Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=n^2-2n+4$: a) $u_1=1-2+4=3\ne 4$ nên sai. b) $u_5=25-10+4=19$, $u_3=9-6+4=7$, $u_5-u_3=12\ne -5$ nên sai. c) $u_{11}=121-22+4=103\ne 105$ nên sai. d) $u_1=3$, $u_5=19$, $u_8=64-16+4=52$; $u_5-u_1=16\ne u_8-u_5=33$ nên không lập thành cấp số cộng, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=1^2-2\cdot 1+4=3\ne 4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=19$, $u_3=7$ nên $u_5-u_3=12\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=121-22+4=103\ne 105$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3$, $u_5=19$, $u_8=52$; hiệu $16\ne 33$ nên không là cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
a) $v_{1003}=(-1{)}^{1003}=-1\ne 1$ nên SAI. b) $(v_n)$ nhận hai giá trị $-1,1$ xen kẽ nên không đơn điệu, không phải dãy giảm → SAI. c) $u_{n+1}-u_n=2$ là cấp số cộng công sai 2, không phải cấp số nhân → SAI. d) $u_n\cdot a_n=(2n+2)(2n-7)=4n^2-10n-14$, với $n\ge 1$ dãy tăng và giá trị nhỏ nhất tại $n=1$ là $-20$, nên dãy bị chặn dưới bởi $-20$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v_{1003}=(-1{)}^{1003}=-1\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(v_n)$ nhận hai giá trị $-1$ và $1$ xen kẽ nên không đơn điệu, không phải dãy giảm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2$ nên $(u_n)$ là cấp số cộng công sai 2, không phải cấp số nhân.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n\cdot a_n=4n^2-10n-14\ge -20$ với mọi $n\ge 1$ (min tại $n=1$), nên dãy bị chặn dưới.

Có: $u_n=\frac{n}{n+1}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$

$$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+2).(n+1)}>0\forall n\in \mathbb{N}$$

Do đó dãy $u_n$ tăng

Mà $0<u_n=\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+1}=1\Rightarrow$ dãy $u_n$ bị chặn

