Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+1/x^2}=-x\sqrt{1+1/x^2}$. Do đó mẫu số $\sqrt{x^2+1}-x=-x\sqrt{1+1/x^2}-x=-x\left(\sqrt{1+1/x^2}+1\right)$. Vậy $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+1}-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x(2-3/x)}{-x\left(\sqrt{1+1/x^2}+1\right)}=\frac{2}{-(1+1)}=-1.$$ Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{3x-5}-2}{x-3}=\frac{(3x-5)-4}{(x-3)(\sqrt{3x-5}+2)}=\frac{3(x-3)}{(x-3)(\sqrt{3x-5}+2)}=\frac{3}{\sqrt{3x-5}+2}$. Do đó $L=\frac{3}{\sqrt{4}+2}=\frac{3}{4}=0,75$, khớp đáp án nguồn 0.75.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng giới hạn:
- A: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(-x^3+2x+3)=-\infty$ vì $-x^3$ trội khi $x\to +\infty$.
- B: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2+x+1}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2}{x}=-\infty$.
- C: Khi $x\to 4^{-}$, tử số $2x-1\to 7>0$ và mẫu số $4-x\to 0^{+}$, nên $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{4-x}=+\infty$.
- D: Khi $x\to 4^{+}$, mẫu số $4-x\to 0^{-}$, tử số dương, nên giới hạn bằng $-\infty$.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án C bằng $+\infty$, khớp với đáp án nguồn (Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $v(t)=\frac{5\pi }{6}\sin \left(\frac{\pi }{6}t+\frac{\pi }{3}\right)$ liên tục tại $t=0$ nên $L=\underset{t\to 0}{\lim }v(t)=v(0)=\frac{5\pi }{6}\sin \frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\pi \sqrt{3}}{12}$ (cm/s). Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: lim u_n = c không kéo theo u_n = c với mọi n; ví dụ u_n = c + 1/n có giới hạn bằng c nhưng u_n ≠ c.
b) Đúng: với x → +∞, chia tử và mẫu cho x^2: lim √(4 + 2/x^2)/(2 + 2/x^2) = 2/2 = 1.
c) Đúng: khi x → 1^− thì 2025x → 2025 > 0 và √(1−x^2) → 0^+, nên lim = +∞.
d) Sai: theo hình vẽ trang 3, đường cong (C) (x > 0) tiến tới 2 khi x → 0^+ (chấm hở tại (0;2)), nhưng tia Ot (x ≤ 0) đi qua gốc O nên lim_{x→0^−} f(x) = 0. Vì giới hạn trái (0) khác giới hạn phải (2) nên lim_{x→0} f(x) không tồn tại.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Sai. lim u_n = c không suy ra u_n = c với mọi n; ví dụ u_n = c + 1/n có giới hạn bằng c nhưng u_n ≠ c.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng. Với x → +∞, chia tử và mẫu cho x^2: lim √(4 + 2/x^2)/(2 + 2/x^2) = 2/2 = 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng. Khi x → 1^−, tử số 2025x → 2025 > 0, mẫu số √(1−x^2) → 0^+, nên lim = +∞.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Sai. Theo hình vẽ, lim_{x→0^+} f(x) = 2 (chấm hở tại (0;2)) nhưng lim_{x→0^−} f(x) = 0 vì tia Ot đi qua gốc O. Hai giới hạn một bên khác nhau nên lim_{x→0} f(x) không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to 1$ với $1<2$, ta dùng nhánh $f(x)=-x^2$ (áp dụng khi $x\le 2$). Hàm số $-x^2$ liên tục, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=-(1{)}^2=-1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử và mẫu: $3x^2-13x-10=(3x+2)(x-5)$ và $25-x^2=(5-x)(5+x)=-(x-5)(x+5)$. Khi $x\to 5$, $x\ne 5$ nên ta rút gọn được nhân tử chung $(x-5)$:
$$\underset{x\to 5}{\lim }\frac{3x^2-13x-10}{25-x^2}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(3x+2)(x-5)}{-(x-5)(x+5)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{3x+2}{-(x+5)}=\frac{17}{-10}=-\frac{17}{10}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử và mẫu: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Với $x\to 3$, $x\ne 3$ nên $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-2}{x+3}=\frac{1}{6}$. Phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{1}{6}$, nên $a+b=1+6=7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\frac{(x+7)-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=1-x^2$ khi $x<2$ và $f(x)=\sqrt{x+2}$ khi $x\ge 2$.
a) Với $x\to 3>2$ nên ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}\approx 2,236\ne -8$ → SAI.
b) ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(1-x^2)=1-4=-3$ → ĐÚNG.
c) ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x+2}=\sqrt{4}=2$ → ĐÚNG.
d) Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-3\ne 2={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$ nên giới hạn ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại, do đó không bằng 4 → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to 3>2$ nên dùng nhánh $\sqrt{x+2}$: ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\sqrt{5}\ne -8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{-}}(1-x^2)=1-4=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x+2}=\sqrt{4}=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái $-3$ khác giới hạn phải $2$ nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
a) $x^2+4x-21=(x-3)(x+7)$ nên ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2+4x-21}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+7)=10$.

