buộc phải là $a_3$.
- Nếu trong 5 chữ số không có số 0: có $C_9^5$ cách chọn. Khi đó ta chọn 2 chữ số trong 4 chữ số còn lại xếp vào $\{a_1,a_2\}$ (tự động có thứ tự duy nhất $a_1<a_2$), 2 chữ số còn lại xếp vào $\{a_4,a_5\}$ (tự động có thứ tự duy nhất $a_4>a_5$), có $C_4^2$ cách.
- Nếu trong 5 chữ số có số 0: có $C_9^4$ cách chọn. Vì $a_1>0$ nên 0 chỉ có thể nằm trong $\{a_4,a_5\}$.
Tính tổng số cách thỏa mãn và chia cho $n(\Omega )$, ta được xác suất bằng $\frac{1}{24}$.

Tổng số quả bóng là $6+5+4=15$. Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^4=1365$.
Để chọn 4 quả có đủ 3 màu và không có 2 quả nào cùng số thứ tự:
Có 3 trường hợp về số lượng màu (2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh; 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh; 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh).
Tính tổng số cách chọn thỏa mãn điều kiện không trùng số thứ tự ra 222 cách.
Xác suất: $P=\frac{222}{1365}=\frac{74}{455}$.

Tổng số cách sắp xếp 9 quyển sách là $n(\Omega )=9!=362880$.
Để các quyển cùng một môn nằm cạnh nhau, ta coi 5 quyển Toán là một khối và 4 quyển Văn là một khối.
Số cách hoán vị 2 khối: $2!=2$.
Số cách xếp các quyển sách Toán nội bộ: $5!$, các quyển Văn nội bộ: $4!$.
Số kết quả thuận lợi: $n(A)=2!\cdot 5!\cdot 4!=2\cdot 120\cdot 24=5760$.
Xác suất $P(A)=\frac{5760}{9!}=\frac{2\cdot 5!\cdot 4!}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}=\frac{48}{3024}=\frac{1}{63}$.

Ba chữ số phân biệt có tổng bằng $5$ thuộc một trong hai bộ $\{0;1;4\}$ hoặc $\{0;2;3\}$, mỗi bộ lập được $3!=6$ bộ ba chữ số cuối. Vậy có $12$ số thỏa mãn, xác suất bấm đúng ngay lần đầu là $\frac{1}{12}$.

Chọn A.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{25}^3=2300$.
Sinh viên học kỹ 20 câu và chưa học 5 câu.
Biến cố $A$: "Rút được ít nhất 2 câu đã học kỹ":
- Trường hợp 1: Rút được đúng 2 câu đã học và 1 câu chưa học: $C_{20}^2\cdot C_5^1=190\cdot 5=950$.
- Trường hợp 2: Rút được cả 3 câu đã học: $C_{20}^3=1140$.
Số kết quả thuận lợi là $n(A)=950+1140=2090$.
Xác suất là $P(A)=\frac{2090}{2300}=\frac{209}{253}$.

Số phần tử của không gian mẫu (chọn 5 đội vào bảng A từ 10 đội, 5 đội còn lại vào bảng B) là:
$n(\Omega )=C_{10}^5=252$
Gọi $E$ là biến cố: "hai đội 10A1 và 10A2 thuộc hai bảng đấu khác nhau".
- Trường hợp 1: 10A1 thuộc bảng A và 10A2 thuộc bảng B. Cần chọn thêm 4 đội từ 8 đội còn lại vào bảng A: có $C_8^4=70$ cách.
- Trường hợp 2: 10A2 thuộc bảng A và 10A1 thuộc bảng B. Cần chọn thêm 4 đội từ 8 đội còn lại vào bảng A: có $C_8^4=70$ cách.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là:
$n(E)=C_8^4+C_8^4=70+70=140$
Xác suất cần tính là:
$P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{140}{252}=\frac{5}{9}$
Chọn A.

