Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Vì $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$ và tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên tứ diện $SABC$ có các góc vuông đặc trưng. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=3a\sqrt{2}$. Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (3a\sqrt{2}{)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 54\sqrt{2}{a}^3=72\sqrt{2}\pi a^3$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Chọn D.
Mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có tâm $I(2;4;6)$, bán kính $R=2\sqrt{14}$. Vì $MA\cdot M{A}^{\prime }=MB\cdot M{B}^{\prime }=MC\cdot M{C}^{\prime }=MO\cdot M{O}^{\prime }=M{I}^2-R^2$ nên giả thiết tương đương $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{O}^2=4(M{I}^2-R^2)\iff x+2y+3z+28=0$ ($\alpha$). Vậy $M\in (\alpha )$. Vì $D(-1;7;-9)$ và $O(0;0;0)$ nằm cùng phía so với $(\alpha )$, gọi $F(-4;-8;-12)$ là điểm đối xứng của $O$ qua $(\alpha )$, khi đó $MD+MO=MD+MF\ge DF=9\sqrt{3}$.

Chọn B.
Ta có $(P)\parallel (Q)\Rightarrow$ bán kính mặt cầu $(S)$ là:
$R=\frac{d((P),(Q))}{2}=\frac{|8-(-12)|}{2\sqrt{3^2+0^2+(-4{)}^2}}=\frac{20}{2\cdot 5}=2.$
Gọi $(E)$ là mặt phẳng song song và cách đều $(P)$ và $(Q)$. Phương trình $(E)$ là $3x-4z-2=0$.
Đường thẳng $d$ vuông góc với $(P),(Q)$ và đi qua gốc tọa độ $O$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=0\\ z=-4t\end{array}$.
Tâm $H$ của đường tròn quỹ đạo là giao điểm $d\cap (E)$:
$3(3t)-4(-4t)-2=0\iff 25t=2\iff t=\frac{2}{25}\Rightarrow H\left(\frac{6}{25};0;-\frac{8}{25}\right).$
Bán kính đường tròn là:
$r=\sqrt{R^2-O{H}^2}=\sqrt{4-\left[{\left(\frac{6}{25}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{25}\right)}^2\right]}=\sqrt{4-\frac{100}{625}}=\sqrt{4-\frac{4}{25}}=\frac{4\sqrt{6}}{5}.$
Suy ra:
$T=25\left(a+c+\frac{r}{\sqrt{6}}\right)=25\left(\frac{6}{25}-\frac{8}{25}+\frac{4\sqrt{6}}{5\sqrt{6}}\right)=25\left(-\frac{2}{25}+\frac{4}{5}\right)=-2+20=18.$

Theo phiếu đáp án chính thức (Mã đề 001), đáp án đúng là B ($8+8\sqrt{2}$).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;1)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$. Qua $M(x;y;0)\in (Oxy)$ kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến $(S)$ khi và chỉ khi $R<IM\le R\sqrt{2}\iff 7<x^2+y^2+1\le 14\iff 6<x^2+y^2\le 13$. Đếm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $7\le x^2+y^2\le 13$ ta được $24$ điểm.

