Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Đặt $z=x+yi$ ($y>0$). Giải hệ $\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=5\\ (x+1{)}^2+(y-3{)}^2=13\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x+2y=0\\ x^2+y^2+2x-6y=3\end{array}$. Trừ hai phương trình được $6x-8y=3$. Thay vào và chọn nghiệm có $y>0$ tính được $P=|2z+1-i|=\sqrt{10}$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có:
$(z+1-3i)(\bar{z}+3+i)=[(x+1)+(y-3)i][(x+3)+(1-y)i]$.
Vì tích trên là số thuần ảo nên phần thực bằng $0$:
$(x+1)(x+3)-(y-3)(1-y)=0\iff x^2+y^2+4x-4y+6=0\iff (x+2{)}^2+(y-2{)}^2=2$.
Vậy các điểm biểu diễn $A,B$ của $z_1,z_2$ thuộc đường tròn tâm $I(-2;2)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Do $|z_1-z_2|=AB=\sqrt{2}=R$ nên $△IAB$ là tam giác đều cạnh $\sqrt{2}$.
Gọi $J$ là trung điểm của $AB$, ta có:
$|w|=|(z_1+2-2i)+(z_2+2-2i)|=\left|\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right|=2IJ=2\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$.
Chọn đáp án C.

[IMAGE:img_1]

Ta có $(1+i)w-(5+7i)=(1+5i)(z-1)\iff (1+i)[w-(6+i)]=(1+5i)(z-1)\Rightarrow |w-(6+i)|=\sqrt{13}|z-1|=\sqrt{13}$. Tâm đường tròn là $(6;1)$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z,w$. Do $|z|=|w|=2$, $A,B$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$, bán kính $R=2$. Điều kiện $(z-1-i)(\bar{w}-1+i)$ là số thực tương đương với $\vec{u}\cdot \vec{v}...$ Sử dụng lượng giác hóa hoặc hình học giải ra $m^2+M^2=24$. Chọn B.

Chọn C
Ta có: $w=(3+4i)z+i\iff w-i=(3+4i)z$.
Lấy môđun hai vế: $|w-i|=|3+4i|\cdot |z|=\sqrt{3^2+4^2}\cdot 4=5\cdot 4=20$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính $r=20$.

Chọn C
Gọi z = x + yi , với x, y $\in$  .
Theo giả thiết, ta có 2 z + 2 - i = 3 $\iff$ 2 x + 2 yi + 2 - i = 3 $\iff$ ( 2 x + 2 ) + ( 2 y - 1) i

Û (2 x + 2) + (2 y -1) = 3 Û (2 x + 2) + (2 y -1) = 9
2 2 2 2

Û 4 x2 + 4 y 2 + 8x - 4 y - 4 = 0
Û x 2 + y 2 + 2 x - y -1 = 0
 1 3
Do đó điểm biểu diễn của số phức là đường tr$\int$ n tâm và bán kính là I  -1;  , r =
 2 2

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})$. Ta có:
$(z+1)(\bar{z}-i)=(x+1+yi)\left(x-(y+1)i\right)=x(x+1)+y(y+1)-(x+y+1)i.$
Để số phức trên là số thuần ảo thì phần thực bằng $0$, tức là:
$x^2+y^2+x+y=0\iff {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$, bán kính $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})$. Khi đó $|\bar{z}-3+4i|=12\iff |(x-3)-(y-4)i|=12\iff (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=12^2$. Tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn tâm $I(3;4)$, bán kính $R=12$. Vì $OI=\sqrt{3^2+4^2}=5$, môđun nhỏ nhất của $z$ là $|z{|}_{\min }=|R-OI|=12-5=7$. Chọn B.

