Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới $f(1)=0$; $f^{\prime \prime }\left(\frac{2}{3}\right)=0$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{27}$. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $3x_2-6x_1=3\sqrt{7}-2$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Một resort muốn đắp đồi trượt cỏ cho trẻ em. Đường trượt được thiết kế bắt đầu từ vị trí $A$ cao $3\text{ m}$ thoải dần theo dạng một parabol $(P_1)$ có đỉnh ngay vị trí bắt đầu trượt và được kết nối với một parabol $(P_2)$ tại $N$ cách vị trí ban đầu $4\text{ m}$ theo phương ngang. Về mặt kỹ thuật, để đường trượt mượt mà thì vị trí kết nối này phải đảm bảo hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm kết nối của cả hai parabol trên phải bằng nhau. Parabol $(P_2)$ có đỉnh ở vị trí kết thúc $B$ có cao độ bằng $0$ và cách vị trí ban đầu $10\text{ m}$ theo phương ngang. Hình bên dưới thể hiện mặt cắt bên của đồi trượt cỏ.
[IMAGE:img_q18_hill]

Biết đồi trượt rộng $5\text{ m}$, tính số mét khối đất đắp thành đồi trượt.

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+1$ ($a\ne 0;a,b\in \mathbb{R}$) mà đồ thị hàm số $f^{\prime \prime }(x)$ và đồ thị hàm số $f(x)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên trục $Oy$ (hình vẽ), trong đó $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$ và $\pm x_2$ là nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)$, ($x_1,x_2>0$). Biết $x_1=3x_2$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $f(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước $28\text{ m}\times 16\text{ m}$ như hình vẽ bên dưới, trong đó $(P_1),(P_2)$ là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, $(C)$ là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ). Chi phí cho phần lát gạch là $240$ nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn $(C)$ có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục)
[IMAGE:img_q20_courtyard]

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_3-x_1=2$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai phần được gạch trong hình bên. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

[IMAGE_1]

Để chuẩn bị cho lễ kỷ niệm $20$ năm ngày ra trường, ban tổ chức quyết định đặt hàng một đơn vị thủ công mỹ nghệ để chế tác các huy hiệu cài áo đặc biệt. Huy hiệu được thiết kế trên một phôi bạc hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $20\text{ mm}$. Theo bản vẽ kỹ thuật từ các nghệ nhân, cấu trúc của huy hiệu được phân chia như sau: lấy một điểm $M$ được xác định bên trong phôi bạc sao cho khoảng cách từ $M$ đến cạnh dưới $OA$ là $4\text{ mm}$ và cách cạnh bên trái $OC$ là $8\text{ mm}$, cạnh vòm là một cung tròn đi qua ba điểm $O,M,C$; đường lượn là một phần của đường Parabol đi qua ba điểm $O,M,A$. Phần tô đậm trong bản vẽ sẽ được phủ men sứ màu xanh lam. Các phần còn lại sẽ được giữ nguyên màu bạc để khắc tên trường và niên khóa. Hãy tính diện tích phần cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị ${\text{mm}}^2$).
[IMAGE:img_q21_badge]

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp 2 liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(1)=2021$ và $f(1-x)+x^2{f}^{\prime \prime }(x)=3x,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $I={\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx$.

Cho hàm số bậc bốn $y=x^4-4x^2+1$ và parabol $y=x^2-k$, với $k\in \mathbb{R}$ có đồ thị như hình bên. Gọi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là diện tích của phần hình phẳng được tô đậm tương ứng trong hình vẽ. Khi $S_1+S_3=S_2$ thì $k$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ thoả mãn $f^2(x)-xf(x)f^{\prime }(x)=2x+4,\forall x\in [0;1]$. Biết $f(1)=3$. Tích phân ${\int }_0^1{f}^2(x)dx$ bằng

Một chiếc cổng có dạng là một parabol $(P)$ có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng $4\text{ m}$ (Tham khảo hình vẽ). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật $CDEF$, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là $\mathrm{1.000.000}{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.
[IMAGE:img_q15_gate]

Cho hàm số $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$ trên $[1;4]$. Biết $F(1)=1,F(4)=2$ và ${\int }_1^4\frac{F(x)}{2x+1}dx=5$. Tính $I={\int }_1^4\ln (2x+1)f(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm và nhận giá trị dương với mọi $x\in (0;+\infty )$. Biết $2[f(x)+x{f}^{\prime }(x)]=\sqrt{x}\cdot f^2(x),\forall x\in (0;+\infty )$ và $f(1)=1$. Giá trị ${\int }_1^{4}f(x)dx$ bằng:

Hình 1 là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế sân khấu trong một cuộc thi thiết kế sân khấu ngoài trời tổ chức tại một quảng trường. Khi mở rộng sân khấu trung tâm, ta được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu trung tâm được mô tả như sau:
[IMAGE:img_q18_stage]

Bước 1. Vẽ hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $2$ và lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là $E,F,G,H$.
Bước 2. Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $B,C,H$ và hàm bậc hai đi qua ba điểm $F,D,A$.
Bước 3. Tương tự như Bước 2, vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $A,B,G$ và ba điểm $C,D,E$.
Biết rằng: Diện tích phần tô đen trong Hình 2 được cho bởi công thức: $\frac{p\sqrt{2}+q}{3}$.
Hãy tính giá trị của $p-3q$ (với $p,q$ là các số nguyên).

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong $(C)$ trong hình vẽ. Tiếp tuyến $d$ của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(-1;1)$ cắt đồ thị $(C)$ tại điểm thứ hai là $B(2;4)$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến $d$ và đồ thị $(C)$ (phần tô đậm) bằng $\frac{27}{4}$ (đvdt). Tính $I={\int }_1^{3}f(x)dx$?

[IMAGE_1]

Cho parabol $(P):y=x^2$, điểm $A(0;1)$. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $(P)$ tại hai điểm $B(b;b^2)$, $C(c;c^2)$ sao cho $AC=4AB$ như hình vẽ bên dưới:



Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=b,x=0$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=c,x=0$. Tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;4]$, đồng biến trên đoạn $[1;4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x+2x\cdot f(x)=[f^{\prime }(x){]}^2,\forall x\in [1;4]$. Biết rằng $f(1)=\frac{3}{2}$, tính $I={\int }_1^{4}f(x)dx$.

Một bể bơi hình elip, có độ dài trục lớn bằng $10\text{ m}$ và trục nhỏ bằng $8\text{ m}$. Khu vực A là chứa nước, khu vực B là bậc thang lên xuống bể bơi, là nửa đường tròn có tâm là một tiêu điểm của elip, bán kính bằng $1\text{ m}$. Phần còn lại là khu vực C (phần tô đậm) người ta lát gạch như hình vẽ.

Nếu chi phí lát gạch cho mỗi mét vuông là $400$ nghìn đồng thì chi phí lát gạch ở khu C là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{rlrl}& -3x^2+2& & \text{khi }x>1\\ & \frac{1}{x-2}& & \text{khi }x\le 1\end{array}$. Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x-3{\int }_0^{1}f(3-2x)\mathrm{d}x=a+b\ln 2$, với $a,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+15b$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$. Biết $f(-1)=0$. Tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại $2$ điểm có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$. Gọi $S_1,S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(C)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính tỷ số $\frac{S_1}{S_2}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x);y=f^{\prime }(x)$ có diện tích bằng