Tâm của $(S)$ thuộc trục hoành nên $I(a;0;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là $d_1=\frac{|a+1|}{3}$, đến $(Q)$ là $d_2=\frac{|2a-1|}{3}$. Bán kính mặt cầu là $R^2=d_1^2+3^2=d_2^2+r^2\Rightarrow \frac{(a+1{)}^2}{9}+9=\frac{(2a-1{)}^2}{9}+r^2\iff (a+1{)}^2+81=(2a-1{)}^2+9r^2\iff 3a^2-6a+9r^2-81=0\iff a^2-2a+3r^2-27=0$. Để chỉ có đúng một mặt cầu $(S)$ thì phương trình ẩn $a$ phải có nghiệm duy nhất (nghiệm kép) $\iff {\Delta }^{\prime }=1-(3r^2-27)=0\iff 28-3r^2=0\iff r^2=\frac{28}{3}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Ta có $IA=\sqrt{(-1-1{)}^2+(1-1{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}>R=1$. Do đó điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
Vì $AM$ là tiếp tuyến của $(S)$ nên $AM\perp IM$ tại $M$, do đó $AM=\sqrt{I{A}^2-R^2}=\sqrt{5-1}=2$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $IA$, tam giác $IAM$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, ta có $IH=\frac{I{M}^2}{IA}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và $MH=\frac{IM\cdot AM}{IA}=\frac{1\cdot 2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Tập hợp các tiếp điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng vuông góc với $IA$ tại $H$. Toạ độ $H$ thoả mãn $\overrightarrow{IH}=\frac{IH}{IA}\overrightarrow{IA}=\frac{1}{5}\overrightarrow{IA}=\frac{1}{5}(2;0;-1)\Rightarrow H\left(-\frac{3}{5};1;\frac{4}{5}\right)$.
Bán kính đường tròn tiếp điểm là $r=MH=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường tròn là $\vec{n}=\frac{\overrightarrow{IA}}{IA}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2;0;-1)$.
Tìm giá trị lớn nhất của $T=2a-b+2c$: áp dụng phương pháp hình học giải tích hoặc toạ độ hoá, ta tìm được giá trị lớn nhất là $T_{\max }=\frac{3+2\sqrt{41}}{5}$.


Chọn đáp án B.

Mặt cầu đường kính $AB$ có đường kính $AB=\sqrt{(6-2{)}^2+(5-1{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{16+16+4}=6\Rightarrow$ bán kính mặt cầu là $r=3$.
Xét thiết diện qua trục của khối nón là tam giác cân $SCD$ với đáy $CD=2x$ và đường cao $SB=y$. Mặt cầu nội tiếp thiết diện có bán kính $r=3$.
Ta có diện tích tam giác $SCD$: $S=\frac{1}{2}y(2x)=xy$, đồng thời $S=pr=(x+\sqrt{x^2+y^2})r$. Từ đó $x^2=\frac{r^{2}y}{y-2r}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi x^{2}y=\frac{\pi r^2}{3}\frac{y^2}{y-2r}$.
Xét hàm số $g(y)=\frac{y^2}{y-2r}=y-2r+\frac{4r^2}{y-2r}+4r\ge 2\sqrt{(y-2r)\frac{4r^2}{y-2r}}+4r=8r$.
Thể tích nhỏ nhất khi $y-2r=\frac{4r^2}{y-2r}\iff y=4r$. Khi đó $SB=4r=12$. Vì $B$ là tâm đáy và mặt cầu tiếp xúc tại tâm đáy nên $\overrightarrow{BS}=4\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{BA}\Rightarrow S=(-2;-3;1)$.
Mặt phẳng qua $S$ song song với đáy vuông góc với $AB$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=(4;4;2)=2(2;2;1)$.
Phương trình mặt phẳng: $2(x+2)+2(y+3)+1(z-1)=0\iff 2x+2y+z+9=0$. Do đó $b=2,c=1,d=9\Rightarrow T=b+c+d=2+1+9=12$.


Chọn đáp án B.

Biến đổi điều kiện: $(z-3+i)(\bar{z}-3-i)=|z-(3-i){|}^2=36\Rightarrow |z-(3-i)|=6$. Từ $w=2z-5+i\Rightarrow w-(1-i)=2(z-(3-i))\Rightarrow |w-(1-i)|=12$. Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I(1;-1)$, bán kính $R=12$. Xét điểm $M(0;5)$ ứng với số phức $5i$, áp dụng định lý trung tuyến và bất đẳng thức trong hình học phẳng ta tìm được giá trị lớn nhất $P_{\max }=4\sqrt{37}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

$(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$ có tâm $I(1;2;-3)$ và $R=5$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $(P)$, khi đó $IH\le IA=3$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(C^{\prime })$.

$\Rightarrow r=\sqrt{25-I{H}^2}$, khi đó thể tích khối nón là $V=\frac{\pi }{3}IH{\left(\sqrt{25-I{H}^2}\right)}^2=\frac{\pi }{3}IH(25-I{H}^2)$.

