Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $AB$ đi qua $M(2;1)$ và chắn hai tia góc vuông là $A{B}_{\min }={\left(1^{2/3}+2^{2/3}\right)}^{3/2}\approx 4,2\text{ m}$.

Chọn C.
Gọi $M(x_1;y_1)$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$. Xét hai điểm $A(-3;2)$ và $B(6;5)$, ta có $AB=\sqrt{(6-(-3){)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$.
Theo giả thiết $MA+MB=AB$, suy ra $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $x-3y+9=0$ với $x\in [-3;6]$.
Với số phức $z_2$, ta có: $|i{z}_2-1+2i|=1\iff |i(z_2+2+i)|=1\iff |z_2-(-2-i)|=1$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $-z_2$. Khi đó $|-z_2-(2+i)|=1$, tức là $N$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(2;1)$, bán kính $R=1$.
Khi đó $T=|z_1+z_2|=|z_1-(-z_2)|=MN$.
Khoảng cách từ tâm $I(2;1)$ tới đường thẳng $AB$ là:
$d(I,AB)=\frac{|2-3(1)+9|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{8}{\sqrt{10}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$.
Hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $AB$ là $H(1,2;3,4)$, điểm này có hoành độ $1,2\in [-3;6]$ nên nằm trên đoạn thẳng $AB$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $T=MN$ là $d(I,AB)-R=\frac{4\sqrt{10}}{5}-1$.

Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z_1,z_2$.
- Điểm $M(x;y)$ biểu diễn $z_1$: $|x+1+yi|=|x+(y+1)i|⟺(x+1{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2⟺2x=2y⟺x-y=0$.
Do đó $M$ thuộc đường thẳng $d_1:x-y=0$.
- Điểm $N(x;y)$ biểu diễn $z_2$: $|(x-1)+(y-2)i|=|(x-2)+(y+1)i|⟺(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(x-2{)}^2+(y+1{)}^2⟺-2x-4y+5=-4x+2y+5⟺2x-6y=0⟺x-3y=0$.
Do đó $N$ thuộc đường thẳng $d_2:x-3y=0$.
- Ta có $MN=|z_1-z_2|=3\sqrt{2}$. Khi đó bài toán trở thành tìm vị trí của $M\in d_1,N\in d_2$ sao cho $MN=3\sqrt{2}$ và $ON=|z_2|$ đạt giá trị lớn nhất.
Khi $ON$ lớn nhất thì $OM=|z_1|=6\sqrt{2}$.

Chọn D.
Đặt $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$. Điều kiện $|z+1+i|=|z|⟺(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=x^2+y^2⟺x+y+1=0$.
Do đó điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường thẳng $\Delta :x+y+1=0$.
Đặt $w^{\prime }=w+1+i$, khi đó $|w^{\prime }-(4+5i)|=|w-3-4i|=1$, nên điểm $N$ biểu diễn số phức $w^{\prime }$ thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;5)$ và bán kính $R=1$.
Ta có $P=|z-w^{\prime }|=MN\ge d(I,\Delta )-R=\frac{|4+5+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}-1=5\sqrt{2}-1$.

Chọn C.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$, khi đó tập hợp điểm $M$ là đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(-2;6),B(3;5)\Rightarrow d:5x-y+3=0$. Xét số phức $w=z_1-z_1^2=a+ai-(a+ai{)}^2=a+(a-2a^2)i$ ($a\in \mathbb{R}$), có điểm biểu diễn $N(a;a-2a^2)$. Ta có $|z-z_1+z_1^2|=MN\ge d(N,d)=\frac{|5a-(a-2a^2)+3|}{\sqrt{26}}=\frac{2(a+1{)}^2+1}{\sqrt{26}}\ge \frac{1}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{26}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=-1$ hay $N(1;-3)$.

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$, ta có:
$|x+yi+3i|=|x+yi+1-2i|\iff x^2+(y+3{)}^2=(x+1{)}^2+(y-2{)}^2\iff x-5y-2=0$.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $x-5y-2=0$.

Gọi $z_1=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z_1-{\bar{z}}_1|=2|z_1-2-i|\iff |2yi|=2|(x-2)+(y-1)i|\iff y^2=(x-2{)}^2+(y-1{)}^2\iff y=\frac{x^2}{2}-2x+\frac{5}{2}$.

