Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{10}^3=120$. Gọi biến cố $A$: "Trong $3$ học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ". Khi đó biến cố đối $\overline{A}$: "Cả $3$ học sinh được chọn đều là nam", có số cách chọn là $n(\overline{A})=C_7^3=35$. Xác suất cần tìm: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{C_7^3}{C_{10}^3}=1-\frac{35}{120}=\frac{85}{120}=\frac{17}{24}$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{20}^3=1140$.

Trong 20 tấm thẻ có 10 thẻ mang số chẵn và 10 thẻ mang số lẻ.

Để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ là số chia hết cho 2 (tức là tổng chẵn), ta có 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Chọn được 3 thẻ đều mang số chẵn: có $C_{10}^3=120$ cách.
- Trường hợp 2: Chọn được 1 thẻ mang số chẵn và 2 thẻ mang số lẻ: có $C_{10}^1\cdot C_{10}^2=10\cdot 45=450$ cách.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố là: $n(A)=120+450=570$.

Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{570}{1140}=\frac{1}{2}$.

Đa giác đều có $32$ đỉnh. Số phần tử của không gian mẫu là số tứ giác tạo thành:
$n(S)=C_{32}^4=35960$.
Đa giác đều $32$ đỉnh có $32/2=16$ đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
Mỗi cặp gồm hai đường kính xác định duy nhất một hình chữ nhật có $4$ đỉnh là đỉnh của đa giác.
Số hình chữ nhật tạo thành là $C_{16}^2=120$.
Xác suất cần tìm là:
$P=\frac{120}{35960}=\frac{3}{899}$.
Chọn đáp án B.

Không gian mẫu có $n(\Omega )=2^8=256$. Số cách để trên vòng tròn $8$ vị trí không có hai vị trí đứng kề nhau bằng $L_8=47$ (cụ thể: $0$ người đứng có $1$ cách; $1$ người đứng có $8$ cách; $2$ người đứng có $C_8^2-8=20$ cách; $3$ người đứng có $C_8^3-8-8\cdot 4=16$ cách; $4$ người đứng có $2$ cách). Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{47}{256}\approx 0,18$.

Tổng số viên bi là $12$. Số cách lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi là $C_{12}^2=66$. Số cách lấy $2$ viên bi đỏ là $C_5^2=10$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{10}{66}=\frac{5}{33}$. Chọn A.

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ $15$ số nguyên dương đầu tiên, ta có số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^2=105$.

Trong $15$ số nguyên dương đầu tiên có $8$ số lẻ và $7$ số chẵn.

Gọi $A$ là biến cố: "chọn được hai số có tổng là một số lẻ".

Khi đó hai số được chọn có một số là số chẵn và $1$ số là số lẻ. Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=7\cdot 8=56$.

Khi đó $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{56}{105}=\frac{8}{15}$.

Xét số dư của số chính phương khi chia cho 5: $n^2\equiv 0,1,4(\mathrm{mod}5)$. Số các số trong $S=\{1;2;\dots ;26\}$ theo số dư của bình phương modulo 5: Các số chia hết cho 5 có bình phương chia hết cho 5: $\{5,10,15,20,25\}$ (5 số); các số có bình phương chia 5 dư 1: tận cùng 1, 4, 6, 9 gồm 11 số; các số có bình phương chia 5 dư 4: tận cùng 2, 3, 7, 8 gồm 10 số. Để $a^2+b^2+c^2⋮5$, các trường hợp số dư là $(0,0,0)$ hoặc $(0,1,4)$. Tính tổng số cách chọn và chia cho $C_{26}^3=2600$, ta thu được xác suất $P=\frac{14}{65}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Không gian mẫu có $n(\Omega )=A_{21}^7=586051200$. Vì $O$ kề với cả $6$ đỉnh của lục giác và các đỉnh kề nhau khác màu nên $O$ có một màu (3 cách chọn), nhóm $(A,C,E)$ cùng màu thứ hai (2 cách chọn) và nhóm $(B,D,F)$ cùng màu thứ ba (1 cách). Chọn số cho $O$ có $7$ cách. Trong $6$ số còn lại, chọn bộ $3$ số phân biệt cho $(A,C,E)$ có $A_6^3=120$ cách. Theo nguyên lý bù trừ, số cách chọn bộ $3$ số phân biệt cho $(D,B,F)$ từ $6$ số đó sao cho $d\ne a,b\ne e,f\ne c$ là $120-3\cdot 20+3\cdot 4-1=71$ cách. Vậy $P=\frac{6\cdot 7\cdot 120\cdot 71}{A_{21}^7}=\frac{71}{116280}$, suy ra $m=71,n=116280$ và $n-22m^2=116280-22\cdot 71^2=5378$.

Chọn B.
Xác suất để $3$ hộp sữa được chọn đủ cả $3$ loại là $P=\frac{C_3^1\cdot C_4^1\cdot C_5^1}{C_{12}^3}=\frac{3}{11}$.