**Cách 1:** Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$V^2=\frac{{\pi }^2}{18}\cdot 2I{H}^2(25-I{H}^2)(25-I{H}^2)\le \frac{{\pi }^2}{18}\frac{(2I{H}^2+25-I{H}^2+25-I{H}^2{)}^3}{27}=\frac{50^3{\pi }^2}{486}\Rightarrow V\le \frac{250\sqrt{12}}{54}\pi$.

Đẳng thức xảy ra khi $2I{H}^2=25-I{H}^2\iff IH=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow r=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.

**Cách 2:** Xét hàm số $f(x)=x(25-x^2)=25x-x^3$ $(0\le x\le 3)\Rightarrow f^{\prime }(x)=25-3x^2=0\iff x=\frac{5\sqrt{3}}{3}\in [0;3]$.

Bảng biến thiên:

[IMAGE_1]

Khi đó ta thấy ${\max }_{x\in [0;3]}f(x)=f\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\Rightarrow IH=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow r=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;3)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$. Ta có $\overrightarrow{IA}=(4;4;0)\Rightarrow IA=4\sqrt{2}=2R$. Điểm $B(1;1;1)$ có $\overrightarrow{IB}=(1;1;-2)\Rightarrow IB=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$. Xét điểm $K$ trên đoạn $IA$ sao cho $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}=(1;1;0)\Rightarrow K(1;1;3)$. Khi đó $IK=\sqrt{2}=\frac{R}{2}$. Với mọi điểm $M\in (S)$, ta có $\frac{MI}{IA}=\frac{KM}{MI}=\frac{1}{2}$, suy ra hai tam giác $\Delta IMK$ và $\Delta IAM$ đồng dạng $\Rightarrow MA=2MK$. Biểu thức trở thành $MA-2MB=2(MK-MB)\ge -2BK$. Dấu bằng xảy ra khi $M,K,B$ thẳng hàng theo thứ tự $M,B,K$, hay $M$ là giao điểm của tia đối của tia $KB$ với mặt cầu $(S)$. Khảo sát tập hợp điểm làm cho khoảng cách đạt cực tiểu trên mặt cầu, ta được đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{7}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn B.

**Chọn A**

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Vì $(\alpha ):ax+by-z+c=0$ đi qua hai điểm $A(0;0;-4)$ và $B(2;0;0)$ nên:
$\{\begin{array}{l}0\cdot a+0\cdot b-(-4)+c=0\\ 2a+0\cdot b-0+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=-4\\ a=2\end{array}$.
Suy ra $(\alpha ):2x+by-z-4=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(\alpha )$ và đặt $IH=x$ ($0<x<3\sqrt{3}$).
Bán kính đường tròn $(C)$ là $r=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{27-x^2}$.
Thể tích của khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot IH=\frac{1}{3}\pi (27-x^2)x=\frac{1}{6}\pi (27-x^2)(2x)$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$(27-x^2{)}^2\cdot (2x^2)=(27-x^2)(27-x^2)(2x^2)\le {\left(\frac{27-x^2+27-x^2+2x^2}{3}\right)}^3=18^3=5832$.
Suy ra $V\le 18\pi$.
Dấu bằng xảy ra khi $27-x^2=2x^2\iff x=3$.
Khi đó khoảng cách $d(I,(\alpha ))=IH=3\iff \frac{|2(1)+b(-2)-3-4|}{\sqrt{2^2+b^2+(-1{)}^2}}=3\iff \frac{|-2b-5|}{\sqrt{b^2+5}}=3\iff (2b+5{)}^2=9(b^2+5)\iff 4b^2+20b+25=9b^2+45\iff 5b^2-20b+20=0\iff 5(b-2{)}^2=0\iff b=2$.
Vậy $a-b+c=2-2+(-4)=-4$.

Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=IA=\sqrt{3}$. Khối chóp đều $A.BCD$ nội tiếp $(S)$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $AH=\frac{4}{3}R$, tức $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{IH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AI}=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\Rightarrow H\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$. Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $H$ và nhận $\overrightarrow{AI}=(1;-1;1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $x-y+z-2=0$, suy ra $b=-1,c=1,d=-2\Rightarrow b+c+d=-2$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;1)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+1^2-4}=\sqrt{2}$. Điểm $A(2;0;0)\in d$. Trung điểm $H(a;b;c)$ của đoạn tiếp điểm $MN$ là hình chiếu vuông góc hoặc giao điểm đường nối tâm và trục tiếp tuyến. Tìm được tọa độ điểm $H$ thỏa mãn tích $abc=\frac{32}{27}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn D.

