Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Gọi $S_1=\pi \cdot 20^2,S_2=\pi \cdot 15^2$ và $S_{\text{giao}}$ là diện tích phần giao của hai hình tròn. Tổng chi phí là $100000(S_1+S_2-2S_{\text{giao}})+300000S_{\text{giao}}=100000(S_1+S_2+S_{\text{giao}})\approx 202$ triệu đồng.

Chọn C.


Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) có điểm biểu diễn là $M(x;y)$.
Ta có:
+) $|z+\bar{z}|\ge 12⟺|2x|\ge 12⟺|x|\ge 6⟺[\begin{array}{rl}x& \ge 6\\ x& \le -6\end{array}$.
+) $|z-4-3i|\le 2\sqrt{2}⟺(x-4{)}^2+(y-3{)}^2\le (2\sqrt{2}{)}^2=8$.
Đây là hình tròn tâm $I(4;3)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Vì hình tròn có hoành độ chạy từ $4-2\sqrt{2}\approx 1,17$ đến $4+2\sqrt{2}\approx 6,83$, nên điều kiện $x\le -6$ không có điểm chung với hình tròn.
Do đó hình phẳng $(\mathcal{H})$ là phần hình tròn nằm bên phải đường thẳng $x=6$.
Khoảng cách từ tâm $I(4;3)$ đến đường thẳng $x=6$ là $d=6-4=2$.
Độ dài dây cung cắt bởi đường thẳng $x=6$ là:
$AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{8-4}=4$.
Góc ở tâm chắn cung $AB$ là:
$\cos \frac{\widehat{AIB}}{2}=\frac{d}{R}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \frac{\widehat{AIB}}{2}=45^{\circ }\Rightarrow \widehat{AIB}=90^{\circ }$.
Diện tích hình quạt tròn $IAB$ là:
$S_q=\frac{1}{4}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi (8)=2\pi$.
Diện tích tam giác vuông cân $IAB$ là:
$S_{△IAB}=\frac{1}{2}{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 8=4$.
Diện tích hình viên phân $(\mathcal{H})$ là:
$S=S_q-S_{△IAB}=2\pi -4$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) $⟹\bar{z}=x-yi$.
Ta có: $(z+i)(\bar{z}+2)=[x+(y+1)i][(x+2)-yi]=x(x+2)+y(y+1)+[-(xy)+(y+1)(x+2)]i$.
Để tích là số thuần ảo thì phần thực bằng 0: $x(x+2)+y(y+1)=0⟺x^2+2x+y^2+y=0⟺(x+1{)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$.
Tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường tròn có bán kính $R=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Chọn C.

Đặt $z=x+yi$ $(z\ne -i)$, ta có $\frac{z+2}{z+i}=\frac{(x+2+yi)(x-(y+1)i)}{x^2+(y+1{)}^2}$ là số thuần ảo khi phần thực bằng $0\iff x(x+2)+y(y+1)=0\iff (x+1{)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}$. Tâm đường tròn là $I\left(-1;-\frac{1}{2}\right)$. Chọn B.

Đặt $z=x+yi$, từ $2((x+1{)}^2+y^2)=x^2+(y-1{)}^2\iff x^2+4x+y^2+2y+1=0\iff (x+2{)}^2+(y+1{)}^2=4\iff |z+2+i|=2$. Chọn D.

Điểm biểu diễn của $z_1$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(1;2),R_1=1$; điểm biểu diễn của $z_2$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(5;-1),R_2=2$. Ta có $I_1{I}_2=\sqrt{(5-1{)}^2+(-1-2{)}^2}=5>R_1+R_2$, nên $P_{\min }=I_1{I}_2-R_1-R_2=5-1-2=2$.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-(6+8i)|=2$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I(6;8)$, bán kính $R_1=2$.
Điều kiện $z\bar{z}=64⟺|z{|}^2=64⟺|z|=8$, tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn $(C_2)$ tâm $O(0;0)$, bán kính $R_2=8$.
Khoảng cách giữa hai tâm: $OI=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Nhận thấy $R_1+R_2=2+8=10=OI$, suy ra hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại đúng 1 điểm duy nhất. Vậy có đúng 1 số phức $z$ thỏa mãn. Chọn D.