Gọi $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Ta có $(z+2i)(\overline{z}-2)=(a+(b+2)i)(a-2-bi)=a(a-2)+b(b+2)+i[(a-2)(b+2)-ab]=a^2+b^2-2a+2b+i(2a-2b-4)$. Để số phức là thuần ảo thì phần thực bằng $0$, tức là $a^2+b^2-2a+2b=0\iff (a-1{)}^2+(b+1{)}^2=2$. Tập hợp các điểm biểu diễn là đường tròn có bán kính $R=\sqrt{2}$. Chọn A.

a) Đúng vì $I(x;2x+9)\in \Delta$ và $I{B}^2=I{C}^2\iff (x-1{)}^2+(2x+8{)}^2=x^2+(2x+11{)}^2\iff 5x^2+30x+65=5x^2+44x+121\iff 14x=-56\iff x=-4\Rightarrow I(-4;1)$.
b) Sai vì trọng tâm tam giác $ABC$ có tọa độ $\left(\frac{2+1+0}{3};\frac{-5+1-2}{3}\right)=(1;-2)\ne G(1;2)$.
c) Sai vì đường tròn tâm $G(1;2)$ có vế trái là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2$ và $G{A}^2=(2-1{)}^2+(-5-2{)}^2=50$.
d) Sai vì đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC}=(-1;-3)$ (tức $(1;3)$) làm vectơ pháp tuyến, không phải $(-1;3)$.

Đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=5$.
a) Đúng vì tiếp tuyến có dạng $\Delta :3x+2y+c=0$ ($c\ne -15$) với $d(I,\Delta )=R\iff \frac{|3\cdot 2+2(-3)+c|}{\sqrt{3^2+2^2}}=5\iff |c|=5\sqrt{13}\iff c=\pm 5\sqrt{13}$.
b) Sai vì $R=5\ne 25$.
c) Đúng vì $2^2+2^2-4\cdot 2+6\cdot 2-12=0$.
d) Sai vì tâm đường tròn là $I(2;-3)\ne (-2;3)$.

Ta có $w=(1-i)z+i\iff w-i=(1-i)z\iff w-i-2(1-i)=(1-i)(z-2)\iff w-(2-i)=(1-i)(z-2)$. Lấy môđun hai vế: $|w-(2-i)|=|1-i||z-2|=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính $r=2\sqrt{2}$. Chọn C.

Tập hợp điểm biểu diễn của $z_1$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(1;-2)$, bán kính $R_1=2$. Tập hợp điểm biểu diễn của $z_2$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(4;2)$, bán kính $R_2=3$. Khoảng cách giữa hai tâm là $I_1{I}_2=\sqrt{(4-1{)}^2+(2-(-2){)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Ta thấy $I_1{I}_2=R_1+R_2=2+3=5$, do đó hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau tại tiếp điểm $M$. Khi chọn $z_1,z_2$ cùng trùng với tiếp điểm $M$, ta có $|z_1-z_2|=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $0$. Vậy chọn D.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 202; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $|zi-(2+i)|=2\iff |z-1+2i|=2$, nên các điểm biểu diễn $M(z_1),N(z_2)$ thuộc đường tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=2$ và $MN=2$. Gọi $E$ là trung điểm $MN$, ta có $A=|(z_1-1+2i)+(z_2-1+2i)|=2IE=2\sqrt{R^2-{\left(\frac{MN}{2}\right)}^2}=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$.

Biến đổi $w=\frac{3-4i}{5+10i}z-\frac{25i}{5+10i}$. Vì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn bán kính $R=2\sqrt{5}$, qua phép biến đổi tuyến tính tập hợp điểm biểu diễn $w$ cũng là một đường tròn có bán kính $R^{\prime }=\frac{|3-4i|}{|5+10i|}R=\frac{5}{5\sqrt{5}}\cdot 2\sqrt{5}=2$. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm đường tròn quỹ đạo của $w$ và suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|w|$ bằng $2\sqrt{10}$. Chọn C.

Tập hợp các điểm biểu diễn $z_1$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(1;-2)$, bán kính $R_1=2$. Tập hợp các điểm biểu diễn $z_2$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(4;2)$, bán kính $R_2=3$. Khoảng cách hai tâm: $I_1{I}_2=\sqrt{(4-1{)}^2+(2-(-2){)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Giá trị lớn nhất của $|z_1-z_2|=I_1{I}_2+R_1+R_2=5+2+3=10$. Chọn C.

Tập hợp các điểm biểu diễn $z$ thứ nhất là đường tròn tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=2$. Tập hợp thứ hai là một đường thẳng trung trực. Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính $R$, nên đường thẳng cắt đường tròn tại đúng 2 điểm phân biệt, tương ứng với 2 số phức $z$. Chọn A.