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n+7}{n+3}=1+\frac{4}{n+3}$. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{4}{n+4}-\frac{4}{n+3}=\frac{4(n+3)-4(n+4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{-4}{(n+3)(n+4)}<0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số giảm. Đồng thời $u_{n+1}=\frac{n+8}{n+4}\ne \frac{n+8}{n+3}$ nên D sai. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy bị chặn là dãy có giới hạn hữu hạn hoặc bị chặn trên và dưới. Xét từng phương án: A) $u_n=2025n+1$ tăng dần không giới hạn, không bị chặn. B) $u_n=2025^n$ tăng rất nhanh, không bị chặn. C) $u_n=1-2025n$ giảm dần không giới hạn, không bị chặn. D) $u_n=\frac{2025}{n+1}$ với mọi $n\ge 1$ thỏa $0<u_n\le \frac{2025}{2}=1012,5$, nên dãy bị chặn (và $\lim u_n=0$). Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{3n+1}{n^2+2}=\frac{31}{102}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta có $102(3n+1)=31(n^2+2)\iff 306n+102=31n^2+62\iff 31n^2-306n-40=0$. Biệt thức $\Delta =306^2+4\cdot 31\cdot 40=93636+4960=98596=314^2$, nên $n=\frac{306+314}{62}=10$ (nhận, $n$ nguyên dương; nghiệm kia âm). Vậy $\frac{31}{102}$ là số hạng thứ 10, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{3n+1}{n^2+2}=\frac{31}{102}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta có $102(3n+1)=31(n^2+2)\iff 306n+102=31n^2+62\iff 31n^2-306n-40=0$. Biệt thức $\Delta =306^2+4\cdot 31\cdot 40=93636+4960=98596=314^2$, nên $n=\frac{306+314}{62}=10$ (nhận, $n$ nguyên dương; nghiệm âm loại). Vậy $\frac{31}{102}$ là số hàng thứ $10$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{n-2}{n+1}=1-\frac{3}{n+1}$ tăng theo $n$ (vì $\frac{3}{n+1}$ giảm), không giảm. B) $u_n=2n+5$ tăng. C) $u_n=\frac{1}{n}$: $u_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=u_n$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm. D) $u_n=n^2$ tăng. Vậy dãy giảm là $u_n=\frac{1}{n}$, khớp đáp án nguồn (đề 102, Câu 5 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{n-2}{n+1}$, ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{n-1}{n+2}-\frac{n-2}{n+1}=\frac{(n-1)(n+1)-(n-2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2-1-(n^2-4)}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy tăng. B) $u_n=-2n+5$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=-2<0$. C) $u_n=\frac{1}{n}$ giảm vì $u_{n+1}<u_n$. D) $u_n=-n^2$ giảm vì $-(n+1{)}^2<-n^2$. Vậy dãy tăng là phương án A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A tăng ($1;3;5;7;9;\dots$). B có $u_n=-\frac{n+1}{n+2}$, $u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{(n+3)(n+2)}<0$ nên dãy giảm (các số hạng $-\frac{2}{3}>-\frac{3}{4}>-\frac{4}{5}>\cdots$). C là dãy xen kẽ dấu nên không giảm. D không đơn điệu do có số hạng 5 sau $-4$. Vậy dãy giảm là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3^{-n}+1=\frac{1}{3^n}+1$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^n}<0$. B) $u_n=\sin n$ không đơn điệu (ví dụ $\sin 1>\sin 2$ nhưng $\sin 2<\sin 3$). C) $u_{n+1}-u_n=2(n+1)-3-(2n-3)=2>0$ nên dãy tăng. D) $u_n=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}<0$. Vậy dãy tăng là $u_n=2n-3$, khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 1101): a) $u_5=\frac{5+1}{5}=\frac{6}{5}$ không phải số nguyên → Sai. b) $u_{n+1}-u_n=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0$ với mọi $n$ nên dãy tăng → Đúng. c) $S_{10}=\frac{10}{2}(2u_1+9d)=5(10-18)=-40$ → Đúng. d) $u_k=2\cdot 3^{k-1}=162\Rightarrow 3^{k-1}=81=3^4\Rightarrow k=5$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1101: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{6}{5}=1,2$ không phải số nguyên.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2>0$ nên dãy số tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=\frac{10}{2}(2\cdot 5+9\cdot (-2))=5(-8)=-40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2\cdot 3^{k-1}=162\Rightarrow 3^{k-1}=81\Rightarrow k-1=4\Rightarrow k=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_{n+1}-u_n=8+\frac{3}{n+1}-\left(8+\frac{3}{n}\right)=3\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{-3}{n(n+1)}<0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm → đúng.
b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(8+\frac{3}{n}\right)=8\ne 11$ → sai.
c) $d=\frac{u_8-u_1}{7}=\frac{7-21}{7}=-2$; $u_{16}=u_1+15d=21-30=-9$ → đúng.
d) Nếu $u_1<0$ và $q>1$ thì $u_{n+1}=u_{n}q<u_n$ (vì $u_n<0$), dãy giảm; ví dụ $u_1=-1,q=2$ cho dãy $-1,-2,-4,\dots$ giảm → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=\frac{-3}{n(n+1)}<0$ nên dãy giảm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(8+\frac{3}{n}\right)=8\ne 11$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d=\frac{7-21}{7}=-2$, $u_{16}=21+15(-2)=-9$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $u_1<0$, $q>1$ thì dãy giảm (ví dụ $-1,-2,-4,\dots$), nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $n\ge 2$, ta có $u_n=u_1+{\sum }_{k=2}^n(2k-3)=3+{\sum }_{k=2}^n(2k-3)$. Tổng ${\sum }_{k=2}^n(2k-3)=2\cdot \frac{(2+n)(n-1)}{2}-3(n-1)=(n-1)(n+2)-3(n-1)=(n-1{)}^2$. Vậy $u_n=3+(n-1{)}^2$ (kiểm tra: $u_1=3$ đúng, $u_2=4=3+1$ vì $u_2-u_1=1$ đúng). Do đó $u_{1000}=3+999^2=3+998001=998004$. Tính $\frac{u_{1000}}{109}=\frac{998004}{109}=9156$ (vì $109\times 9156=998004$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n$ với mỗi dãy. A: $u_n=n^2+2025n$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=2n+2026>0$. B: $u_n=n^{2025}+2026$ tăng vì $u_{n+1}-u_n>0$. C: $u_n=\frac{2026}{2025n}$, ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2026}{2025}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{-2026}{2025n(n+1)}<0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm. D: $u_n=\frac{2024}{2025}n$ tăng vì hệ số dương. Vậy dãy giảm là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=-1$ và $u_{n+1}=u_n+4n$, ta có với $n\ge 2$: $u_n=u_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}4k=-1+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2n^2-2n-1$. Kiểm tra: $u_1=2-2-1=-1$ đúng; $u_2=-1+4=3=8-4-1$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_{n+1}=u_n+4n$ và $u_1=-1$, ta có với $n\ge 2$: $u_n=u_1+4(1+2+\cdots +(n-1))=-1+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2n^2-2n-1$. Kiểm tra: $u_1=2-2-1=-1$ đúng; $u_2=u_1+4=3$ và $2\cdot 4-4-1=3$ đúng. Vậy $u_n=2n^2-2n-1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$. Khi đó $v_{n+1}=\frac{3u_n+1}{u_n}=3+v_n$, tức $v_{n+1}-v_n=3$: dãy $(v_n)$ là cấp số cộng công sai 3 với $v_1=\frac{1}{u_1}=2$. Suy ra $v_n=2+3(n-1)=3n-1$, do đó $u_n=\frac{1}{3n-1}$. Với $n=2026$: $u_{2026}=\frac{1}{3\cdot 2026-1}=\frac{1}{6077}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{2n+5}{n^2+1}=\frac{35}{226}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta có $226(2n+5)=35(n^2+1)\iff 35n^2-452n-1095=0$. Biệt thức $\Delta =452^2+4\cdot 35\cdot 1095=204304+153300=357604=598^2$, nên $n=\frac{452+598}{70}=15$ (nghiệm âm loại). Thử lại: $u_{15}=\frac{35}{226}$. Vậy $\frac{35}{226}$ là số hạng thứ 15, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n^2+3n+7}{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)+5}{n+1}=n+2+\frac{5}{n+1}$. Vì $n\ge 1$ nên $n+2$ nguyên, do đó $u_n$ nguyên khi và chỉ khi $\frac{5}{n+1}$ nguyên, tức $n+1$ là ước dương của 5. Với $n\ge 1$ thì $n+1\ge 2$, nên chỉ có $n+1=5\Rightarrow n=4$, khi đó $u_4=4+2+1=7$. Vậy dãy có đúng 1 số hạng nhận giá trị nguyên.