Ta có $|iz-i+1|=2⟺|i(z-1-i)|=2⟺|z-(1+i)|=2$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(1;1)$, bán kính $R=2$. Điều kiện $|z-1|=|z+2i|$ với $z=x+yi$: $(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y+2{)}^2⟺2x+4y+3=0$ (đường thẳng $\Delta$). Khoảng cách từ $I(1;1)$ đến $\Delta$ là $d(I,\Delta )=\frac{|2(1)+4(1)+3|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{9}{\sqrt{20}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}\approx 2,012>2=R$. Vì khoảng cách lớn hơn bán kính nên đường thẳng không cắt đường tròn, do đó không có số phức $z$ nào thỏa mãn. Chọn A.

Chọn A.
Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $BC$. Khi đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thỏa mãn:
$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}⟺G=V_{\left(A,\frac{2}{3}\right)}(M).$
Vì $M$ là trung điểm dây cung $BC$ của đường tròn $(O;R)$ nên quỹ tích điểm $M$ là đường tròn có bán kính $R_M\le R$.
Bán kính của đường tròn quỹ tích của $G$ là:
$R_G=\left|\frac{2}{3}\right|R_M=\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Đường thẳng $AB$ có phương trình $x+y-8=0$. $AB=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$. Điểm $M$ trên đường tròn có khoảng cách tới $AB$ lớn nhất là $M(2;-2)$. Tính $AM=\sqrt{(2-3{)}^2+(-2-5{)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ hoặc tương đương tọa độ cho $3\sqrt{10}$. Chọn C.

Chọn B.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_1$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(0;2)$ bán kính $R=3$.
Đặt $z_2=x+yi$. Ta có:
$|x+2+(y+2)i|=|x+2+(y+4)i|⟺(y+2{)}^2=(y+4{)}^2⟺4y+4=8y+16⟺4y=-12⟺y=-3.$
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_2$ là đường thẳng $\Delta :y=-3$.
Khoảng cách từ tâm $I(0;2)$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d(I,\Delta )=|2-(-3)|=5.$
Giá trị nhỏ nhất của $P=|z_1-z_2|$ là:
$P_{\min }=d(I,\Delta )-R=5-3=2.$

Chọn C.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$, $z\ne 4$).
Ta có $|z+3i|=5\iff x^2+(y+3{)}^2=25\iff x^2+y^2+6y-16=0$ (1).
Xét $\frac{z}{z-4}=\frac{x+yi}{(x-4)+yi}=\frac{(x+yi)(x-4-yi)}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x(x-4)+y^2+i[y(x-4)-xy]}{(x-4{)}^2+y^2}$.
Để $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo thì phần thực phải bằng 0:
$$x(x-4)+y^2=0\iff x^2-4x+y^2=0\text{ (với }(x;y)\ne (4;0)\text{)}(2).$$
Lấy (1) trừ (2) ta được $4x+6y-16=0\iff 2x+3y=8\iff x=\frac{8-3y}{2}$.
Thay vào (2) ta được phương trình bậc hai có 2 nghiệm: $y=0\Rightarrow x=4$ (loại do $z\ne 4$) và $y=\frac{24}{13}\Rightarrow x=\frac{16}{13}$ (thỏa mãn).
Vậy có đúng 1 số phức $z$ thỏa mãn.

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})$. Ta có $|z-i|=\sqrt{2}|z|\iff x^2+(y-1{)}^2=2(x^2+y^2)\iff x^2+(y+1{)}^2=2$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn tâm $I(0;-1)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Điểm biểu diễn $M(x;y)$ của $z$ thỏa mãn $|z+2-i|=2$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2$.
Phương trình $(C):(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=4$.
Ta có $z-i=x+(y-1)i$.
Số phức $(z-i{)}^2=x^2-(y-1{)}^2+2x(y-1)i$ là số thuần ảo khi phần thực bằng 0:
$x^2-(y-1{)}^2=0\iff (y-1{)}^2=x^2\iff [<table><tbody><tr><td>y-1=x</td></tr><tr><td>y-1=-x</td></tr></tbody></table>$
Thay vào phương trình đường tròn $(C)$:
- Với $(y-1{)}^2=x^2$: $(x+2{)}^2+x^2=4\iff 2x^2+4x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=-2</td></tr></tbody></table>$
+ $x=0\Rightarrow (y-1{)}^2=0\Rightarrow y=1\Rightarrow z=i$.
+ $x=-2\Rightarrow (y-1{)}^2=4\Rightarrow y-1=\pm 2\Rightarrow y=3$ hoặc $y=-1$, tương ứng $z=-2+3i$ hoặc $z=-2-i$.
Kiểm tra lại, có đúng 3 điểm phân biệt thỏa mãn.
Vậy có 3 số phức $z$ thỏa mãn.
Chọn D.

