Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Đáp án đúng là A theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Từ $1$ đến $99$ có $50$ số lẻ và $49$ số chẵn. Hiệu hai số là số lẻ khi một số chẵn và một số lẻ: $P=\frac{50\cdot 49}{C_{99}^2}=\frac{50}{99}$. Chọn B.

Tập hợp 15 số nguyên dương đầu tiên là $S=\{1,2,\dots ,15\}$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^2=105$.
Trong $S$ có:
- 7 số chẵn: $\{2,4,6,8,10,12,14\}$, trong đó có 2 số chia hết cho 3 là $\{6,12\}$ và 5 số không chia hết cho 3 là $\{2,4,8,10,14\}$.
- 8 số lẻ: $\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$, trong đó có 3 số chia hết cho 3 là $\{3,9,15\}$ và 5 số không chia hết cho 3 là $\{1,5,7,11,13\}$.
Để tích 2 số (1 chẵn, 1 lẻ) chia hết cho 3, ít nhất một trong 2 số phải chia hết cho 3:
- TH1: Số chẵn chia hết cho 3 (chọn từ $\{6,12\}$ có 2 cách), số lẻ tùy ý trong 8 số lẻ $\Rightarrow 2\times 8=16$ cách.
- TH2: Số chẵn không chia hết cho 3 (5 cách), số lẻ chia hết cho 3 (chọn từ $\{3,9,15\}$ có 3 cách) $\Rightarrow 5\times 3=15$ cách.
Số kết quả thuận lợi là $n(A)=16+15=31$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{31}{105}$. Chọn D.

Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^4=1365$.
Các trường hợp lấy 4 quả có đủ 3 màu:
- TH1: 1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng: $C_4^1\cdot C_5^1\cdot C_6^2=4\cdot 5\cdot 15=300$.
- TH2: 1 xanh, 2 đỏ, 1 vàng: $C_4^1\cdot C_5^2\cdot C_6^1=4\cdot 10\cdot 6=240$.
- TH3: 2 xanh, 1 đỏ, 1 vàng: $C_4^2\cdot C_5^1\cdot C_6^1=6\cdot 5\cdot 6=180$.
Số kết quả thuận lợi: $n(A)=300+240+180=720$.
Xác suất: $P(A)=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}$.

Gọi $\overline{ab}$ là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau.
Chọn $a$ có $9$ cách, chọn $b$ có $9$ cách. Do đó có $9\cdot 9=81$ số có hai chữ số khác nhau.
Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được số có tích hai chữ số bằng $8$".
Khi đó $A=\{18,81,24,42\}$ nên $n(A)=4$.
Vậy $P(A)=\frac{4}{81}$.

Chọn A.
Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử: "chọn ngẫu nhiên lần lượt các số $a,b$ thuộc tập hợp $\{3^k\mid k\in \mathbb{N},1\le k\le 10\}$" $\Rightarrow n_{\Omega }=9\cdot 10=90$.
Giả sử $k_1,k_2$ là các số tự nhiên thuộc $[1;10]$ và $k_1\ne k_2$ thỏa $a=3^{k_1}$ và $b=3^{k_2}$.
Theo đề bài ta có: ${\log }_{a}b={\log }_{3^{k_1}}{3}^{k_2}=\frac{k_2}{k_1}$ là một số nguyên dương.
$\Rightarrow k_1$ thuộc vào ước của $k_2$ và $k_1\ne k_2$ $(\ast )$.
- Xét trường hợp: $k_2$ là các số nguyên tố $\Rightarrow k_1=1$. Do $\{<table><tbody><tr><td>k_2\in [1;10]</td></tr><tr><td>k_2\in \mathbb{N}</td></tr></tbody></table>\Rightarrow k_2\in \{2;3;5;7\}\Rightarrow$ có $4$ cách chọn bộ $(a,b)$ thỏa $(\ast )$.
- Xét trường hợp: $k_2$ là các số chính phương $\Rightarrow k_2\in \{4;9\}$. Với mỗi số trên ta thấy $k_1$ chỉ có thể nhận hai ước số là $\{1;2\}$ hoặc $\{1;3\}\Rightarrow$ có $2\cdot 2$ cách chọn bộ $(a,b)$ thỏa $(\ast )$.
- Xét $k_2\in \{6;8;10\}$. Với mỗi số trên ta thấy $k_1$ chỉ có thể nhận ba ước số hoặc là $\{1;2;3\}$ hoặc $\{1;2;4\}$ hoặc $\{1;2;5\}\Rightarrow$ có $3\cdot 3$ cách chọn bộ $(a,b)$ thỏa $(\ast )$.
Tóm lại từ các trường hợp trên ta thấy có tất cả $17$ cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy xác suất cần tìm là $\frac{17}{90}$.

