Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Sự thay đổi chiều cao của mực nước tại một cảng biển trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm được mô tả bằng đồ thị dưới đây.



Biết chiều cao của mực nước $h(\mathrm{m})$ theo thời gian $t(\mathrm{h})$ $(0\le t\le 24)$ được cho bởi công thức $h(t)=a+b\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{\pi }{6}\right)$ với $a,b$ là các số thực dương cho trước. Có mấy thời điểm trong ngày mà chiều cao của mực nước là 11m.

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức căng của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Giả sử huyết áp của một người được mô hình hoá bởi hàm số $P(t)=100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)$, ở đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.

Huyết áp của một người bệnh được tính bởi công thức $P(t)=100+20\cos (2\pi t)$, trong đó $P(t)$ là huyết áp (đơn vị: mmHg) và $t$ là thời gian đo (đơn vị: giây). Hỏi trong khoảng thời gian 3 giây đầu tiên (từ $t=0$ đến $t=3$), có bao nhiêu lần huyết áp của người đó đạt mức đúng 110 mmHg?

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên $[-\pi ;5\pi ]$.

Vận tốc $v(t)$ (tính bằng centimét/giây) của một con lắc đơn theo thời gian $t$ được cho bởi công thức $v(t)=2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$. Trong khoảng từ 0 đến 10 giây, con lắc đơn có mấy lần đạt vận tốc lớn nhất.

Điền đáp án: ________

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$(cm) của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$ trong 1 ngày $(0\le t\le 24)$ cho bởi công thức $h=2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+5$. Có bao nhiêu thời điểm (giờ) nào trong ngày, độ sâu của mực nước là 7cm?

Giải phương trình: $\sin 8x-\cos 6x=\sqrt{3}\left(\sin 6x+\cos 8x\right)$.

Số nghiệm phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$ thuộc đoạn $\left[2\pi ;4\pi \right]$.

Cho phương trình $\sin x=\frac{m}{1012}$ ($m$ là tham số thực).

Số nghiệm $x\in \left[\frac{\pi }{2};2028\pi \right]$ của phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ là bao nhiêu?

Cho phương trình $\cos 2x-(2m+1)\cos x+m=0$.

Tính tổng số nghiệm của phương trình $\cos \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn $[0;\pi ]$.

a) Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-\sin 3x$.

b) Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để găm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất $25(m)$ tại một góc ngắm (góc hợp bởi phương ngắm với phương ngang). Nếu giảm góc ngắm đi một nửa thì vận động viên bắn trúng mục tiêu cách mặt đất $10(m)$. Tính khoảng cách từ vận động viên đến bức tường?

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\tan 3x=1$ có dạng $a\pi$ với $a$ là số hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức $-a$.

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số $P(t)=100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)$ ở đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị $mmHg$ (milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây $(0<t<1)$, hãy xác định số lần huyết áp là 100 $mmHg$.

Một chiếc du quay có bán kính $R=12$ m. Tâm của vòng quay ở độ cao 15 m so với mặt đất. Vòng quay quay đều với tốc độ một vòng hết 16 phút. Khi vòng quay hoạt động, quan sát một cabin ban đầu ở vị trí thấp nhất, sau $t$ (phút), chiều cao $h$ (đơn vị m) của cabin đó so với mặt đất được tính theo công thức:
$$h(t)=-12\cos \left(\frac{\pi t}{8}\right)+15$$

Sau $\frac{a}{b}$ phút $(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$ kể từ khi bắt đầu quay, cabin sẽ ở độ cao 21 m lần đầu tiên. Tính $a+b$.

Cho phương trình lượng giác $\cos 5x=\cos x$. Trên đường tròn lượng giác, có bao nhiêu điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho?

Tại một công viên giải trí, độ cao $h$ (tính bằng mét) của một cabin trên vòng quay Ferris so với mặt đất được mô hình hóa bởi hàm số: $h(t)=20+15\sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)$ trong đó $t$ là thời gian (tính bằng phút) kể từ lúc cabin bắt đầu quay từ vị trí thấp nhất.

a) Tính độ cao của cabin sau khi vòng quay hoạt động được 5 phút.

b) Trong một chu kỳ quay đầu tiên (từ $t=0$ đến $t=20$ phút), cabin đạt độ cao $27,5m$ tại những thời điểm nào? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một vật dao động điều hoà theo phương trình $x=-6\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)$ ($t$ tính bằng giây, $x$ tính bằng centimét), $x$ được gọi là li độ của vật. Hỏi trong 10 giây đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ bằng 3 cm bao nhiêu lần?

Giải phương trình lượng giác sau: $2{\sin }^{2}x-1+\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=0$.