b) Hàm số $x-2+\sqrt{x^2-x+1}$ liên tục tại $x=0$ (biểu thức trong căn $x^2-x+1>0$ với mọi $x$). Do đó ${\lim }_{x\to 0}\left(x-2+\sqrt{x^2-x+1}\right)=0-2+\sqrt{1}=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<-1$ thì $f(x)=x-2$; với $x\ge -1$ thì $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
a) ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-2-2=-4\ne \sqrt{5}$ → SAI.
b) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{-}}(x-2)=-1-2=-3$ → ĐÚNG.
c) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → ĐÚNG.
d) Vì ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-3\ne \sqrt{2}={\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)$ nên giới hạn khi $x\to -1$ không tồn tại → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to -2<-1$ nên $f(x)=x-2$, giới hạn bằng $-4\ne \sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{-}}(x-2)=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{+}}\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái $-3$ khác giới hạn phải $\sqrt{2}$ nên giới hạn không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17.
a) Chia tử và mẫu cho $n$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1+3n}{4-2n}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{\frac{1}{n}+3}{\frac{4}{n}-2}=\frac{0+3}{0-2}=-\frac{3}{2}$.

b) Với $x\to -\infty$, nhân liên hợp:
$$x+\sqrt{x^2-x+1}=\frac{(x+\sqrt{x^2-x+1})(x-\sqrt{x^2-x+1})}{x-\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{x^2-(x^2-x+1)}{x-\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{x-1}{x-\sqrt{x^2-x+1}}.$$
Khi $x<0$ thì $\sqrt{x^2-x+1}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$, nên mẫu số $x-\sqrt{x^2-x+1}=x\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)$. Do đó
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\sqrt{x^2-x+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.

a) Ta có $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1-\sqrt{x-3}}{x^2-16}$. Nhân liên hợp:
$$\frac{1-\sqrt{x-3}}{x^2-16}=\frac{(1-\sqrt{x-3})(1+\sqrt{x-3})}{(x-4)(x+4)(1+\sqrt{x-3})}=\frac{1-(x-3)}{(x-4)(x+4)(1+\sqrt{x-3})}=\frac{4-x}{(x-4)(x+4)(1+\sqrt{x-3})}$$
$$=\frac{-1}{(x+4)(1+\sqrt{x-3})}.$$
Do đó $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1-\sqrt{x-3}}{x^2-16}=\frac{-1}{(4+4)(1+\sqrt{1})}=\frac{-1}{8\cdot 2}=-\frac{1}{16}.$

b) Với $x\to +\infty$:
$$x-\sqrt{x^2-4x-3}=\frac{x^2-(x^2-4x-3)}{x+\sqrt{x^2-4x-3}}=\frac{4x+3}{x+\sqrt{x^2-4x-3}}=\frac{4+\frac{3}{x}}{1+\sqrt{1-\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}}}.$$
Khi $x\to +\infty$, $\frac{3}{x}\to 0$, $\sqrt{1-\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}}\to 1$, nên giới hạn bằng $\frac{4}{1+1}=2.$

Vậy a) $-\frac{1}{16}$; b) $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.

a) Khi $x\to 2$ thì $\sqrt{3x-2}-2\to 0$ và $x-2\to 0$ (dạng $\frac{0}{0}$). Nhân với liên hợp:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3(\sqrt{3x-2}-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3(3x-2-4)}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{9(x-2)}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{9}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{9}{2+2}=\frac{9}{4}.$$

b) Với $x\to +\infty$, nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2-7x+1}-x=\frac{(x^2-7x+1)-x^2}{\sqrt{x^2-7x+1}+x}=\frac{-7x+1}{\sqrt{x^2-7x+1}+x}.$$
Chia tử và mẫu cho $x>0$:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-7+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{-7}{1+1}=-\frac{7}{2}.$$

Vậy a) $\frac{9}{4}$; b) $-\frac{7}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.
a) Nhân liên hợp: $\sqrt{3x+1}-1=\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}$, nên ${\lim }_{x\to 0}\frac{2(\sqrt{3x+1}-1)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{6x}{x(\sqrt{3x+1}+1)}=\frac{6}{\sqrt{1}+1}=3$.

b) Với $x\to -\infty$, đặt $t=-x\to +\infty$: $\sqrt{x^2-4x+2}+x=\sqrt{t^2+4t+2}-t=\frac{4t+2}{\sqrt{t^2+4t+2}+t}=\frac{4+\frac{2}{t}}{\sqrt{1+\frac{4}{t}+\frac{2}{t^2}}+1}\to \frac{4}{1+1}=2$.
Vậy a) $=3$; b) $=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x+7)-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}={\lim }_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử số: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$. Với $x\to -1$, $x\ne -1$ nên $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(x-3)(x+1)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }(x-3)=-1-3=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1106, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$, với $x\ne -1$ ta rút gọn: ${\lim }_{x\to -1}\frac{(x+1)(x-3)}{x+1}={\lim }_{x\to -1}(x-3)=-1-3=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C (bảng đáp án mã đề 1105, câu 6).

(AI giải đề cho tôi)
Để lim_{x→+∞}[(a²−4)x³ − 2x² + 2025x + 2026] = −∞ thì hệ số của bậc cao nhất phải âm: a² − 4 < 0 ⟺ −2 < a < 2. Các giá trị nguyên: a ∈ {−1, 0, 1}, tức 3 giá trị. Đáp án B.