Chọn D

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau là $n(\Omega )=9\cdot 9\cdot 8=648$.
- **Trường hợp 1:** $3$ chữ số đều chẵn: có $4\cdot 4\cdot 3=48$ số.
- **Trường hợp 2:** $2$ chữ số lẻ và $1$ chữ số chẵn: có $C_5^2\cdot 5\cdot 3!-C_5^2\cdot 2!=300-20=280$ số.

Khi đó $n(A)=48+280=328\Rightarrow P(A)=\frac{328}{648}=\frac{41}{81}$.

Từ $1$ đến $25$ có $12$ số chẵn. Xác suất cần tìm là $P=\frac{C_{12}^2}{C_{25}^2}=\frac{66}{300}=\frac{11}{50}$. Chọn A.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_9^3=84$. Số cách chọn $3$ học sinh có ít nhất $2$ nữ là $C_5^2{C}_4^1+C_5^3=40+10=50$. Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{50}{84}=\frac{25}{42}$.

Từ 1 đến 15 có 7 số chẵn và 8 số lẻ. Số cách chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ là $n(\Omega )=C_{15}^3=455$. Để tổng 3 số là số chẵn, có hai trường hợp: (1) Cả 3 thẻ đều là số chẵn: $C_7^3=35$ cách; (2) Có 1 thẻ chẵn và 2 thẻ lẻ: $C_7^1\times C_8^2=7\times 28=196$ cách. Tổng số cách thỏa mãn: $35+196=231$. Xác suất: $P=\frac{231}{455}=\frac{33}{65}$. Chọn C.

Chọn C
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 3 đỉnh từ 16 đỉnh: $n(\Omega )=C_{16}^3=560$.
Đa giác đều 16 đỉnh có $\frac{16}{2}=8$ đường chéo đi qua tâm (đường kính của đường tròn ngoại tiếp).
Mỗi đường chéo đi qua tâm cùng với một đỉnh bất kỳ trong $16-2=14$ đỉnh còn lại tạo thành một tam giác vuông.
Do đó số tam giác vuông tạo thành là: $n(A)=8\times 14=112$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{112}{560}=\frac{1}{5}$.

Chọn B
Số phần tử của không gian mẫu là: n (W) = C152 = 105
Gọi A là biến cố: "Lấy được hai khác màu đồng thời khác số ".

12
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n ( A) = C61 .C81 = 48 cách
n ( A) 48 16
Xác suất của biến cố A: P ( A) = = = .
n (W) 105 35

Số phần tử của $S$ là $5\cdot A_5^4=600$. Số có $5$ chữ số khác nhau lập từ $A$ chia hết cho $5$ có tận cùng là $0$ ($A_5^4=120$ số) hoặc tận cùng là $5$ ($4\cdot A_4^3=96$ số), tổng cộng $120+96=216$ số. Xác suất cần tìm là $P=\frac{216}{600}=\frac{9}{25}$.

$n(\Omega )=C_9^3=84$; tổng lẻ khi 3 thẻ lẻ ($C_5^3=10$) hoặc 2 chẵn 1 lẻ ($C_4^2{C}_5^1=30$) ⇒ $P=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$. Chọn A.

Chọn C

Tổng số hoa là $8+7+6=21$ bông. Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{21}^7=116280$. Gọi $k$ là số bông hoa hồng và cũng là số bông hoa ly ($k\ge 0$). Ta có $2k\le 7$ và số hoa huệ là $7-2k\le 6\Rightarrow 2k\ge 1$. Do đó $k\in \{1;2;3\}$. Với $k=1$: $C_8^1{C}_7^1{C}_6^5=8\times 7\times 6=336$. Với $k=2$: $C_8^2{C}_7^2{C}_6^3=28\times 21\times 20=11760$. Với $k=3$: $C_8^3{C}_7^3{C}_6^1=56\times 35\times 6=11760$. Tổng số cách thuận lợi là $336+11760+11760=23856$. Xác suất: $P=\frac{23856}{116280}=\frac{994}{4845}$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{10}^4=210$ (d đúng). Xác suất chọn cả $4$ học sinh lớp 12C là $\frac{C_5^4}{C_{10}^4}=\frac{5}{210}=\frac{1}{42}$ (a đúng). Xác suất chọn $4$ học sinh không có lớp 12C (tức chọn từ $5$ học sinh của 12A và 12B) là $\frac{C_5^4}{C_{10}^4}=\frac{1}{42}$ (b đúng). Xác suất chọn đủ cả ba lớp là $\frac{C_2^2{C}_3^1{C}_5^1+C_2^1{C}_3^2{C}_5^1+C_2^1{C}_3^1{C}_5^2}{210}=\frac{15+30+60}{210}=\frac{1}{2}$ (c đúng).