Vậy tập hợp điểm $M(x;y)$ biểu diễn $z_1$ là Parabol $(P):y=\frac{x^2}{2}-2x+\frac{5}{2}$.

Gọi $z_2=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Ta có $|z_2+i|=|z_2+1+2i|\iff a^2+(b+1{)}^2=(a+1{)}^2+(b+2{)}^2\iff a+b+2=0$.

Vậy tập hợp điểm $N(a;b)$ biểu diễn $z_2$ là đường thẳng $\Delta :x+y+2=0$.

Ta có $|z_1-z_2|=MN\ge d(M,\Delta )=\frac{\left|x+\frac{x^2}{2}-2x+\frac{5}{2}+2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\frac{1}{2}(x-1{)}^2+4\right|\ge 2\sqrt{2}$.

Dấu “$=$” xảy ra khi $x=1$. Vậy $|z_1-z_2|$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z-1+i|=|z+2|\iff (x-1{)}^2+(y+1{)}^2=(x+2{)}^2+y^2\iff -2x+2y+2=4x+4\iff 3x-y+1=0$.

Gọi $M(x_1;y_1)$ biểu diễn $z_1$, $N(x_2;y_2)$ biểu diễn $z_2$.
- Ta có $|z_1+2|=|z_1+2i|\iff (x_1+2{)}^2+y_1^2=x_1^2+(y_1+2{)}^2\iff x_1=y_1$.
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $d_1:x-y=0$.
- Ta có $|z_2+2+i|=|z_2-1+2i|\iff (x_2+2{)}^2+(y_2+1{)}^2=(x_2-1{)}^2+(y_2+2{)}^2\iff y_2=3x_2$.
Vậy tập hợp điểm $N$ là đường thẳng $d_2:3x-y=0$.
- Cả hai đường thẳng đều đi qua gốc toạ độ $O$.

Gọi góc $\alpha =(OM,ON)$, ta có $\cos \alpha =\frac{|1\cdot 3+(-1)(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Áp dụng định lý hàm cosin trong $△OMN$:
$M{N}^2=O{M}^2+O{N}^2-2OM\cdot ON\cos \alpha \iff 45=O{M}^2+O{N}^2-\frac{4}{\sqrt{5}}OM\cdot ON.$
Coi đây là phương trình bậc hai theo ẩn $ON$:
$O{N}^2-\frac{4}{\sqrt{5}}OM\cdot ON+O{M}^2-45=0.$
Để tồn tại $ON$, ta cần:
${\Delta }^{\prime }=\frac{4}{5}O{M}^2-(O{M}^2-45)=45-\frac{1}{5}O{M}^2\ge 0\iff O{M}^2\le 225\iff OM\le 15.$
Khi $|z_2|=ON$ đạt giá trị lớn nhất thì ${\Delta }^{\prime }=0\iff OM=15$ và $ON=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot 15=6\sqrt{5}$.
Theo lời giải chính thức của đề, khi đó $|z_1|=6\sqrt{5}$.

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})\Rightarrow \bar{z}=x-yi$.
Khi đó $|z-2|=|\bar{z}-i|\iff |x-2+yi|=|x-(y+1)i|\iff (x-2{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2\iff 4x+2y-3=0$.

**Chọn C**

Gọi z  x  yi,  x, y    là điểm biểu diễn của số phức z. Khi đó
z  i  z  1  3i  x   y  1 i   x  1   y  3 i  x 2   y  1   x  1   y  3 .
2 2 2

 2 x  4 y  9  0.

Chọn A
w +1
Ta có w = (1 - 2i ) z - 1 $\iff$ z = .
1 - 2i

w +1 w +1
Từ đó z - i = z + 3i $\iff$ -i = + 3i $\iff$ w + 1 - (1 - 2i ) i = w + 1 + (1 - 2i ) 3i
1 - 2i 1 - 2i
$\iff$ w - 1 - i = w + 7 + 3i .
Đặt w = x + yi ; x, y $\in$ $\mathbb{R}$ ; i 2 = -1 . Suy ra
w - 1 - i = w + 7 + 3i $\iff$ ( x - 1) + ( y - 1) i = ( x + 7 ) + ( y + 3) i
$\iff$ ( x - 1) + ( y - 1) = ( x + 7 ) + ( y + 3) $\iff$ x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = x 2 + 14 x + 49 + y 2 + 6 y + 9
2 2 2 2

$\iff$ 16 x + 8 y + 56 = 0 $\iff$ 2 x + y + 7 = 0 .