Chọn A.
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 em học sinh từ 25 em là $n(\Omega )=C_{25}^3=2300$.
Gọi $A$ là biến cố "Ít nhất hai trong ba em học sinh được chọn ngồi cạnh nhau".
- Trường hợp 1: Cả 3 em ngồi cạnh nhau. Ta coi 3 em ngồi cạnh nhau thành một bộ 3 liên tiếp trên vòng tròn. Có 25 cách chọn.
- Trường hợp 2: Đúng 2 em ngồi cạnh nhau và em thứ 3 không ngồi cạnh 2 em đó.
Chọn một cặp gồm 2 em ngồi cạnh nhau: có 25 cách chọn cặp.
Khi đã chọn cặp này, có 2 vị trí ngồi ngay sát hai bên cặp đó không được chọn, và chính cặp đó cũng không được chọn lại, do đó còn $25-4=21$ em để chọn người thứ 3.
Số cách chọn là $25\times 21=525$ cách.
Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $n(A)=25+525=550$ cách.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{550}{2300}=\frac{55}{230}=\frac{11}{46}$.

Không gian mẫu: $n(\Omega )=6\times 6=36$.
Phương trình $x^2+bx+c=0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta =b^2-4c<0\iff b^2<4c$.
- Với $b=1$: $1<4c\Rightarrow c\in \{1,2,3,4,5,6\}$ (6 cặp)
- Với $b=2$: $4<4c\Rightarrow c>1\Rightarrow c\in \{2,3,4,5,6\}$ (5 cặp)
- Với $b=3$: $9<4c\Rightarrow c\ge 3\Rightarrow c\in \{3,4,5,6\}$ (4 cặp)
- Với $b=4$: $16<4c\Rightarrow c>4\Rightarrow c\in \{5,6\}$ (2 cặp)
- Với $b=5,6$: không có cặp nào thỏa mãn.
Tổng số cặp thuận lợi: $6+5+4+2=17$.
Xác suất: $P=\frac{17}{36}$.

Số các số tự nhiên có $7$ chữ số chia hết cho $9$ là $|S|=10^6=1000000$. Trong các số có $7$ chữ số đôi một khác nhau ($9\cdot A_9^6$ số), đúng $\frac{1}{9}$ số chia hết cho $9$, tức là có $A_9^6=60480$ số? Kiểm tra lại: $\frac{63360}{1000000}=\frac{198}{3125}$. Chọn B.

Có $9\cdot 9=81$ số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt, nên $n(\Omega )=81^2$. Xét biến cố đối $\overline{A}$: hai số không có chữ số nào chung. Nếu Công chọn số có chữ số $0$ ($9$ cách) thì Thành có $8\cdot 7=56$ cách; nếu Công chọn số không có chữ số $0$ ($72$ cách) thì Thành có $7\cdot 7=49$ cách. Suy ra $n(\overline{A})=9\cdot 56+72\cdot 49=4032\Rightarrow P(A)=1-\frac{4032}{81^2}=\frac{281}{729}$. Chọn đáp án D.

Chọn B.
Bảng có $11$ đường thẳng ngang và $10$ đường thẳng dọc.
Số hình chữ nhật là $C_{11}^2\cdot C_{10}^2=55\cdot 45=2475$.
Số hình vuông kích thước $k\times k$ ($1\le k\le 9$) là $(10-k+1)(9-k+1)=(11-k)(10-k)$.
Tổng số hình vuông là ${\sum }_{k=1}^9(11-k)(10-k)=10\cdot 9+9\cdot 8+\cdots +2\cdot 1=330$.
Xác suất chọn được hình vuông là $P=\frac{330}{2475}=\frac{2}{15}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$. Chia 10 ghế thành 5 cặp ghế đối diện nhau. Để các học sinh cùng giới tính ngồi đối diện nhau thì phải có 2 cặp ghế dành cho 4 học sinh nữ và 3 cặp ghế dành cho 6 học sinh nam. Số cách chọn 2 cặp ghế trong 5 cặp để xếp 4 học sinh nữ là $C_5^2=10$. Xếp 4 học sinh nữ vào 4 ghế của 2 cặp này có $4!$ cách. Xếp 6 học sinh nam vào 6 ghế của 3 cặp ghế còn lại có $6!$ cách. Số kết quả thuận lợi là $n(A)=C_5^2\cdot 4!\cdot 6!=10\cdot 24\cdot 720=172800$. Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{C_5^2\cdot 4!\cdot 6!}{10!}=\frac{10}{\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{24}}=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$. Chọn C.

Phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố: $121500=1215\times 100=5\times 243\times 4\times 25=2^2\cdot 3^5\cdot 5^3$.
Số ước số nguyên dương của $121500$ là $n(S)=(2+1)(5+1)(3+1)=3\cdot 6\cdot 4=72$.
Một ước số không chia hết cho 5 khi và chỉ khi trong phân tích của nó lũy thừa của 5 có số mũ bằng 0 (tức là ước của $2^2\cdot 3^5$).
Số các ước không chia hết cho 5 là $(2+1)(5+1)=3\cdot 6=18$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{18}{72}=\frac{1}{4}$. Chọn D.

Biến cố $A$: 'Trò chơi dừng lại sau không quá 3 lần rút'.
Biến cố đối $\bar{A}$: 'Cả 3 lần rút đầu tiên đều rút được thẻ ghi số 1'.
Xác suất của biến cố đối là $P(\bar{A})=\frac{C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$.
Do đó xác suất cần tìm là $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. Chọn D.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=11!$. Xếp $6$ học sinh nam có $6!$ cách, tạo ra $7$ khoảng trống (gồm $5$ khoảng giữa và $2$ đầu). Xếp $5$ học sinh nữ vào $5$ trong $7$ khoảng trống đó có $A_7^5$ cách. Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{6!\cdot A_7^5}{11!}=\frac{1}{22}$.

Số phần tử không gian mẫu là $C_{30}^4=27405$. Số cách chọn có ít nhất $2$ nam ($2$ nam $2$ nữ, $3$ nam $1$ nữ, hoặc $4$ nam) là $C_{18}^2{C}_{12}^2+C_{18}^3{C}_{12}^1+C_{18}^4=10098+9792+3060=22950$. Xác suất bằng $\frac{22950}{27405}=\frac{170}{203}$. Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu chia 12 đội thành 3 bảng (mỗi bảng 4 đội) là $n(\Omega )=C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4=C_{12}^4{C}_8^4$.
Để 3 đội Việt Nam ở 3 bảng đấu khác nhau:
- Xếp 3 đội VN vào 3 bảng A, B, C có $3!=6$ cách.
- Chọn 3 đội nước ngoài vào bảng A trong 9 đội: $C_9^3$ cách.
- Chọn 3 đội nước ngoài vào bảng B trong 6 đội còn lại: $C_6^3$ cách.
- 3 đội nước ngoài còn lại vào bảng C: 1 cách.
Số cách thuận lợi là $6C_9^3{C}_6^3$. Xác suất $P=\frac{6C_9^3{C}_6^3}{C_{12}^4{C}_8^4}$. Chọn B.

Số phần tử không gian mẫu là $8!$. Xếp $5$ nam có $5!$ cách, tạo ra $6$ khoảng trống; xếp $3$ nữ vào $6$ khoảng trống có $A_6^3$ cách. Xác suất bằng $\frac{5!\cdot A_6^3}{8!}=\frac{5}{14}$. Chọn B.

Ta có $\frac{3\cdot 2\cdot n}{C_{n+5}^3}=\frac{9}{28}\iff \frac{36n}{(n+5)(n+4)(n+3)}=\frac{9}{28}\iff n=3$. Hộp có $8$ viên bi (trong đó có $2$ bi xanh và $6$ bi khác màu xanh). Xác suất lấy được ít nhất một viên bi xanh là $P=1-\frac{C_6^3}{C_8^3}=1-\frac{20}{56}=\frac{9}{14}$.

Xác suất để cả $2$ bài được chọn cuối cùng đều là hình học: $P(\overline{A})=\frac{C_2^2}{C_5^2}\cdot \frac{C_3^2}{C_{10}^2}+\frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{4}{10}+\frac{C_3^2}{C_5^2}\cdot \frac{C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{15}+\frac{6}{10}\cdot \frac{12}{100}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{15}=\frac{89}{750}$. Do đó xác suất có ít nhất một bài đại số là $P(A)=1-\frac{89}{750}=\frac{661}{750}\approx 0,88$.