Xét hình học và phương trình đường tròn cung lan can đi qua các điểm $A,E,B$:
Tính độ dài cung tròn $L$ của lan can nhô ra.
Diện tích lan can hình trụ là $S=L\cdot h=L\cdot 1\text{ m}$.
Tổng chi phí bằng $S\times 2,2$ triệu đồng $\approx \mathrm{9.977.000}$ đồng.

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Ta có $(z-2{)}^2=((x-2)+yi{)}^2=(x-2{)}^2-y^2+2(x-2)yi$.
Để $(z-2{)}^2$ là số thuần ảo thì phần thực bằng $0$, tức $(x-2{)}^2-y^2=0⟺y^2=(x-2{)}^2⟺y=\pm (x-2)$.
Từ điều kiện $|z-2-5i|=\sqrt{17}⟺(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=17$.
Thay $(x-2{)}^2=y^2$ vào phương trình mặt cầu:
$y^2+(y-5{)}^2=17⟺2y^2-10y+25=17⟺2y^2-10y+8=0⟺y^2-5y+4=0$.
Suy ra $y=1$ hoặc $y=4$.
- Với $y=1⟹(x-2{)}^2=1⟹x-2=\pm 1⟹x=3$ hoặc $x=1$ (cho 2 số phức).
- Với $y=4⟹(x-2{)}^2=16⟹x-2=\pm 4⟹x=6$ hoặc $x=-2$ (cho 2 số phức).
Vậy có tất cả $4$ số phức $z$ thỏa mãn.

Gọi số phức $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$. Khi đó:
$|z{|}^2-5\bar{z}-5z=0\iff x^2+y^2-5(x-yi)-5(x+yi)=0\iff x^2+y^2-10x=0\iff (x-5{)}^2+y^2=25$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn là đường tròn tâm $I(5;0)$, bán kính $R=5$. Chọn A.

Chọn B.
Tính toán chi phí cho các phần diện tích: diện tích hình vuông hoa, diện tích cỏ giới hạn bởi hình vuông và đường tròn, và 4 cây cọ. Tổng chi phí xấp xỉ $\mathrm{13.265.000}$ đồng.

Chọn A.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
Ta có $|z+2-i|=2\sqrt{2}\iff (x+2{)}^2+(y-1{)}^2=8$.
Đây là phương trình đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Mặt khác, $z-i=x+(y-1)i$.
$(z-i{)}^2=x^2-(y-1{)}^2+2x(y-1)i$ là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng $0$:
$x^2-(y-1{)}^2=0\iff [<table><tbody><tr><td>y-1=x</td></tr><tr><td>y-1=-x</td></tr></tbody></table>$
- Trường hợp 1: $y-1=x$, thay vào phương trình đường tròn:
$(x+2{)}^2+x^2=8\iff 2x^2+4x-4=0\iff x^2+2x-2=0$, có ${\Delta }^{\prime }=1+2=3>0$, cho $2$ nghiệm phân biệt.
- Trường hợp 2: $y-1=-x$, thay vào phương trình đường tròn:
$(x+2{)}^2+(-x{)}^2=8\iff 2x^2+4x-4=0$, tương tự cho $2$ nghiệm phân biệt.
Các nghiệm của hai trường hợp này là phân biệt vì giao tuyến $x=0$ không thỏa mãn phương trình đường tròn ($(0+2{)}^2+0=4\ne 8$).
Vậy có tất cả $4$ số phức $z$ thỏa mãn.