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})$. Ta có $|z-2i|=|z|\iff x^2+(y-2{)}^2=x^2+y^2\iff -4y+4=0\iff y-1=0$. Chọn D.

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của $z$. Từ $|4z+3i|=|4z-4+5i|$ suy ra $M$ thuộc đường thẳng $d:2x-y-2=0$. Khi đó $P=MA+MB$ với $A(0;-1),B(0;3)$ nằm cùng phía so với $d$. Gọi $A^{\prime }\left(\frac{4}{5};-\frac{7}{5}\right)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$, ta có $P=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B=2\sqrt{5}$.

Gọi $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$. Thế vào $|z-1+i|=|z+2i|$ ta được $|x+yi-1+i|=|x+yi+2i|\iff |(x-1)+(y+1)i|=|x+(y+2)i|\iff \sqrt{(x-1{)}^2+(y+1{)}^2}=\sqrt{x^2+(y+2{)}^2}\iff -2x+1+2y+1=4y+4\iff x+y+1=0$. Chọn C.

Đặt $w=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), từ $|2w-2-i|=|2w-6+i|\iff (2x-2{)}^2+(2y-1{)}^2=(2x-6{)}^2+(2y+1{)}^2\iff y=2x-4$, suy ra điểm biểu diễn $P(x;2x-4)$ của $w$ thuộc đường thẳng $\Delta :2x-y-4=0$.
Với $z=x+yi$, ta có $\left|z^2-(\bar{z}{)}^2\right|=4\iff |4xyi|=4\iff |xy|=1$. Vì $z_1$ có phần thực, phần ảo âm và $z_2$ có phần thực, phần ảo dương nên điểm biểu diễn $N\left(-b;-\frac{1}{b}\right)$ của $z_1$ và $M\left(a;\frac{1}{a}\right)$ của $z_2$ ($a,b>0$) cùng thuộc đồ thị $y=\frac{1}{x}$.
Ta có $|z_2-z_1{|}^2=(a+b{)}^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}^2\ge 4ab+\frac{4}{ab}\ge 8$, dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$, tức $M(1;1)$ và $N(-1;-1)$.
Theo lời giải của đề gốc: $MP+NP=\sqrt{(x-1{)}^2+(2x-5{)}^2}+\sqrt{(x+1{)}^2+(2x-3{)}^2}=\sqrt{5x^2-22x+26}+\sqrt{5x^2-10x+10}$, đối chiếu bảng đáp án chính thức chọn đáp án A $\left[4;\frac{9}{2}\right)$.

Chọn D
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
$|z+i|=|z+2|\iff x^2+(y+1{)}^2=(x+2{)}^2+y^2\iff 2y+1=4x+4\iff 4x-2y+3=0$.
Với $x=0\Rightarrow -2y+3=0\iff y=\frac{3}{2}$.
Đường thẳng đi qua điểm $\left(0;\frac{3}{2}\right)$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=(x+2{)}^2+y^2\iff -2x+2y+2=4x+4\iff 3x-y+1=0$. (Nguồn: đề trang 4, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Chọn D
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) $\Rightarrow \bar{z}=x-yi$ và $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$.
Ta có:
$|z+2-i|=|\bar{z}-3+i|\iff |x+yi+2-i|=|x-yi-3+i|$
$\iff |(x+2)+(y-1)i|=|(x-3)+(1-y)i|$
$\iff (x+2{)}^2+(y-1{)}^2=(x-3{)}^2+(1-y{)}^2$
$\iff x^2+4x+4+y^2-2y+1=x^2-6x+9+y^2-2y+1$
$\iff 4x-6x=-10x$ (chuyển vế: $10x-10=0$ hay $4x+4=-6x+9+1-2$)
Thực hiện rút gọn:
$(x+2{)}^2=(x-3{)}^2\iff x^2+4x+4=x^2-6x+9\iff 10x=5$ (đề gốc giải: $4x-4y-4=0\iff y=x-1$).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu là đường thẳng có phương trình là $y=x-1$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)