Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=1$ và $f^{\prime }(x)=2x\cdot f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Giá trị của $f(2)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=2f(3x),\forall x\in \mathbb{R}$. Biết rằng $F$ là một nguyên hàm của $f$ và thỏa $F(3)=6$. Giá trị của $I=3F(1)+2F(9)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)=f^{\prime }(x)-2\cos x$. Biết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, tính giá trị $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=\sin x-9\cos 3x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(\pi )$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^2-3x+2$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thỏa mãn $F(-1)+3F(2)=8$.

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x{)}^2-4}$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}$, $f(0)=2022$, $f(2)=2023$. Tính $S=f(3)-f(-1)$.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=x\cos 2x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=\frac{1}{4}$. Hàm số $f(x)$ là

Cho hàm số $f(x)=-2x^2+3x$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2x-1}$, $f(0)=2022$, $f(1)=2023$. Giá trị của $f(2)-f(-1)$ bằng

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $f(1)=1$, $f(x)=f^{\prime }(x)\cdot \sqrt{3x+1}$, với mọi $x>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  , có đồ thị ( C ) và có đạo hàm cấp hai f ” ( x ) = 6 x + 12. Biết
đồ thị ( C ) đi qua điểm M ( -2; 2 ) và tiếp tuyến của ( C ) tại M là đường thẳng d : y = 2 x + 6.
Khi đó giá trị của f ( 3) bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-3x}}$, $\forall x\in \left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và $f(-1)=\frac{2}{3}$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(-1)=0$. Giá trị của $F\left(\frac{1}{4}\right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}$, $f(0)=2017$, $f(2)=2018$. Tính $S=f(3)-f(-1)$.

Biết F ( x ) và G ( x ) là hai nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên R và ∫ f ( x ) dx = F ( 4 ) − G (1) + m
1

( m > 0 ) . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
= ( x ) , y G=
y F= ( x ) , x 1 và
x = 4 . Khi S = 12 thì m bằng

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=6x^2-3$ trên $\mathbb{R}$ và có $F(-1)=3$.

Cho hàm số $f(x)=(2\tan x-\cot x{)}^2$, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ sao cho $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=3-\frac{9\pi }{4}$. Khi đó $F(x)=a\tan x+b\cot x+cx$ ($a,b,c$ là các hằng số). Tính $a\cdot b\cdot c$.

Câu 3. Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón. Gọi $P(x)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ (tấn) sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm $P^{\prime }(x)$ gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ với $0\le x\le 1000$. Biết nhà máy lỗ 24 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho hàm số $f(x)=\sin x+2x$. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $F(0)=4$.

Câu 2: Trong một buổi học liên môn Toán – Lịch sử, thầy giáo nhắc lại chiến công hiển hách của nghĩa quân Tây Sơn do Quang Trung lãnh đạo trong mùa xuân Kỷ Dậu. Thầy đọc mấy câu thơ mở đầu buổi học:
*Xuân Kỷ Dậu trống vang trời,*
*Tây Sơn thần tốc rạng ngời non sông.*
*Đống Đa giặc vỡ từng dòng,*
*Quang Trung đại thắng, núi sông yên bình.*



Để minh họa cho việc một đại lượng thay đổi theo thời gian trong một mô hình toán học đơn giản, thầy giả sử hàm số $y(t)$ (với $t>0$, $t$ tính bằng ngày) biểu diễn mức suy giảm sức chống cự của quân địch theo thời gian kể từ khi nghĩa quân Tây Sơn mở cuộc tiến công.
Sau khi phân tích dữ liệu mô phỏng, người ta nhận thấy đại lượng này có dạng $y(t)$ với $y^{\prime }(t)=\frac{a}{t}$ ($a$ là hằng số thực).
Biết rằng mô hình thu được các dữ liệu sau: Tại thời điểm $t=1$ (ngày) và $t=e^2$ (ngày) thì $y(1)=5$ và $y(e^2)=1$.
Các khẳng định sau đúng hay sai?