Chọn B.
Số các số tự nhiên có 6 chữ số là $9\cdot 10^5=900000$, do đó $n(\Omega )=900000$.
Gọi biến cố $A$: “các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và chữ số 2”.
Gọi số có 6 chữ số có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$:
- Vị trí của chữ số 0 có 5 cách chọn (do $a_1\ne 0$).
- Vị trí của chữ số 2 có 5 cách chọn (trong 5 vị trí còn lại).
- 4 vị trí còn lại chọn từ 8 chữ số còn lại trong $\{0;1;\dots ;9\}\setminus \{0;2\}$ có $A_8^4=1680$ cách.
Suy ra $n(A)=5\cdot 5\cdot A_8^4=25\cdot 1680=42000$.
Vậy xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{42000}{900000}=\frac{7}{150}.$

Xác suất cần tìm là $P=\frac{C_7^3}{C_{12}^3}=\frac{35}{220}=\frac{7}{44}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{12}^4=495$. Số cách chọn $4$ quả cầu có đủ $3$ màu (gồm $2$ quả cùng màu và $2$ quả thuộc hai màu còn lại) là $C_4^2{C}_3^1{C}_5^1+C_4^1{C}_3^2{C}_5^1+C_4^1{C}_3^1{C}_5^2=90+60+120=270$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{270}{495}=\frac{6}{11}$.

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^6=5005$. Gọi $A$ là biến cố 'có ít nhất 1 viên bi vàng và không quá 4 viên bi đỏ'. Biến cố đối $\bar{A}$ gồm hai trường hợp rời nhau:
1) Không có viên bi vàng nào: chọn 6 viên từ 13 viên (8 xanh + 5 đỏ) có $C_{13}^6=1716$ cách.
2) Có viên bi vàng nhưng có 5 viên bi đỏ (do tối đa có 5 bi đỏ): chọn 5 đỏ (1 cách) và 1 bi vàng ($C_2^1=2$ cách), có $1\times 2=2$ cách.
Suy ra $n(\bar{A})=1716+2=1718$. Do đó $n(A)=5005-1718=3287$. Xác suất là $P(A)=\frac{3287}{5005}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 12 số chẵn và 13 số lẻ. Không gian mẫu có số phần tử là $n(\Omega )=C_{25}^2=300$. Để chọn được hai số có tổng là một số chẵn thì cả hai số đều chẵn hoặc cả hai số đều lẻ: số biến cố thuận lợi là $n(A)=C_{12}^2+C_{13}^2=66+78=144$. Xác suất: $P(A)=\frac{144}{300}=\frac{12}{25}$. Chọn đáp án B.

Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ $\{0,1,2,3,4,5\}$ là $n(A)=5\times 5!=600$.
Gọi biến cố $E$: 'chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau'. Buộc chữ số 3 và 4 thành một khối $X$: có $2!$ cách xếp thứ tự trong khối.
- Nếu khối $X$ không chứa số 0, tập gồm các phần tử $\{X,0,1,2,5\}$ (5 phần tử).
Số cách xếp là $4\times 4!\times 2!=192$.
- Xác suất: $P=\frac{192}{600}=\frac{8}{25}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Ta có $n(\Omega )=C_9^2=36$.

Trong $9$ thẻ được đánh số, có $5$ thẻ mang số lẻ và $4$ thẻ mang số chẵn. Để tổng của các số trên hai thẻ lấy ra là số chẵn thì cần lấy được hai thẻ mang số chẵn hoặc hai thẻ mang số lẻ.

- Trường hợp 1: Lấy hai thẻ mang số chẵn có: $C_4^2$ cách.
- Trường hợp 2: Lấy hai thẻ mang số lẻ có: $C_5^2$ cách.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{C_4^2+C_5^2}{C_9^2}=\frac{4}{9}$.

a) Đúng: Tổng số viên bi là $4+6+7=17$, lấy $5$ viên nên $n(\Omega )=C_{17}^5=6188$.
b) Sai: $P=1-\frac{C_{11}^5}{C_{17}^5}=\frac{2045}{2210}\approx 0,925<0,93$.
c) Sai: $P=\frac{C_6^5}{C_{17}^5}=\frac{6}{6188}=\frac{3}{3094}\ne \frac{3}{884}$.
d) Đúng: Ba số $z-x,x-y,y-z$ lập thành cấp số cộng $\iff (z-x)+(y-z)=2(x-y)\iff x=y$. Do $x+y+z=5$ và $x,y,z\ge 1$ nên $(x;y;z)\in \{(1;1;3);(2;2;1)\}$. Xác suất là $\frac{C_4^1{C}_6^1{C}_7^3+C_4^2{C}_6^2{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{840+630}{6188}=\frac{105}{442}$.
Đáp án (Phần II Câu 2, trang 7): Đ, S, S, Đ.

Tổng số học sinh là $20+15=35$. Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{35}^4=52360$. Số cách chọn 4 học sinh toàn nam là $C_{20}^4=4845$. Số cách chọn 4 học sinh toàn nữ là $C_{15}^4=1365$. Số cách chọn có cả nam và nữ là $n(A)=52360-4845-1365=46150$. Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{46150}{52360}=\frac{4615}{5236}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn C.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{10}^3=120$.
Gọi $A$ là biến cố chọn được $2$ học sinh nữ và $1$ học sinh nam, suy ra $n(A)=C_6^2\cdot C_4^1=15\cdot 4=60$.
Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$.

Số nhà khoa học thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là $31+21-5=47$. Xác suất cần tìm là $\frac{47}{50}$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 9): A.