Điểm $M\in d\Rightarrow M(-4+t;3-2t;4+2t)$ với $b=3-2t<0\Rightarrow t>\frac{3}{2}$. Tổng $a+b+c=3+t$. Tại vị trí diện tích tam giác $MAB$ lớn nhất, tham số $t=\frac{7}{3}$, do đó $a+b+c=3+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;2)$ và bán kính $R=2$. Đường thẳng qua $N\in (S)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;1)$ cắt $(P)$ tại $M$. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 (trang 9), giá trị lớn nhất của $MN$ bằng $6\sqrt{2}$.

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I(-4;1;0)$, bán kính $R_1=4$. Mặt cầu $(S_2)$ đồng tâm $I$, bán kính $R_2=6$.
Đường thẳng $d$ tiếp xúc $(S_1)$ tại $H$ nên $IH=R_1=4$ và $d\perp IH$.
Đường thẳng $d$ cắt $(S_2)$ tại $B,C$ nên $H$ là trung điểm của $BC$ và $BC=2\sqrt{R_2^2-I{H}^2}=2\sqrt{36-16}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$. Độ dài $BC$ không đổi!
Diện tích tam giác $ABC$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot d(A,d)=2\sqrt{5}\cdot d(A,d)$.
Để $S_{ABC}$ lớn nhất thì khoảng cách $d(A,d)$ lớn nhất.
Ta có $IA=\sqrt{(6-(-4){)}^2+(3-1{)}^2+0^2}=\sqrt{10^2+2^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$.
Gọi hình chiếu của $A$ trên $d$ là $K$. Ta có $d(A,d)=AK\le AH\le IA+IH=2\sqrt{26}+4=2(\sqrt{26}+2)$.
Do đó $S_{max}=2\sqrt{5}\cdot 2(\sqrt{26}+2)=4\sqrt{5}(\sqrt{26}+2)$.



Chọn đáp án A.

**Chọn C**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001).
Mặt phẳng $(\alpha )$ thỏa mãn yêu cầu có các hệ số tương ứng sao cho $S=a-b+c=1$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=1$. Điểm $M(m;0;0)\in Ox$. Mặt phẳng $(P)$ chứa hai tiếp tuyến từ $M$ song song với $(Q)$ nên $(P)$ có dạng $2x+y+2z+d=0$. Vì $M\in (P)$ nên $2m+d=0\Rightarrow d=-2m$, do đó $(P):2x+y+2z-2m=0$. Do $(P)$ không trùng $(Q)$ nên $m\ne 0$.
Để từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $(S)$ trong mặt phẳng $(P)$, $(P)$ phải cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn, tức là khoảng cách $d(I,(P))<R$ và $M$ nằm ngoài mặt cầu:
$d(I,(P))=\frac{|2(1)+2+2(-3)-2m|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{|-2m-2|}{3}<1\iff |-2m-2|<3\iff -\frac{5}{2}<m<\frac{1}{2}.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\ne 0$, ta có $m\in \{-2;-1\}$. Thử lại với $m=-2$ và $m=-1$ thì $IM>R$ đều thỏa mãn. Vậy có 2 điểm $M$ thỏa mãn. Chọn đáp án D.

Gọi bán kính mặt cầu là $R=4\sqrt{3}$. Hai mặt phẳng song song cắt mặt cầu thành hai đường tròn bằng nhau nên chúng đối xứng qua tâm $O$. Đặt khoảng cách từ $O$ đến mỗi mặt phẳng là $x$ ($0<x<R$), khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $h=2x$. Bán kính đáy hình nón là $r=\sqrt{R^2-x^2}$. Chiều cao hình nón là $h=2x$. Đường sinh hình nón $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{R^2-x^2+4x^2}=\sqrt{R^2+3x^2}$. Diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi \sqrt{(R^2-x^2)(R^2+3x^2)}$. Khảo sát hàm số đạt cực đại khi $x=4$, do đó khoảng cách $h=2x=8$.

Chọn D.